2024届福建厦门第六中学数学高二上期末调研模拟试题含解析

2024届福建厦门第六中学数学高二上期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬动地球”.他在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现在以该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（）A. B.C. D.2．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A.13时~14时 B.16时~17时C.18时~19时 D.19时~20时3．在条件下，目标函数的最大值为2，则的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.804．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B.C. D.5．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心6．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（）A B.C. D.7．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A. B.C. D.8．在等比数列中，，则等于（）A. B.C. D.9．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.610．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩12．已知函数在处取得极值，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正数、满足，则的最大值为__________14．若，则___15．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.16．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，（1）求证：平面ACF；（2）在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由18．（12分）已知的三个顶点是，，（1）求边所在的直线方程；（2）求经过边的中点，且与边平行的直线的方程19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC面积的最大值.20．（12分）已知圆，其圆心在直线上.（1）求的值；（2）若过点的直线与相切，求的方程.21．（12分）已知等比数列的公比，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，若，求满足条件的最大整数n.22．（10分）已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，结合圆柱和球的体积公式进行求解即可.【详解】由题意可知：该旋转体的体积等于底面半径为，高为的圆柱的体积减去半径为的球的体积，即，故选：B2、B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B.【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.3、C【解析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求的最小值.【详解】画出的可行域，如下图：由得由得；由得；目标函数取最大值时必过N点，则则（当且仅当时等号成立）故选：C4、C【解析】由题意画出几何体的图形，把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，由此能求出球的表面积【详解】把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，，，球的表面积为故选：C5、B【解析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B6、A【解析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选:A7、D【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定，故选：D.8、C【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.【详解】在等比数列中，由所以，又，所以所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.9、A【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.10、B【解析】分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立，当时，，.故选：B.11、A【解析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好，结合题意进行推导，可得出结论.【详解】由于个人中的成绩中有位优秀，位良好，甲知道乙、丙的成绩，还是不知道自己的成绩，则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好，甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好，因为给乙看丙的成绩，则乙必然知道自己的成绩，丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩.故选：A.12、B【解析】根据极值点处导函数为零可求解.【详解】因为，则，由题意可知.经检验满足题意故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.14、##0.5【解析】导数的定义公式的变形应用，要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为：.15、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：16、【解析】根据数学归纳法的步骤即可解答.【详解】用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）存在，的长为或，理由见解析.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.小问1详解】依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面法向量为，则，故可设，由于，所以平面.【小问2详解】存在，理由如下：设，，，，依题意与平面所成角的正弦值为，即，，解得或.，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.18、（1）（2）【解析】（1）利用直线方程的两点式求解；（2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解.【小问1详解】因为，，所以边所在的直线方程为，即；【小问2详解】因为，，所以AB的中点为：，又，所以直线方程为：，即.19、（1）（2）【解析】（1）对，利用正弦定理和诱导公式整理化简得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值为1，代入面积公式求面积.【小问1详解】对于.由正弦定理知：即.所以.所以.所以因为，，所以.所以.因为，所以.【小问2详解】因为，由正弦定理知：.由余弦定理知：，所以.当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为1.所以，即面积的最大值为.20、（1）（2）或【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.（2）设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.【小问1详解】圆的标准方程为：，所以，圆心为由圆心在直线上，得.所以，圆的方程为：【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，即由于直线和圆相切，得解得：所以，直线方程为：或.21、（1）（2）【解析】(1)由等比数列的性质可得，结合条件求出，得出公比，从而得出通项公式.(2)由（1）可得，再求出的前项和，从而可得出答案.【小问1详解】由题意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小问2详解】，∴∴，又单调递增,所以满足条件的的最大整数为22、（1）an＝2n-12；（2）.【解析】（1）根据等差数列的性质得