人教版高中物理新教材同步讲义 必修第三册 第9章　专题强化1　静电力作用下的平衡（含解析）

静电力作用下的平衡[学习目标]1.学会分析同一直线上自由电荷的平衡问题.2.学会分析非共线力作用下带电体的平衡问题．一、同一直线上三个点电荷的平衡问题例1如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B相距L，问：(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？(2)在(1)中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷C，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？电荷量是多少？答案见解析解析(1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则keq\f(q·qC,r2)＝keq\f(4q·qC,L－r2)，解得：r＝eq\f(L,3)(2)在A、B间距离A为eq\f(L,3)处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响．(3)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向左(或向右)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷．设放置的点电荷C的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A：有keq\f(4q·q,L2)＝keq\f(Qq,r12)对电荷B：有keq\f(4q·q,L2)＝keq\f(Q·4q,L－r12)联立可得：r1＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(负电荷)即应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距eq\f(L,3)处放置一个电荷量为eq\f(4,9)q的负电荷．共线的三个自由电荷的平衡问题有关特点1．三个自由电荷的平衡规律“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．2．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任意两个电荷列式即可．注意：在三个共线点电荷的平衡问题中，若仅让其中一个电荷平衡，则只需要确定其位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求．针对训练1如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是()A．－Q，在A左侧距A为L处B．－2Q，在A左侧距A为eq\f(L,2)处C．－4Q，在B右侧距B为L处D．＋2Q，在A右侧距A为eq\f(3L,2)处答案C解析A、B、C三个电荷要平衡，三个电荷必须共线且外侧两电荷相排斥，中间电荷吸引外侧两电荷，而且外侧电荷电量大，所以C必须带负电，放在B右侧，对C：eq\f(kQqC,r2)＝keq\f(4Q·qC,L＋r2)，解得：r＝L对B：eq\f(kQqC,r2)＝eq\f(k4Q·Q,L2)，解得：qC＝4Q.选项C正确．二、非共线力作用下带电体的平衡分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：(1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象．(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝eq\f(kq1q2,r2))．(3)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.(4)解方程求出未知量．例2(2022·蚌埠市高二期末)如图所示，物体P、Q可视为点电荷，所带电荷量相同．倾角为θ、质量为M的粗糙绝缘斜面体放在粗糙水平面上．将P放在斜面上，当Q固定在与P等高(PQ连线水平)且与P相距为r的右侧位置时，P静止且受斜面的摩擦力为0，斜面体保持静止．已知P的质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k.求：(1)P、Q所带电荷量的大小；(2)斜面体对地面的压力大小．答案(1)req\r(\f(mgtanθ,k))(2)(M＋m)g解析(1)设P、Q所带电荷量为q，如图所示，P受到水平向左的库仑力F、竖直向下的重力mg、支持力FN三个力作用，由平衡条件可知在沿斜面方向上有Fcosθ＝mgsinθ可得F＝mgtanθ，由库仑定律有F＝keq\f(q2,r2)，解得q＝req\r(\f(mgtanθ,k))；(2)对物体P和斜面体整体，整体竖直方向受力平衡，所以受地面的支持力大小FN1＝(M＋m)g由牛顿第三定律得FN1′＝FN1＝(M＋m)g.针对训练2(2021·南通市高一期中)如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则()A．a球的质量一定比b球的大B．a球的电荷量一定比b球的大C．a球受到的库仑力比b球的小D．丝线对a球的拉力比对b球的小答案A解析小球a受力如图，根据受力分析可知eq\f(F库,mag)＝tanα，同理可得eq\f(F库,mbg)＝tanβ，其中F库＝keq\f(qaqb,r2)，由牛顿第三定律可知两球之间的库仑力大小相等，但是无法判断两球电荷量之间的关系，所以B、C错误．由于β>α，则ma>mb，所以A正确．由于eq\f(F库,FTa)＝sinα，eq\f(F库,FTb)＝sinβ，则FTa>FTb，所以D错误．例3(2021·淄博市阶段练习)如图所示，V形绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面间的夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑．两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是()A．两小滑块所带电荷为异种电荷B．两小滑块间的库仑力大小等于小滑块重力的两倍C．P与M间的动摩擦因数至少为eq\f(\r(3),6)D．P与M间的动摩擦因数至少为eq\f(\r(3),3)答案D解析滑块Q在光滑斜面N上静止，由平衡条件知Q所受库仑力方向斜向右上，P、Q相互排斥，则P与Q带同种电荷，A错误，设两者之间的库仑力大小为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对滑块Q在沿着斜面N方向有mgcos30°＝Fcos30°，可得F＝mg，B错误；对滑块P，静止时的摩擦力恰好为最大静摩擦力，此时动摩擦因数最小，由平衡条件有FN2＝F＋mgsin30°，Ff＝mgcos30°，又Ff＝μFN2，联立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，C错误，D正确．针对训练3(多选)(2022·湖北省高二期末)如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是()A．a、b小球一定带同种电荷B．a、c小球可能带同种电荷C．a、b小球所带电荷量之比为eq\f(\r(3),6)D．a、b小球所带电荷量之比为eq\f(\r(3),9)答案AD解析a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，a与b的电性一定相同，选项A正确，B错误；对c小球受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得keq\f(qaqc,rac2)sin60°＝keq\f(qbqc,rbc2)sin30°又由几何关系知rac∶rbc＝1∶eq\r(3)，解得qa∶qb＝eq\r(3)∶9，选项C错误，D正确．1．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是()答案B2.如图所示，质量为m的带电小球N用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球N的左侧，小球N平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上．关于小球N的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)()A．正电，eq\f(mg,tanθ) B．正电，mgtanθC．负电，mgtanθ D．负电，eq\f(mg,tanθ)答案B解析以小球N为研究对象，对其进行受力分析，若使小球N处于平衡状态，则M对小球N的库仑力应水平向右，则小球N带正电；小球N的受力分析图如图所示，根据小球处于平衡状态可知，在水平方向有F＝FTsinθ，在竖直方向有FTcosθ＝mg，解得F＝mgtanθ，则小球N所受库仑力大小为mgtanθ，故选项B正确．3.(2022·云南凤庆县第一中学高二阶段练习)如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘轻质细线悬挂起来两个相同的带电小球a、b，左边放一个带正电的固定球＋Q时，两悬线都保持竖直方向．下列说法正确的是()A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小答案B4.如图所示，点电荷q1、q2、q3固定在一条直线上，q2与q3的距离是q1与q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为0，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3可能为()A．－9∶4∶－36 B．9∶4∶36C．－3∶2∶－6 D．3∶2∶6答案A解析若q2为负电荷，假设q1带负电，要使q2平衡，则q3也应带负电，但此时q1、q3因都受斥力作用而不平衡，故q1带正电，同理分析q3也带正电．根据上面的假设判断，也可能是q1、q3带负电，q2带正电．由于三个电荷均处于平衡状态，所以对q1有：keq\f(|q1q2|,l12)＝keq\f(|q1q3|,l1＋l22)，对q2有：keq\f(|q1q2|,l12)＝keq\f(|q2q3|,l22)，对q3有：keq\f(|q1q3|,l1＋l22)＝keq\f(|q2q3|,l22)，又l2＝2l1，联立解得|q1|∶|q2|∶|q3|＝9∶4∶36，由于q1、q3是同种电荷，q1、q2是异种电荷，故A正确，B、C、D错误．5.(多选)(2021·赣州市高二期末)如图所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为d的水平面上，另有一个质量为m，带电荷量为q的小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为eq\f(\r(3),2)d，离Q2的距离为eq\f(1,2)d.已知重力加速度为g，静电力常量为k，三小球均可视为点电荷．则()A．Q1与Q2为同种电荷 B．Q1＝3Q2C．Q1＝eq\f(mgd2,8kq) D．Q2＝eq\f(\r(3)mgd2,8kq)答案AD解析小球A悬浮于空中，因此Q1对A的排斥力与Q2对A的排斥力的合力，一定与A所受的重力等大反向，故Q1与Q2与A都带同种电荷，A正确；利用三角形的边角关系可知∠AQ1Q2＝30°，∠AQ2Q1＝60°，根据库仑定律和平衡条件，可得eq\f(kQ1q,\f(\r(3),2)d2)sin30°＋eq\f(kQ2q,\f(1,2)d2)sin60°＝mg，eq\f(kQ1q,\f(\r(3),2)d2)cos30°＝eq\f(kQ2q,\f(1,2)d2)cos60°，解得Q1＝eq\f(3mgd2,8kq)，Q2＝eq\f(\r(3)mgd2,8kq)，因此B、C错误，D正确．6．(多选)如图所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么()A．两球一定带异种电荷B．q1一定大于q2C．m1一定小于m2D．m1所受的静电力一定大于m2所受的静电力答案AC解析由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确．根据牛顿第三定律可知，两小球受到的静电力大小相等，无法判断电荷量的大小，选项B、D错误．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的静电力F＝mgtanθ，α>β，故m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确．7.在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图所示．现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态(带电小球均可视为点电荷)，则Q与q的比值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(3),3)C．3D.eq\r(3)答案D解析设三角形边长为L，即AB、AC距离为L，则AD距离为eq\f(\r(3),3)L.以小球A为研究对象，＝eq\r(3)keq\f(Q2,L2)，球A、D间的静电力大小为F′＝eq\f(kQq,\f(\r(3),3)L2)＝3keq\f(Qq,L2)，根据平衡条件得F合＝F′，即eq\r(3)keq\f(Q2,L2)＝3keq\f(Qq,L2)，所以Q＝eq\r(3)q，则Q与q的比值为eq\r(3)，选项D正确．8.(2022·云南广南县第一中学高二月考)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，问：C应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？答案C带负电荷放在A的左边0.2m处－eq\f(9,4)Q解析A、B、C三个电荷要平衡，必须三个电荷在一条直线上，外侧两电荷排斥，中间电荷吸引外侧两电荷，因为外侧两电荷距离大，所以外侧电荷电荷量大，中间电荷电荷量小，因此，C只能带负电，并且只能放在二者连线的延长线上，靠近A，如图所示，已知A与B间距离为L＝0.4m，设C与A间距离为x，C所带电荷量大小为qC.由题意可知，A、B、C均处于平衡状态，则三者所受合力为零．对C有eq\f(kqAqC,x2)＝eq\f(kqBqC,L＋x2)，解得x＝0.2m，对A有eq\f(kqAqC,x2)＝eq\f(kqAqB,L2)，解得qC＝－eq\f(9,4)Q.9.如图所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1g，分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向60°，A球竖直悬挂且与(1)两个小球所带电荷量；(2)墙壁受到的压力；(3)连接A球的细线与连接B球的细线的拉力的大小．答案(1)eq\f(1,3)×10－7C(2)eq\f(\r(3),2)×10－3N，方向水平向左(3)1.5×10－3N1×10－3N解析(1)对B球受力分析如图甲所示．B球受力平衡，则拉力与库仑力的合力大小等于重力，方向