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文档简介
2023-2024学年浙江省湖州市长兴县德清县安吉县高二上数学期末复习检测模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的最小值是()A.2 B.4C.5 D.62.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一,他从几何问题出发,引进微积分概念.在研究切线时认识到,求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,以及当此差值变成无限小时它们的比值,这也正是导数的几何意义.设是函数f(x)的导函数,若,对,且.总有,则下列选项正确的是()A. B.C. D.3.椭圆与(0<k<9)的()A.长轴的长相等B.短轴的长相等C.离心率相等D.焦距相等4.在正项等比数列中,和为方程的两根,则等于()A.8 B.10C.16 D.325.若定义在R上的函数满足,则不等式的解集为()A. B.C. D.6.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是()A. B.C. D.7.已知,表示两条不同的直线,表示平面.下列说法正确的是A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则8.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点A的坐标为,点P是双曲线在第二象限的部分上一点,且,点Q是线段的中点,且,Q关于直线PA对称,则双曲线的离心率为()A.3 B.2C. D.9.如图,在正方体中,点E是上底面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.10.斗笠,用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织,是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示(单位:),若该斗笠水平放置,雨水垂直下落,则该斗笠被雨水打湿的面积为()A. B.C. D.11.已知、为非零实数,若且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.已知数列的前项和为,当时,()A.11 B.20C.33 D.35二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,椭圆的左右焦点为,,以为圆心的圆过原点,且与椭圆在第一象限交于点,若过、的直线与圆相切,则直线的斜率______;椭圆的离心率______.14.已知,,,…,为抛物线:上的点,为抛物线的焦点.在等比数列中,,,,…,.则的横坐标为__________15.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=________16.不等式的解集是________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,点F为棱PD的中点,二面角的余弦值为.(1)求PD的长;(2)求异面直线BF与PA所成角的余弦值;(3)求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.19.(12分)已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2,(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点F的直线,互相垂直,且与C分别交于A,B,M,N四点,求四边形AMBN面积的最小值20.(12分)设等差数列的各项均为整数,且满足对任意正整数,总存在正整数,使得,则称这样的数列具有性质(1)若数列的通项公式为,数列是否具有性质?并说明理由;(2)若,求出具有性质的数列公差的所有可能值;(3)对于给定的,具有性质的数列是有限个,还是可以无穷多个?(直接写出结论)21.(12分)已知两定点,,动点与两定点的斜率之积为(1)求动点M的轨迹方程;(2)设(1)中所求曲线为C,若斜率为的直线l过点,且与C交于P,Q两点.问:在x轴上是否存在一点T,使得对任意且,都有(其中,分别表示,的面积).若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由22.(10分)已知椭圆的焦距为,点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A,B两点.(1)求该椭圆的方程;(2)若点P为直线上的动点,记直线PA,PM,PB的斜率分别为,,.求证:,,成等差数列.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.【详解】,,当且仅当时等号成立.故选:C2、C【解析】由,得在上单调递增,并且由的图象是向上凸,进而判断选项.【详解】由,得在上单调递增,因为,所以,故A不正确;对,,且,总有,可得函数的图象是向上凸,可用如图的图象来表示,由表示函数图象上各点处的切线的斜率,由函数图象可知,随着的增大,的图象越来越平缓,即切线的斜率越来越小,所以,故B不正确;,表示点与点连线的斜率,由图可知,所以C正确,同理,由图可知,故D不正确.故选:C3、D【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的,由此确定正确选项.【详解】椭圆与(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上,前者a2=25,b2=9,则c2=16,后者a2=25-k,b2=9-k,则显然只有D正确故选:D4、C【解析】根据和为方程两根,得到,然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根,所以,又因为数列是等比数列,所以,故选:C5、B【解析】构造函数,根据题意,求得其单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】构造函数,则,故在上单调递减;又,故可得,则,即,解得,故不等式解集为.故选:B.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性,以及利用函数单调性求解不等式,解决本题的关键是根据题意构造函数,属中档题.6、A【解析】由题意,在上恒成立,只需满足即可求解.【详解】解:因为,所以,因为函数在上单调递减,所以在上恒成立,只需满足,即,解得故选:A.7、B【解析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;B.运用线面垂直的性质,即可判断;C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断【详解】A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;B.若m⊥α,,由线面垂直的性质定理可知,故B正确;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错故选B【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟定理是解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型8、C【解析】由角平分线的性质可得,结合已知条件即可求双曲线的离心率.【详解】由题设,易知:,由知:,即,整理得:.故选:C9、B【解析】建立空间直角坐标系,利用向量夹角求解.【详解】以为原点,为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示,设正方体棱长为2,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:B10、A【解析】根据三视图可知,该几何体是由一个底面半径为10,高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体,则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知,该几何体是由一个底面半径为10,高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体,所以该斗笠被雨水打湿的面积为,故选:A11、D【解析】作差法即可逐项判断.【详解】或,对于A:,∵,无法判断正负,故A错误;对于B:,∵无法判断正负,故B错误;对于C:,∵,,∴,,故C错误;对于D:,∴,故D正确.故选:D.12、B【解析】由数列的性质可得,计算可得到答案.【详解】由题意,.故答案为B.【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.②.【解析】根据直角三角形的性质求得,由此求得,结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接,由于是圆的切线,所以.在中,,所以,所以,所以直线的斜率.,根据椭圆的定义可知.故答案为:;【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率,属于中档题.14、【解析】利用在抛物线上可求得,结合等比数列的公比可求得,利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上,,解得:,抛物线;数列为等比数列,又,,公比,,即,解得:,即的横坐标为.故答案为:.15、【解析】f(x)=xlnx∴f'(x)=lnx+1则f′(x0)=lnx0+1=2解得:x0=e16、【解析】先将分式不等式化为一元二次不等式,再根据一元二次不等式的解法解不等式即可【详解】∵,∴(x﹣2)(x+4)<0,∴-4<x<2,即不等式的解集为{x|-4<x<2}故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法,比较基础三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)3.【解析】(1)把展开得,两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.(2)将代入曲线C的直角坐标方程得,再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.【详解】(1)把展开得,两边同乘得①将代入①,即得曲线的直角坐标方程为②(2)将代入②式,得,点M的直角坐标为(0,3),设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则∴t1<0,t2<0则由参数t的几何意义即得.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线参数方程t的几何意义,属于基础题.18、(1)(2)(3)【解析】(1)以为轴,为轴,轴与垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,写出各点坐标,设,,由空间向量法求二面角,从而求得,得长;(2)由空间向量法求异面直线所成的角;(3)由空间向量法求线面角【小问1详解】以为轴,为轴,轴与垂直,由于菱形中,轴是的中垂线,建立如图坐标系,则,,,设,,,,设平面一个法向量为,则,令,则,,即,平面的一个法向量是,因为二面角余弦值为.所以,(负值舍去)所以;【小问2详解】由(1),,,,所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为【小问3详解】由(1)平面的一个法向量为,又,,所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为19、(1)(2)128【解析】(1)设抛物线上任一点为,由可得答案.(2)由题意可知,的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立,得出韦达定理,从而得出弦长的表达式,同理得出弦长的表达式,进而得出四边形AMBN面积的不等式,从而求出其最小值.【小问1详解】设抛物线上任一点为,则,所以当时,,又∵,∴,即所以抛物线C的方程为【小问2详解】设交抛物线C于点,,交抛物线C于点,由题意可知,的斜率k存在且不为0设的方程为由,得,同理可得,,当且仅当时,即时,等号成立∴四边形AMBN面积的最小值为12820、(1)数列具有性质,理由见解析;(2),;(3)有限个.【解析】(1)由题意,由性质定义,即可知是否具有性质.(2)由题设,存在,结合已知得且,则,由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值;(3)根据(2)的思路,可得且,由为整数,在为定值只需为整数,即可判断数列的个数是否有限.【小问1详解】由,对任意正整数,,说明仍为数列中的项,∴数列具有性质.【小问2详解】设的公差为.由条件知:,则,即,∴必有且,则,而此时对任意正整数,,又必一奇一偶,即为非负整数因此,只要为整数且,那么为中的一项.易知:可取,对应得到个满足条件的等差数列.【小问3详解】同(2)知:,则,∴必有且,则,故任意给定,公差均为有限个,∴具有性质的数列是有限个.【点睛】关键点点睛:根据性质的定义,在第2、3问中判断满足等差数列通项公式,结合各项均为整数,判断公差的个数是否有限即可.21、(1)(2)存在;【解析】(1)设出点的坐标,根据,即可直接求出动点M的轨迹方程;(2)根据题意写出直线的方程,把直线的方程与曲线的方程联立,消元,写韦达;根据条件,同时结合三角形的面积公式可得出;从而结合韦达定理可求出点T的坐标.【小问1详解】设,由,得,即,所以动点M的轨迹方程为.【小问2详解】设PT与RT夹角为,QT与RT夹角为,因为,所以,即,所以,设,,,直线l的方程为,因为,所以,即,所以,即①,由,得,所以,代入
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