小学数学-三条线索认识负数教学设计学情分析教材分析课后反思

《三条线索认识负数》教学设计【教学目标】1.通过问题情境帮助学生了解正数负数的生活意义，会正确读写正数、负数，会用正数、负数表示生活中具有相反意义的量。2.引导学生感受0的意义变化过程，了解0的特殊性，0的多种理解方式对应负数的多种认识角度。3.结合负数产生的文化背景，了解历史上数学家接受负数的曲折过程，感受到负数的出现方式和之前分数的出现方式存在很大差异。4.设计三条线索认识负数，通过0的角度、相反意义量的角度、减法角度三个不同角度相结合，感受到负数的出现对于生活需要和数学运算体系的价值，更加全面深刻的认识负数。【教学重点】通过对0的重新解释帮助学生认识相反意义的量，0的解释角度不同，负数的理解方式也不相同。【教学难点】感受到负数的认识过程与之前分数的认识过程并不相同，分数的出现主要在于生活中的计量需求，负数的认识过程更加抽象。【整体分析】认识负数的三条线索：线索1：0的认识过程。认识负数之前，0表示“什么也没有”，这节课中0的意义有了新变化：（1）0表示标准量的大小；（2）0表示相反方向的分界点线索2：相反意义量的认识过程。（1）有的量没有方向只有大小，比如钱数、温度、高度等，此时正负号表示相反的大小（对应的0表示表示量大小）；（2）有的量既有方向又有大小，比如风力、速度等，这时正负号表示相反的方向（对应的0表示相反方向的分界点）。线索3：负数和分数认识方式的对比过程。分数的出现主要是生活计量需要，即计量时原来的数不够用了；而负数的出现更多是运算需要，即数学中原有的运算关系不够用了。教学中三条线索对应联系，从生活意义过渡到数学内部意义，从感性过渡到理性，帮助学生从生活中相反意义的量和数学运算角度更加全面深刻的认识负数。【教学设计流程】一、复习导入：回顾之前数的认识方式与负数的认识方式形成对比1.复习自然数的认识过程：先认识1、2、3……，当什么也没有时用0表示。2.分数和小数的认识过程：物体计数时原来的数不够用了，引入分数和小数。形成猜想：那么负数出现的主要原因是什么，是否也是因为物体计数时，数不够用了？你的答案是（）A:是B:否【设计意图】小学阶段的数系扩充有两次，分数是第一次，负数是第二次，分数认识方式和负数并不相同，因此这里的铺垫是一种反向比较。把握两者认识过程中的异同点有助于负数的深刻理解，初步感受数系扩充中的一些基本规律。

二、通过高度测量中相反意义的量引入负数，体会0作为标准量大小的应用高度测量中，相反意义的量分动态形式和静态形式两种，可以分情况设计导入情境。（一）利用正负数表示人的身高变化问题情境：科学小常识，人的高度竟会在一天里发生变化，到了晚上，往往会比早晨矮1—2厘米。小明以自己体检时的身高160cm为标准，早晨起来测量，发现身高增加了1cm；中午测量，身高正好160cm；晚上测量，身高降低1cm。小明作了以下记录：早上1cm；中午0cm；晚上1cm师：小明记录的数据有问题吗？生：增加1cm和降低1cm属于相反意义的量，不能用同一个数字表示。师：大家用更好的表示方式吗？小组讨论，展示新的方式;早上+1m；中午0cm；晚上-1cm。师：这里的0表示多高？生：表示小明的标准身高160cm。师：之前认识的0表示什么也没有，这里0的意思发生了变化，不是表示没有高度，而是表示一种测量标准。那么+1和-1呢？生：+1表示比标准身高160cm多1cm，-1表示比160cm少1cm。（二）利用正负数表示地形的高度问题情境：测量地形的高度以海平面的高度作为标准，把海平面的高度定义为0米，大家思考一下为什么不用地面的高度作为标准吗？生：因为地面有起伏，每个地方的地面高度不同。师：解释的很好，我们以海平面高度作为统一的标准，珠穆朗玛峰的高度+8844米，吐鲁番盆地的高度-155米，各表示什么意思？生：+8844米表示比海平面高8844米，-155米表示比海平面低了155米师：人们燃烧大量燃料，破坏环境，会导致全球温度升高，科学家预测100多年后，两极的冰雪会部分融化，海平面的高度预计会升高1m，此时我们把海平面高度记作多少米？生1：+1m生2：我觉得还是0m，因为海平面高度是测量时的标准，标准仍记作0米。师：对，虽然海平面上升了，但它作为标准还是记作0，那么此时珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的高度变成了多少？生：海平面上升后，珠穆朗玛峰比海平面高8843米，记作+8843米；吐鲁番盆地比海平面低156米，记作-156米。（三）巩固练习。用负数表示相反大小时，进一步提供两个练习情境：（1）正负数表示温度。北京地区的温度是零上五度，记作+5℃；哈尔滨温度零下18度，如何表示？（2）正负数表示钱数。+5元、-5元、+10元、0元四种情形，哪个数量最多，哪个数量最少？【设计意图】学生之前认识自然数0时，0表示数量上什么也没有，这种观念对学生认识负数会形成一种负迁移，因为比“什么也没有”还少的数量客观上不存在。通过以上对高度的测量可以发现，此时0有了新的意义，0表示一个定义的标准量，比标准量多时是正数，多对应加法，因此加号和正号形式上等价；比标准量少时是负数，少对应减法，因此减号和负号形式上等价。同时，0这个标准量发生变化时，相应的正负数值也会发生变化。可见，学习负数的过程中，学生认识数量的方式发生了变化，从之前的绝对大小过渡到理解数量的相对大小；从之前的静态描述过渡到数量的动态化理解。当0表示标准量大小时，此时，负数表示一种大小相反的量，容易发现正数大于负数，如海拔+5米和海拔-5米、+8元和-8元等，两者相加可以抵消，从这个角度上中学会进一步引入“相反数”的概念。三、通过方向上相反意义的量认识负数，体会0表示相反方向的分界点（一）用负数表示相反位置问题情境：把学校的位置看作0点，向东为正，向西为负，小明的位置在学校以东5km，小华的位置在学校以西6km，怎么表示他们的位置？生：小明的位置记作+5km，小华的位置记作-6km师：这里0有了新的含义，它是一种相反方向的分界点。（二）用负数表示相反风向没有风时风力定义为0级，规定向东为正，向西为负，第一天东风的风力力为5级，记作（）；第二天西风风力10级记作（）。生：第一天记作+5级风，第二天记作-10级风。师：根据之前的学习，+5和-10谁大？生：+5＞-10师：那么相对应的哪天风力更大呢？生1：我觉得还是第二天中-10级风的风力大。生2：可是+5＞-10啊。生3：这里比较大小时不应该再考虑正负号了，就是10＞5师：对，因为这里的正负号只表示相反的方向，不表示大小，所以比较风力大小时不应该再考虑正负号，数学上可以这样表述，-10级风的绝对大小10＞+5级风的绝对大小5。（三）巩固练习。用负数表示相反方向时，进一步提供练习情境：汽车向东行驶的速度为80千米/小时，记作+80千米/小时；向西行驶的速度为90千米/小时，如表示？哪次速度更快？【设计意图】当0表示相反方向的分界点时，此时负数表示方向相反的量，如+5级风（东风）和-10级风（西风），速度+80千米/小时（向东行驶）和-90千米/小时（向西行驶），比较相反方向量的大小时需要去掉正负号，只比较其绝对数值的大小，如两个速度量之间，-90千米/小时的绝对数值90＞+80千米/小时的绝对数值80，从这个角度上中学会进一步引入“绝对值”的概念。四、联系负数的历史文化背景，从数学内部进一步感受负数的价值（一）数学文化渗透，为什么历史上负数的认识过程极其漫长？1.介绍历史上负数的认识过程。负数的认可过程在历史上极其漫长，在负数出现后，数学家理解和接受负数的合理性用了1000多年，这个过程远远长于分数。通过这种对比使学生认识到，我们这节课认识的负数可能不够理性，只是获得了一些负数的表象，可从物体计量角度进一步解释原因。2.从计量角度可同时感受到负数和之前各种数的不同。2个苹果、3厘米、米、0.1米等这些原先学过的数都有对应的物体或长度，即自然数、分数、小数这些数对应的数量可数、可测。而负数则不然，-5个饼、-7个人、-3米等并没有实际对应的物体数量。原来的认识中，自然数中0表示什么物体都没有，作为比0还小的负数由于找不到可以实际表征的数量，因此历史上负数长期被认为是一种荒谬的数和不合理的数。（二）借助“0-a”从减法运算角度进一步认识负数出现的意义出示问题情境（1）标准身高增加1cm，记作+1cm，降低1cm，记作-1cm；（2）身无分文的人挣了5元钱，记作+5元；借了5元，记作-5元（3）仓库进货3吨，记作+3吨；出货2吨,记作-2元师：观察以上三种情形中出现的正数，增加、挣钱、进货都对应了哪一种计算关系？生：加法师：可以列出加法算式吗？生交流展示：0+1=+1；0+5=+5；0+3=+3。师：观察以上三种情形中出现的负数，降低、借、出货都对应了哪一种计算关系？生：减法师：可以列出减法算式吗？学生对比0+1=1、0+5=5、0+3=3的结果，交流减法情形，容易得出算式和答案：0-1=-1；0-5=-5；0-2=-2。师：之前的学习中小的数减大的数无法计算，现在能减了吗？生：能师：我们发现它们相减得到的差其实是一个什么数？生：负数。师：也就是负数出现以后，小的自然数可以减大的自然数，减法运算体系比之前更加完善了。【设计意图】除了借助生活中相反意义的量认识负数，仍可以从减法运算封闭性的角度理解负数产生的必要性，小学中不需要学习完整的正负数计算体系，但可以以0为突破点，对比0+a=a的结果，学生容易理解0-a=-a，借助这样的特殊形式初步接触小自然数减大自然数的情形，意识到负数的产生完善了减法运算体系。结语：对0的解释角度不同，负数的理解方式也不相同。负数表示相反意义的量，有的量没有方向只有大小（标量），比如钱数、温度、高度等，正负号表示相反的大小（把0定义为标准量）；有的量既有方向又有大小（矢量），比如位移、风力、速度等，这时正负号表示相反的方向（把0定义为分界点或原点），比较大小时需要借助绝对值的概念去掉方向。同时也可以以0-a=-a为突破口，帮助学生初步认识到负数的的引入实现了减法计算的封闭性，从生活意义过渡到数学意义理解负数产生的必要性。《三条线索认识负数》学情分析负数从出现到被认可经历了漫长、曲折的过程，数学家是花了1000才接受负数概念。M.克莱因认为，“历史顺序通常是正确的顺序，数学家所经历的困难，正是我们的学生要经历的困难。”因此学生认识负数并没有看上去那么简单。学生从生活角度认识负数，容易从一些相反的过程和动作中初步接受负数的概念，此时往往会疑问，为什么数学家需要花那么多时间认识负数，这是因为学生对负数的认识往往是感性和生活化的，而不是从理性的角度。对负数的生活化处理时，可以发现负数并没有实际表征的生活数量。学生在低年级已经形成这样的学习经验，数来自于数量的抽象，2个苹果、2本书、2厘米中可以抽象出“2”这个数；在平均分物时，1米平均分给若干份时，米、0.1米等这样的分数和小数都有对应的实际长度，即原先自然数、分数、小数这些数对应的数量可数、可测、可视。而负数则不然，-5个饼、-7个人、-3米等并没有实际对应的物体数量。按照生活化思路，可以设计一个生活场景解释负数，如一个人身无分文，借了邻居5个饼，此时从相反意义的量角度会出现“-5个饼”，但从实际计量角度，借的这5个饼在实体对应的原则下仍然是自然数5，原来的自然数仍然够用，负号只是“借”这个词在数学上的代名词。原来的认识中，自然数中0表示什么物体都没有，作为比0还小的负数由于找不到可以实际表征的数量。对比之前的学习过程，分数是数系的第一次扩充，负数是第二次扩充，分数的出现是因为生活中原有的数不够用了，而负数则不是，负数的出现需要更多从数学内部寻找其原因。因此历史上负数长期被认为是一种荒谬的数和不合理的数，数学家们接受负数所用的时间远远多于分数。综上，从学情角度看，学生如果从生活化角度认识负数可能难度不大，而从理性角度认识负数则往往比较困难，需要更高的抽象能力。《三条线索认识负数》效果分析这节课构建了三条认识负数的线索，包括0的不同意义、相反意义量的两种类型、分数和负数认识过程对比。其中0的解释角度不同，负数的理解方式也不相同。负数表示相反意义的量，有的量没有方向只有大小，正负号表示相反的大小（把0定义为标准量）；有的量既有方向又有大小，这时正负号表示相反的方向（把0定义为分界点或原点），比较大小时需要借助绝对值的概念去掉方向。同时也可以以0-a=-a为突破口，帮助学生初步认识到负数的的引入实现了减法计算的封闭性，从生活意义过渡到数学意义理解负数产生的必要性。从课堂实施效果来看，学生活动充分、感悟深刻、表达流畅，课堂效果达成度较高。从生活与数学的联系角度，利用了负数与日常生活的密切联系，创设贴近学生生活实际的情境，让学生感悟负数的价值。在教师的引领下，通过自主探究、合作交流等方式在基于学生获得活动经验的基础上，培养学生的理性思维，进而负数在减法和数学内部的存在价值。学生的自主学习角度。课堂教学中，教师精心设计活动，引导学生在独立探究的前提下，进行合作交流、汇报展示、质疑提升，学生与教师、与同伴主动交流、大胆质疑，不断推进对负数意义的理解和掌握，学生主体地位体现到位，数学思维得到有效提升。本节课从学生的表现看，目标达成度很高，在掌握基本知识和能力的基础上发展了数学思维。《三条线索认识负数》教材分析“负数的初步认识”是教材中的独立单元，是有理数版块的重要内容，分数是数系的第一次扩充，负数认识是数系的第二次扩充，两次扩充之间存在联系和区别。负数的初步认识过程需要置于数系扩充的知识序列之中，了解有关负数知识的全貌，梳理有关负数认识的线索和主次脉络，理清负数与其他知识之间的联系，把握负数概念的内涵和外延。相反意义的量角度认识负数相反意义的量是负数的本质概念，引入负数可以更好的表示生活中相反意义的量，这些相反意义的量可以从不同角度进行分类。1.相反意义的量在描述方式上可分动态描述和静态描述两种。动态描述的如上车3人和下车3人、挣50元和借50元钱等；静态描述的如地上3米和地下3米、零上20度和零下20度等。教学中可以分类型帮助学生在具体情境中感受到负数“作为一种新的数”出现是必然的，知道正数和负数是表示相反意义的量，初步认识负数及其符号表示。2.从标量和矢量角度，相反意义的量可以分为相反大小和相反方向两种情形。有的量只有大小没有方向（标量），如分数、钱数、海拔等，这时负数表示相反的大小，如+5元和-5元、+200米和-200米，很明显+5元多于-5元、+200米高于-200米；有的量有方向也有大小（矢量），如距离、风力，速度等，这时负号往往表示相反的方向，如+5级风和-5级风、+80千米/小时和-80千米/小时（规定向东为正、向西为负），此时+5级风力和-5级风的风力大小相同，只是方向相反，此时比较大小需要引入绝对值的概念。二、减法封闭性角度认识负数从计算封闭性角度可以加深对负数的理解。之前的减法中，小减大无法计算，如0-2，3-7等，而引入负数后这种减法计算的结果可以准确表示，实现减法计算的封闭性。当然小学阶段不必要学习完整的正负数加减运算体系，但可以认识一种特殊的加法：，以此感受负数与减法的关系。学生之前从生活角度认识了负数，我们可以从算式角度再一次解释“生活中相反意义的量”实际上是两个算式和之间的对比，如：（1）一个身无分文的人挣了2元记作+2，对应的算式即0+2=2；借了2元记作-2，对应的算式即0-2=-2（2）海平面以上200米记作+200，对应0+200=200,；海平面以下200米记作-200，对应0-200=-200（3）以原计划的年产量为标准，多生产80吨记作+80，对应0+80=90；少生产80吨记作-80，对应0-80=-80。因此，借助这些相反意义量的场景，可进一步抽象出和的算式，借助情境意义以及对比的结果，学生容易明白，在负数中拓展对减法运算的认识，发现0可以减比自己大的自然数得到一个负数。从这个角度也可以进一步理解为什么负号和减号之间是一致的，由于中的0可以省略，即；同样中0也可以省略，即，在这两个算式中可以清晰看到加法和减法这两种计算符号转化成了自然数a的性质符号（正号和负号）。综上，除了生活化解释，教学中应及时引导学生从数学意义角度把握负数出现的合理性，与负数相关的数学意义不单单是减法运算的封闭性，也包括之后的方程负数解、数轴与坐标系等多个方面。《小数的初步认识》评测练习练习一：（负数表示相反大小）1.人们把冰块融化时的温度记作0℃，上海地区的温度是零上9度，哈尔滨地区的温度是零下10度，分别如何表示？哪个地区温度高？2.零件的标准长度为1.9cm，超出记为正，不足记为负，现有四个零件，其长度分别记作+0.09cm，+0.1cm，-0.01cm，-0.1cm，其中最标准的是几号零件？练习二：（负数表示相反方向）把超市的位置看作0，向东为正，向西为负，明明家在超市以东100米，华华家在超市位置以西150米，分别如何表示？练习三：分类9，+12，-8,0，-7，+100,3.5，3.6以上数中，正数是（），负数是（）负数认识过程和分数认识过程的对比--《三条线索认识负数》教学反思学生在学习数的过程中，分数是数系的第一次扩充，负数则是第二次扩充，比较两者认识过程中的异同点有助于负数的深刻理解，初步感受数系扩充中的一些基本规律。回顾小学阶段分数的认识过程，有2个切入角度：（1）生活中的计量需求。人们在进行度量和平均分物时往往不能得到整数的结果，即原来的数不够用了，为了适应这种需要产生分数。平均分物活动和度量活动也为分数的认识提供了情境意义。在此基础上，也可产生分数的各种实物或直观模型，如直尺中的分数、分大饼中的分数、长方形面积图中的分数。通过分数的直观模型实现数形结合，使分数的抽象意义形象化。（2）数学运算的需求即除法运算的封闭性。多数教材编排时，往往在第一节结合实际场景认识分数意义之后，在下一个信息窗中会从分数和除法的关系角度再次深化对分数的理解，即a÷b=，除法运算不能整除时可以用分数直接表示结果。这三个切入角度是否都适用于负数的认识呢？分数认识时积累的活动经验对于负数的学习是正迁移还是负迁移？（一）从实际生活角度认识分数1.负数表述生活中相反意义的量引入负数可以更好的表示生活中相反意义的量，这些相反意义的量可以从不同角度进行分类。（1）描述方式上。动态描述的如上车3人和下车3人、挣50元和借50元钱等；静态描述的如地上3米和地下3米、零上20度和零下20度等。（2）标量和矢量角度。有的量只有大小没有方向（标量），如分数、钱数、海拔等，这时负数表示相反的大小，如+5元和-5元、+200米和-200米，很明显+5元多于-5元、+200米高于-200米；有的量有方向也有大小（矢量），如距离、风力，速度等，这时负号往往表示相反的方向，如+5级风和-5级风、+80千米/小时和-80千米/小时（规定向东为正、向西为负），此时+5级风力和-5级风的风力大小相同，只是方向相反。教材例题和习题中对于以上不同类型相反意义的量往往都有涉及，使学生认识到负数的出现有生活需求的基础，感受数学和生活的联系，同时这诸多生活场景也为负数的认识提供了情境意义支撑。（2）从计量角度，负数没有对应表征的生活数量对负数的生活化处理时，可以发现负数并没有实际表征的生活数量。学生在低年级已经形成这样的学习经验，数来自于数量的抽象，2个苹果、2本书、2厘米中可以抽象出“2”这个数；在平均分物时，1米平均分给若干份时，米、米、0.1米等这样的分数和小数都有对应的实际长度，即原先自然数、分数、小数这些数对应的数量可数、可测、可视。而负数则不然，-5个饼、-7个人、-3米等并没有实际对应的物体数量。按照生活化思路，可以设计一个生活场景解释负数，如一个人身无分文，借了邻居5个饼，此时从相反意义的量角度会出现“-5个饼”，但从实际计量角度，借的这5个饼在实体对应的原则下仍然是自然数5，原来的自然数仍然够用，负号只是“借”这个词在数学上的代名词。原来的认识中，自然数中0表示什么物体都没有，作为比0还小的负数由于找不到可以实际表征的数量，因此历史上负数长期被认为是一种荒谬的数和不合理的数，数学家们接受负数所用的时间远远多于分数。（3）负数的实物直观模型分数认识时，教材提供了诸多直观模型帮助学生理解其抽象意义，如分饼模型；同样认识负数时，教材一般用温度计作为学生理解正负数的直观模型。由于温度计可以抽象成一维的直线，因此在温度计上标记0和正负温度的过程可以为数轴上认识负数提供直观基础，对于理解负数在数轴中的位置、负数比较大小的方式、负数和正数的对称关系等都有积极意义。但另一方面，不同于分数的认识，温度计作为负数的直观模型也有牵强之处。张奠宙教授指出，自然意义上的相反更容易理解，而温度计中的相反意义属于人为规定。-2摄氏度也是一个温度，与2摄氏度相比没有什么相反的意义。再如两杯100毫升的水，一杯是2摄氏度，另一杯是3摄氏度，混在一起并非5摄氏度。因此从生活联系角度，负数的学习与之前认识分数虽有相似之处，也有很大不同，负数概念的抽象并没有具体数量的支撑，也没有特别切合的实物模型，如克莱因所说，认识负数是由具体数学向形式数学的第一次转折，要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力。二、从运算封闭性角度认识负数（一）分数与除法分数意义单元中，教材往往在第二个信息窗从分数和除法关系的角度再次认识分数：a÷b=，更进一步意义在于满足了除法计算的需要，不论是否能整除，除法计算的结果都可以用分数准确表示，即除法计算对于分数是封闭的。在分数引入之前，除法计算在不能整除时其结果难以表示，在低年级学生学习了带余数的除法，但这种方式并不严密，伍鸿熙教授认为应该把553÷35=15……28这种写法清除出教材，因为15……28没有任何意义，不代表任何数【1】。举例说明其中的问题，如26÷8=3……2；17÷5=3……2，根据等式性质和，等式右侧相等，左侧也相等，进行等量代换后得26÷8=17÷5，但显然两者并不相等，因此之前用3…..2这种方式表述除法计算的结果并不准确，只能作为一种过渡方式短期内应用，教学分数时应该让学生明白这一点，只有分数（小数）引入后，所有除法计算的结果才可以准确表示。（二）负数与减法同样，从计算封闭性角度可以加深对负数的理解。之前的减法中，小减大无法计算，如0-2，3-7等，而引入负数后这种减法计算的结果可以准确表示，实现减法计算的封闭性。当然小学阶段不必要学习完整的正负数加减运算体系，但可以认识一种特殊的加法：，以此感受负数与减法的关系。学生之前从生活角度认识了负数，我们可以从算式角度再一次解释“生活中相反意义的量”实际上是两个算式和之间的对比，如：（1）一个身无分文的人挣了2元记作+2，对应的算式即0+2=2；借了2元记作-2，对应的算式即0-2=-2（2）海平面以上200米记作+200，对应0+200=200,；海平面以下200米记作-200，对应0-200=-200（3）以原计划的年产量为标准，多生产80吨记作+80，对应0+80=90；少生产80吨记作-80，对应0-80=-80。因此，借助这些相反意义量的场景，可进一步抽象出和的算式，借助情境意义以及对比的结果，学生容易明白，在负数中拓展对减法运算的认识，发现0可以减比自己大的自然数得到一个负数。从这个角度也可以进一步理解为什么负号和减号之间是一致的，由于中的0可以省略，即；同样中0也