2021年中考数学期中测试卷

2021年中考数学期中测试卷

一、选择题（每小题四个选项中，只有一项

最符合题意.本大题共12个小题，每小题

3分，共36分）

1.在下列实数中：0,尔，-3.1415,凡

f,0.343343334…无理数有（）

人.1个8.2个C.3个D.4个

2.下列全国各地地铁标志图中，既是轴对

称图形又是中心对称图形的是（）

B.

3.下列调查中，最适宜采用全面调查方式

的是（）

A.对广水市中学生每天学习所用时间的

调查

B.对全国中学生心理健康现状的调查

C.对某班学生进行6月5日是〃世界环

境日〃知晓情况的调查

D.对广水市初中学生视力情况的调查

4.正比例函数片依（攵>0）的图象大致

5下列图形中，能确定Nl>z2的是）

。叁D.g

6.已知。中，Z/4=70°zN8=60°z贝(]

C()

A.50°B.60°C.70°D.80°

7.一元二次方程x(x-2)=0根的情况是

()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相

等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

8.如图，将矩形纸片力6。沿对角线BD

折叠，点C落在点£处，BE与相交

于点F./EDF=38。，贝此。国的度数是

B'

A.25°B.26°C.27°D.38°

9.在中，各边都扩大5倍，则角

/的三角函数值（）

人,不变8.扩大5倍C.缩小5

倍D.不能确定

10.根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了

如图所示的折线统计图.

根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩

较稳定的选手去参赛，应推荐（）

A.李飞或刘亮B.李飞C.刘亮

D.无法确定

11.如图，过边长为1的等边的边

上一点P,作PE±ACTE,Q为BC

延长线一点，当必I二CQ时，连结PQ

交/C于。，则的长为（）

A.lB4c.fD.f

12.已知：如图，在等边△/6C中取点P.

使得PA,PB,的长分别为3,4,5,

将线段/户以点/为旋转中心顺时针旋转

60。得到线段AD,连接BD,下列结论:

①可以由△/PC绕点/顺时针旋转

60。得到；②点户与点。的距离为3;③N

/户6=150。；

@S^APC^S^APB~6号北,其中正确的结论有

)

-------^C

A.①②④B.①③④C.①②

③D.②③④

二、填空题（本大题共8小题；共24分）

13.-2的倒数是.

14.若关于x的一元二次方程（）-2）

〃+x+/7T2-4=0的一个根为0，贝（Jm值

是.

15.若关于x的不等式的解集在数轴上表示

为如图，则其解集为.

16.在△/8C中，已知/8=55。/C=80。,

贝！二

17.如图，点。在。。的直径的延长线

上，点。在。。上，且AC=CD,AACD

二120。，a?是。。的切线：若。。的半

径为2,则图中阴影部分的面积

18.将一些相同的〃。〃按如图所示的规律

依次摆放，观察每个〃稻草人〃中的〃。〃

的个数，则第20个〃稻草人〃中有

//〃

个O

o

ooooo

OOo

OOOOOOOO

oOOO

OOOOOOO

OOOO

19.如图，。为坐标原点，矩形0/8。中，

4-8,0),0(0,6)，将矩形。

绕点。旋转60。，得到矩形046。，此

时直线04与直线6C相交于P.则点P

的坐标为

20.如图,在平面直角坐标系中，点A,B,

D的坐标为(1,0),(3,0),(0,

1),点U在第四象限/ACB=90。，

若△/8C与△46。关于点D

成中心对称，则点。的坐标为.

u队

____0之\Z外”

C

三、解答题(本大题共8小题；共60分)

21.计算：V12+/x&.

22.解方程：言二1■七.

23.如图,某地方决定在相距50km的4

8两站之间的公路旁，点，修建一个土特

产加工基地，目使C。两村到，点的距

离相等，已知DA1,AB于A,CBS.AB

于B,DA=30km,3=20赤，那么基

地£应建在离/站多少千米的地方？

D

\C

24.水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE

的长度之比为106背水坡坡比为1:

2,大坝高DE-30米，坝顶宽CD=10

米，求大坝的截面的周长和面积.

25.一学校为了绿化校园环境，向某园林公

司购买了一批树苗，园林公司规定：如果

购买树苗不超过60棵,每棵售价为120

元；如果购买树苗超过60棵，每增加1

棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低

0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于

100元，该校最终向园林公司支付树苗款

8800元，请问该校共购买了多少棵树

苗？

26.东坡商贸公司购进某种水果的成本为

20元/kg,经过市场调研发现，这种水果

在未来48天的销售单价p（元1kg）与

时间〃天）之间的函数关系式为p=

^-t+30（l<t<24,t为整数）

4，且其日销售量乂侬）

-|-t+48（25<t<48,t为整数）

与时间1（天）的关系如表：

时间136102040

(1)已知y与片之间的变化规律符合一次

函数关系，试求在第30天的日销售量是多

少？

(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销

售利润为多少？

(3)在实际销售的前24天中，公司决定

每销售13水果就捐赠〃元利润("<9)

给〃精准扶贫〃对象.现发现：在前24天

中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t

的增大而增大，求n的取值范围.

27.如图,已知户是正方形ABCD边BC

上一点，BP=3PC,Q是8的中点，

(1)求证：SDQiQCP',

(2君=10连接BD交/户于点M,

交/Q于点/V,求8例，Q/V的长.

AD

BPC

28.探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用

品--圆规.我们不妨把这样图形叫做〃规

形图〃，那么在这一个简单的图形中，到

底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发

挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察〃规形图〃，试探究与N

AN氏NC之间的关系，并说明理由；

(2)请你直接利用以上结论，解决以下三

个问题：

①如图2把一块三角尺X3放置在△/8C

上，使三角尺的两条直角边XK屹恰好

经过点B、C,若2/二50。，贝UN/SX+N

ACX=°;

②如图3平分N/08,%平分N/四，

若4DAE=50°z4DBE=130°z求乙DCE

的度数；

③如图4,/ABD,的10等分线相

交于点G.、G?…、69,若/8。（7=140。，

N8GU=77。，求N/的度数.

2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟

试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题四个选项中，只有一项

最符合题意.本大题共12个小题，每小题

3分，共36分）

1.在下列实数中：0,反，-3.1415,也，

f,0.343343334…无理数有（）

人.1个3.2个C.3个D.4个

【分析】根据无理数是无限不循环小数，

可得答案.

【解答】解：后，0.343343334…是无理

数，

故选：8.

【点评】本题考查了无理数，无理数是无

限不循环小数，有理数是有限小数或无限

循环小数.

2.下列全国各地地铁标志图中，既是轴对

称图形又是中心对称图形的是（）

A€B©

D.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形

的概念求解.

【解答】解：4不是轴对称图形，也不是

中心对称图形.故错误；

员不是轴对称图形，是中心对称图形.故

错误;

C是轴对称图形，也是中心对称图形.故

正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故

错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对

称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重

合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋

转180度后与原图重合.

3.下列调查中，最适宜采用全面调查方式

的是（）

A.对广水市中学生每天学习所用时间的

调查

B.对全国中学生心理健康现状的调查

C.对某班学生进行6月5日是〃世界环

境日〃知晓情况的调查

D.对广水市初中学生视力情况的调查

【分析】根据普查得到的调查结果比较准

确，但所费人力、物力和时间较多，而抽

样调查得到的调查结果比较近似进行判断

即可.

【解答】解：对广水市中学生每天学习所

用时间的调查适宜采用抽样调查方式；

对全国中学生心理健康现状的调查适宜采

用抽样调查方式；

对某班学生进行6月5日是〃世界环境日〃

知晓情况的调查适宜采用全面调查方式；

对广水市初中学生视力情况的调查适宜采

用抽样调查方式；

故选：C.

【点评】本题考查的是抽样调查和全面调

查的区别，选择普查还是抽样调查要根据

所要考查的对象的特征灵活选用，一般来

说，对于具有破坏性的调查、无法进行普

查、普查的意义或价值不大，应选择抽样

调查，对于精确度要求高的调查，事关重

大的调查往往选用普查.

4.正比例函数片依（攵>0）的图象大致

【分析】根据正比例函数的性质；当〃>0

时，正比例函数y二代的图象在第一、三

象限选出答案即可.

【解答】解：因为正比例函数y=kx〈k>

0）,

所以正比例函数y二依的图象在第一、三

象限，

故选：。.

【点评】本题主要考查了正比例函数的性

质，关键是熟练掌握：在直线y二代中，

当%>0时，y随x的增大而增大，直线经

过第一、三象限；当攵<0时）随x的增

大而减小，直线经过第二、四象限.

5下列图形中，能确定Nl>z2的是（）

【分析】分别根据对顶角相等、平行线的

性质、三角形外角的性质对四个选项进行

逐一判断即可.

【解答】解：4/Z1与N2是对顶角，二

ZL=N2,故本选项错误；

B、若两条直线平行,贝二z2,若所截

两条直线不平行，贝与N2无法进行判

断，故本选项正确；

C/Z1是N2所在三角形的一个外角，.二

zl>z2z故本选项正确；

2,•,已知三角形是直角三角形，.•・由直角

三角形两锐角互余可判断出N1=N2.

故选：C.

【点评】本题考查的是对顶角相等、平行

线的性质、三角形外角的性质及直角三角

形的性质，熟知以上知识是解答此题的关

键.

6.已知△/8C中，Z/=70。，=60°z贝!]

，C二()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【分析】根据三角形的内角和定理得到N

/+N8+NG180°z然后把N/=70。，/B

二60。代入计算即可.

【解答】解:•.•N/+N8+NC=180。，

而"二70。，/8二60。，

=180°-n/-4B=180°-70°-60°

=50。.

故选：力.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理：

三角形的内角和为180°.

7.一元二次方程x(x-2)=0根的情况是

()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相

等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【分析】先把原方程变形为：层-2x=0,

然后计算^，得到△=4>0,根据△的含义

即可判断方程根的情况.

【解答】解：原方程变形为：层-2x=0,

2

・・•△二(-2)-4xlx0=4>0z

•••原方程有两个不相等的实数根.

故选：力.

【点评】本题考查了一元二次方程

a层+Z?x+c=O,(8H0)根的判别式△二

"-4":当△>0,原方程有两个不相等

的实数根；当^=0,原方程有两个相等的

实数根；当^<0,原方程没有实数根.

8.如图，将矩形纸片力8。沿对角线BD

折叠，点C落在点£处，BE与相交

于点F,乙EDF=38。，则N。的的度数是

A.25°B.26°C.27°D.38°

【分析】根据翻折的性质可得N1=N2,根

据两直线平行,内错角相等可得N1=N3,

从而得到N2=N3，然后根据三角形的内角

和定理列式计算即可得解.

【解答】解：由翻折的性质得，N1=/2,

..矩形的对边/OI6C,

/.zl=z3,

/.z2=z3,

在ABDE中,乙2+23+/EDF=180°-90°z

即2z2+38°=90°,

解得N2=26。，

:zDBE=26。.

故选：8.

【点评】本题考查了平行线的性质，翻所

变换的性质，熟记性质并准确识图是解题

的关键.

9.在Rf/8。中，各边都扩大5倍，则角

/的三角函数值（）

人.不变3.扩大5倍C.缩小5

倍D.不能确定

【分析】易得边长扩大后的三角形与原三

角形相似，那么对应角相等，相应的三角

函数值不变.

【解答】解：二.各边都扩大5倍，

••・新三角形与原三角形的对应边的比为5:

1,

「•两三角形相似;

・•・N/的三角函数值不变，

故选：力.

【点评】用到的知识点为：三边对应成比

例，两三角形相似；相似三角形的对应角

相等.三角函数值只与角的大小有关，与

角的边的长短无关.

10.根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了

如图所示的折线统计图.

根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩

较稳定的选手去参赛，应推荐()

A.李飞或刘亮B.李飞C.刘亮

D.无法确定

【分析】根据折线统计图得出两人射击成

绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可

作出判断.

【解答】解:李飞的成绩为5、8、9、7、

8、9、10、8、9、7,

则李飞成绩的平均数为组*答3=8,

所以李飞成绩的方差为=X[(5-8)2+2X

(7-8)2+3x(8-8)2+3x(9-8)2+

(10-8)2]=1.8;

刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、

7、9Z

则刘亮成绩的平均数为g产=8,

・・・刘亮成绩的方差为与x[3x(7-8)2+4x

(8-8)2+3x(9-8)2]=0.6,

,.0.6<1.8,

」•应推荐刘亮，

故选：C.

【点评】本题主要考查折线统计图与方差，

解题的关键是根据折线统计图得出解题所

需数据及方差的计算公式.

11.如图，过边长为1的等边的边

上一点P,作小J_/C于E,Q为BC

延长线一点，当以二CQ时，连结PQ

交/C于。，则DE的长为（）

A.fB.1C.ID.f

【分析】过户作PFWBC交于，得出

等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根

据等腰三角形性质求出EF=AE,证△外。

至△Q。，推出田二。，推出DE-AC

即可.

【解答】解过户作PFWBC交/C于厂.如

图所示：

'：PF\\BC,△/8C是等边三角形，

「.N分。=NQC。，△/）是等边三角形，

：.AP=PF=AF,

:PErAC,

:.AE^EF,

:AP二PF,AP=CQ,

：,PF二CQ.

fZPFD=ZQCD

・•・在△勿。和△QQ?中，<ZPDF=ZQDC

PF=CQ

.•4PF»QCD〈AAS、

.'.FD=CD,

.*AE=EF,

:.EF+FD=AE+CDi

..AE+CD=DE=WACi

\AC=1,

:.DE4.

故选：力.

BcQ

【点评】本题综合考查了全等三角形的性

质和判定，等边三角形的性质和判定，等

腰三角形的性质，平行线的性质等知识点

的应用；证明三角形全等是解决问题的关

键.

12.已知：如图,在等边△/8C中取点P.

使得PA.PB,户C的长分别为3,4,5,

将线段/P以点/为旋转中心顺时针旋转

60。得到线段AD,连接BD,下列结论:

①可以由△/PC绕点/顺时针旋转

60。得到；②点户与点。的距离为3;③N

APB=150°;

④Sl/PC+S/Qg=6+2^/其中正确的结论有

------

A.①②④B.①③④C.①②

③D.②③④

【分析】由线段/户以点/为旋转中心顺

时针旋转60。得到线段力。,根据旋转的性

质有AD=AP,乙DAP=60。，再根据等边

三角形的性质得N84C=60。，AB^AC,

易得N04户于是可以由△

/吆绕点力顺时针旋转60。得到;SDP

为等边三角形，则有PD=PA=3•在WBD

中，"8=4,PD=3,由①得到BD=PC

二5,利用勾股定理的逆定理可得△户6。为

直角三角形，目"PD=90。，则N/"8二z

/户。+/6户。=60。+90。=150。；由

段得S^ADB-S&APC，则有S&APC+SAAPB

-S^ADB+S&APB=S^ADP+SABPD根据等边三

角形的面积为边长平方的冷倍和直角三角

形的面积公式即可得到S&ADP+S»BPD二手X

32+fx3x4=6+f^，可判断④不正确.

【解答】解：连"。，如图，

••・线段AP以点/为旋转中心顺时针旋转

60。得到线段AD.

:.AD=AP,^DAP=60°,

又•.・△/8C为等边三角形，

.^BAC=60°zAB=AC,

:.z.DAB+4BAP=z.PAC+^BAP,

:zDAP=/PAC,

可以由△/"右绕点/顺时针旋转

60。得到，所以①正确；

；DA=PA,^DAP=60°z

"为等边三角形，

:.PD=PA=3,所以②正确；

在△户8。中，户8=4,PD=3,由①得至I」

BD=PC=5,

•.・32+42=52,即P%PF=Ba,

△户6。为直角三角形,且户。=90。，

由②得N/户。=60。，

iAPB=4APD+匕BPD=60°+90°=

150。，所以③正确；

"AD除APC,

.•S^ADB~S^APC/

:.S^APC^S^APB-S&ADB+S&APB=SXADP+SX

^Z?=VX32+1X3X4=6+1V3,所以④不正

确.

故选：c.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前

后两图形全等，即对应角线段，对应线段

线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转

角；对应点到旋转中心的距离相等.也考

查了等边三角形的判定与性质、勾股定理

的逆定理.

二、填空题（本大题共8小题；共24分）

13.-2的倒数是住.

【分析】根据倒数定义可知，-2的倒数

是->

【解答】解：-2的倒数是-f.

【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练

掌握.需要注意的是

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数

的倒数是正数，0没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们

就称这两个数互为倒数.

14.若关于x的一元二次方程（6-2）

层+x+赤-4=0的一个根为0，则m值

是-2.

【分析】根据一元二次方程解的定义，将x

二0代入关于x的一元二次方程（6-2）

解+x+〃-4=0,然后解关于m的一元

二次方程即可.

【解答】解：根据题意，得

x=0满足关于x的一元二次方程:m-2）

解+X+/772-4=0,

/./7T2・4=0,

解得，/77=±2；

又,•・二次项系数/77-2/0,即/77H2,

/./77=-2；

故答案为：-2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解的

定义.解答该题时，注意一元二次方程的

定义中的〃一元二次方程的二次项系数不

为0〃这一条件.

15.若关于x的不等式的解集在数轴上表示

为如图，则其解集为-3＜邱5.

【分析】数轴的某一段上面，表示解集的

线的条数，与不等式的个数一样，那么这

段就是不等式组的解集.实心圆点包括该

点，空心圆圈不包括该点，>向右〈向

左.两个不等式的公共部分就是不等式组

的解集.

【解答】解：由图可得，则其解集为-3

<x<5,

故答案为：-3<心5.

【点评】本题考查了不等式的解集在数轴

上表示的方法，把每个不等式的解集在数

轴上表示出来（>,2向右画；<,《向左

画），数轴上的点把数轴分成若干段，如

果数轴的某一段上面表示解集的线的条数

与不等式的个数一样，那么这段就是不等

式组的解集.有几个就要几个.在表示解

集时〃“，，M要用实心圆点表示；〃<〃，

〃>〃要用空心圆点表示.

16.在△/8C中，已知/8=55。/C=80。，

则N此二45。.

【分析】根据三角形的内角和等于180。列

式进行计算即可得解.

【解答】解：“3―0°,

・•・"=180。-N8-NC=45。，

故答案为：45°.

【点评】本题考查了三角形的内角和等于

180°z是基础题,认真计算即可.

17.如图，点。在。。的直径的延长线

上，点。在。。上，且AC=CD,"CD

二120。，。?是。。的切线：若。。的半

径为2则图中阴影部分的面积为上"

2兀

3

AOBD

【分析】连接OC,求出N。和NCO。，求

出边。。长，分别求出三角形的面积

和扇形CO8的面积，即可求出答案.

【解答】解：连接OC,

:AC^CD,^ACD=120°z

/.zC4Z?=zZ?=30°z

切。。于c,

\OC1-CD,

.•・/。。=90。，

.,"00=60。，

在RbOO中/。。=90。/。=30。，

OC=2,

:.CD=2M,

「•阴影部分的面积是S&OCD-5扇形COB~kx

2x2依-携产=2«-知，

故答案为：2行-fn.

【点评】本题考查了等腰三角形性质，三

角形的内角和定理，切线的性质，扇形的

面积，三角形的面积的应用，解此题的关

键是求出扇形和三角形的面积，题目比较

典型，难度适中.

18.将一些相同的〃。〃按如图所示的规律

依次摆放，观察每个〃稻草人〃中的〃。〃

的个数，则第20个〃稻草人〃中有385

X//n

个O.

o'

OOOOO°Q°0....

oOOOoOQQ°

OOOOOOOO

OOOOOOOO

【分析】分析数据可得：第1个图形中小

圆的个数为1+4=5;第2个图形中小圆

的个数为1+5+1=7;第3个图形中小圆

的个数为1+6+4=11第4个图形中小圆

的个数为1+7+9=17;…由此得出第〃个

图形中小圆的个数为1+(〃+3)+(〃-1)

2.据此可以求得答案.

【解答】解：二.第1个图形中小圆的个数

为1+4=5;

第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7;

第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11;

第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17;

・•・第〃个图形中小圆的个数为1+(〃+3)

+("-1)2.

.•.第20个〃稻草人〃中的〃。〃的个数为

1+23+192=385,

故答案为：385.

【点评】此题主要考查了图形的变化规律

以及数字规律，通过归纳与总结结合图形

得出数字之间的规律是解决问题的关键，

注意公式必须符合所有的图形.

19.如图，。为坐标原点，矩形歌中，

4-8,0）,0（0,6），将矩形O48C

绕点。旋转60。，得到矩形O46C,此

时直线与直线8c相交于P.则点P

的坐标为（-2遮，6）或（2凡6）.

B{------------------C

x

【分析】作出图形，有两个解，利用直角

三角形的30。的性质可以解决问题.

【解答】解：如图，矩形。绕点。旋

转60°z可能顺时针旋转，也可能逆时针

旋转，所以有两种可能，见图.

•.2/。凸=60。，AOC=90°,

••・n821=30。，

在凸中OC=6,zCOPi=30°,

.•点Pi坐标为（-2仃，6）,根据对称性,

户1、外关于y轴对称，

••①坐标（2凡6）.

故答案为（-2凡6）或（2我，6）.

Bf

【点评】本题考查矩形的性质.直角三角

形的30度角的性质，解题的关键是正确画

出图形，熟练掌握30度角的性质,善于观

察利用对称性就很容易解决问题，善于中

考常考题型.

20.如图，在平面直角坐标系中，点/,6,

D的坐标为(1,0),(3,0),(0,

1),点U在第四象限/ACB=90。，

若必比与△46。关于点D

成中心对称，则点一的坐标为(・2,

3).

______4__

0x

c

【分析】如图，作CH1AB干从设C

(min).求出点C坐标，利用中点坐标

公式即可解决问题.

【解答】解：如图，作CH1AB于H.设

C{m,n).

C队

•D

AHB、

0\/>x

c

・・•力(l,0),8(3,0),

.'.OA-1,OB-3,

:.AB=2,

的等腰直角三角形，CHlAB,

:.AH=HB=LCH=jAB=1,

・•.C(2,-1)z

••CC关于。对称，Z?(Oz1),

•必_nn-L—1

••2-U;2-/

:.m--2zn-3z

：.C(-2z3).

故答案为(-2,3).

【点评】本题考查中心对称，等腰直角三

角形的性质，坐标与图形的性质等知识，

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

三、解答题(本大题共8小题；共60分)

21.计算：V12+/x旄.

【分析】先进行二次根式的除法运算，然

后化简后合并即可.

【解答】解：原式=2遮+3内

=2丘+3病

=5如.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算:

先把二次根式化为最简二次根式，然后进

行二次根式的乘除运算，再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

22.解方程：含二1-a.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,

求出整式方程的解得到x的值，经检验即

可得到分式方程的解.

【解答】解:去分母得:2x=x・2+1,

移项合并得：-1,

经检验X=-1是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式

方程的基本思想是〃转化思想〃，把分式

方程转化为整式方程求解.解分式方程一

定注意要验根.

23.如图,某地方决定在相距50km的4

8两站之间的公路旁E点、，修建一个土特

产加工基地，且使C。两村到，点的距

离相等，已知DA1.AB于A,CB1AB

于8,DA=3Ukmi赤，那么基

地£应建在离/站多少千米的地方？

D

\C

X：L—

【分析】由勾股定理两直角边的平方和等

于斜边的平方即可求，即在直角三角形

D/序口直角三角形中利用斜边相等两

次利用勾股定理得到二

8&+8C,设为x,则BE=10-x,将

DA=8,CB=2代入关系式即可求得.

【解答】解：设基地£应建在离/站x千

米的地方.

贝!]BE=(50-%)千米

在Rf/OE中根据勾股定理得工〃+/£

=DP

2

「.302+*=DE.,.

在RfU%中，根据勾股定理得:C舁+BR

=CP

・•・202+(50-x)2=CF

又..仁。两村到，点的距离相等.

:.DE=CE:.DR=CR

.•.302+解=202+（50-x）2

解得X=20

，基地£应建在离/站多少20千米的地方.

【点评】考查了勾股定理的应用，本题主

要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜

边表示出来，两边相等求解即可.

24.水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE

的长度之比为106背水坡坡比为1:

2,大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10

米，求大坝的截面的周长和面积.

AiFB

【分析】先根据两个坡比求出力£和8尸的

长，然后利用勾股定理求出力。和BC,再

由大坝的截面的周长二

DC^AD+AE+EF+BF+BC,梯形的面积公

式可得出答案.

【解答】解:•迎水坡坡比（DE与1的

长度之比）为1:0.6,DE=30m,

.乂昆18米，

在RT^ADE中，AD-VDE2+AE2=6眉米

••,背水坡坡比为1:2,

.,.BF=60米，

在RRBCF中,BC=VCF2+BF2=30点米，

••・周长=DGAD+AE+EF+BF+BC=

+10+30旄+88=（6a+30娓+98）米，

面积=（10+18+10+60）x30：2=1470

（平方米）.

故大坝的截面的周长是（6雇+30粕+98）

米，面积是1470平方米.

【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利

用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾

股定理的应用，解答本题关键是理解坡比

所表示的意义.

25.一学校为了绿化校园环境，向某园林公

司购买了一批树苗，园林公司规定：如果

购买树苗不超过60棵,每棵售价为120

元；如果购买树苗超过60棵，每增加1

棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低

0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于

100元，该校最终向园林公司支付树苗款

8800元,请问该校共购买了多少棵树

苗？

【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，

由题意得：X120-0.5(x-60)]=8800,

进而得出即可.

【解答】解：因为60棵树苗售价为120

元X60=7200元<8800元，

所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购

买了x棵树苗，由题意得：

M120-0.5(x-60)]=8800,

解得：xi=220，&=80.

当x=220时,120-0.5x(220-60)=

40<100,

:・x=220(不合题意，舍去)；

当x:80时,120-0.5x(80-60)=110

>100,

「.X=80.

答：该校共购买了80棵树苗.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的

应用，根据已知''如果购买树苗超过60棵,

每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价

均降低0.5元〃得出方程是解题关键.

26.东坡商贸公司购进某种水果的成本为

20元Jkg,经过市场调研发现，这种水果

在未来48天的销售单价p（元1kg）与

时间〃天）之间的函数关系式为p二

jt+30（l<t<24,t为整数）

，且其日销售量乂）

-^t+48（25<t448,t为整数）3

与时间看（天）的关系如表：

时间136102040

t

（天

）

日销1181141081008040

y

(kg

)

(1)已知y与e之间的变化规律符合一次

函数关系，试求在第30天的日销售量是多

少？

(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销

售利润为多少？

(3)在实际销售的前24天中，公司决定

每销售1侬水果就捐赠〃元利润(〃<9)

给〃精准扶贫〃对象.现发现：在前24天

中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t

的增大而增大，求n的取值范围.

【分析】(1)设股公+b,利用待定系数

法即可解决问题.

(2)日利润二日销售量x每公斤利润,据

此分别表示前24天和后24天的日利润,

根据函数性质求最大值后比较得结论.

(3)列式表示前24天中每天扣除捐赠后

的日销售利润，根据函数性质求n的取值

范围.

【解答】解：(1)设%公+b,把t=lf

片118;,尸114代入得到：

(k+b=118做［曰”二-2

l3k+b=114Wralb=120，

：.y--2a120.

将占30代入上式，得：y=-2x30+120

二60.

所以在第30天的日销售量是603・

(2)设第1天的销售利润为〃元.

当1W仁24时，由题意w=(-21+120)

(if+30-20)=-1(f-10)2+1250,

・"二10时，。最大值为1250元.

当25W仁48时，w=(-2/120)(-f

H48-20)=fi-116f+3360z

..叹寸称轴t=58z1>0z

・•・在对称轴左侧必随才增大而减小，

・"二25时，。最大值=1085,

综上所述第10天利润最大，最大利润为

1250元.

(3股每天扣除捐赠后的日销售利润为m

元.

由题意m=(-21+120)(ff+30-20)

-(-2t+120)n=-(10+2")

f+1200-120",

••・在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售

利润随时间看的增大而增大，

10+2n,,1_

-2x(9)>23.5,(见图中提示)

..">6.75.

又,•,/7(9,

・•.〃的取值范围为6.75</7<9.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，

熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对

所给条件作出初步判断后需验证其正确性,

最值问题需由函数的性质求解时，正确表

达关系式是关键.

27.如图，已知户是正方形ABCD边BC

上一点，BP=3PJQ是。的中点，

(1)求证：SDQsgCP，,

(2君=10连接BD交/户于点M,

交/Q于点/V,求收，Q/V的长.

AD

BPC

【分析】(1)根据正方形的性质可表示出

PC,DQ,CQ,AD的长,从而根据两组

对应边的比相等且相应的夹角相等的两个

三角形相似来进行判定.

(2)根据相似三角形的对应边成比例及已

知不难求得8例，Q/V的长.

【解答】证明：（1）.••正方形ABCD中，

BP=3PC,Q是。的中点

：.PC=^-BC,CQ=DQ=%CDI且BC=

CD二AD

:.PC:DQ=CQ:AD^l:2

:4PCQ=NADQ=9。。

:APCQjADQ

〈2）"BMPjAMD

:.BM\DM=BP:AD=3:4

\'AB=10,

.,.BD=10正，

同理QN专

AD

BPC

【点评】此题主要考查学生对正方形的性

质及相似三角形的判定及性质的综合运用.

28.探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用

品--圆规.我们不妨把这样图形叫做''规

形图〃，那么在这一个简单的图形中，到

底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发

挥你的聪明才智，解决以下问题：

(1)观察〃规形图〃，试探究N8OC与N

ANC之间的关系,并说明理由；

(2)请你直接利用以上结论，解决以下三

个问题：

①如图2把一块三角尺*3放置在△Z8C

上，使三角尺的两条直角边XRAZ恰好

经过点B、C,若/2=50。,贝UN/QGN

ACX=40°;

②如图3,。0平分/2。8,尾平分,

若昆50。，乙DBE=130。，求匕DCE

的度数；

③如图4,4ABD,N/U。的10等分线相

交于点61,殳…、伪，若NQU=140。,

N6GU=77。，求n/的度数.

【分析】（1）根据题意观察图形连接力。

并延长至点F,由外角定理可知，一个三

角形的外角等于与它不相邻的两个内角的

和，贝U容易得至

（2）①由（1）的结论可得N/6X+N/X+

AA^ABXC.然后把N/=50。，乙BXC二

90。代入上式即可得到的值.

②结合图形可得乙DAE+乙ADB+

乙，代入乙

AEBDAE=50°z4DBE=130°

即可得至以/。6+//用的值，再利用上面

得出的结论可知（4ADB+4AEB）

+N/,易得答案.

③由（2）的方法，进而可得答案.

【解答】解：（1）连接力。并延长至点F,

由夕卜角定理可得N&?尸=N&1O+N8,Z

CDF=LC+乙CAD;

且乙BDC=乙BDF+4CDF及乙BAC=z

BAD+乙CAD;

相力口可得NBDC二N/+N8+NC;

(2)@由(1柏勺结论易得^ABX^^ACX^

乙A=LBXCI

又因为N/=50。，/Bxc=qo0,

所以N/8X+N/C¥=90。-50°=40°;

②由(1犯勺结论易得NO6£=N/+N/O8+

々AEB,易得N/O8+N/取80。；

而NOCFE(4ADB+匕AEB)+//,

代2DAE=50。，乙DBE=130。，易得N

DCE=90°;

③NSGO表(4ABD+乙ACD)+//,

./BG\C='n；

.••设n/为y5,

・••N/80+N/a?=14O。-z

(140-%)+x=77,

14-卷x+x=77,

x=70

・.N/为70°.

A

BAFC

【点评】本题考查三角形外角的性质及三

角形的内角和定理，解答的关键是沟通外

角和内角的关系.

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