重庆大学博弈论习题及参考答案

第一章完全信息静态博弈2.为什么说纳什均衡是博弈分析中*虐要的概念？参考答案t之所以说纳什均衡是博弈分析（非合作博弈分析）最重要的概念，主要原因是纳什均衡与其也博弈分析槪念和分析方法相比，具有两方面的优秀性质。第一是一致预测性质。~致预测性是保证纳什均衡具有内在稳定性”能作出可靠的预测的抿本基础。而且只有纳什均衡才有这种性质■荚他均衡概念要么不具有一致预测性，要么本身也是纳什均衡，是纳什均衡的组成部分,18此一致预测性是纳什均衡的本质属性°笫二是普遍存在性口纳什定理及其他相关定理保证在允许采用混合策略的情况下，在我们关心的所有类型博弈中都存在纳什均衡。这意味着纳什均衡分析方袪具有普遍适用性。相比之下，其他各种均衡概念和分析方法，如上策均衡、严格下第反复消去法、严格上策均衡等，则可能在许多博弈中不存在，从而限制了它们的作用和价值口纳什均衡是惟j同时具有上述两大性质的博弈分祈概念•而且它也是其他各种博弈分析方法和均衡概念的基础，因此纳什均衡是博弈分析中最重要、作用最大的概念。5.下面的得遊矩阵表示两博弈方之间的…个静态博弈。该博弈有没有纯策略纳什均衡？博弈的结果是什么？2»011142341■223130923f0博弈方2TMB参考g首先，运用严格下策反复消去法的思偲，不难左现在博弈方1的策略中，B是相对于T的严格下策，因此可以把该策略从博弈方1的策略空间中消去。把博弈方1的B策略消去后又可以发现,博弈方2的策略中C是相对于R的严格下策,从而也可以消去。在下面的得益矩阵中相应策略和得益处划水平线和垂直线表示消去了这些策略。两个博弈方各消去一个策略后的博弈是如下的两人2X2博弈,已经不存在任何严格下策。再运用划线法或箭头法，很容易发现这个2X2博弈有两个纯策略纳什均衡(M,L)和(T,R)。2

方

弈

博博弈方1202

方

弈

博博弈方12041234293TM由于两个纯策略纳什均衡之间没有帕累托效率意义上的优劣关系,双方利益有不一致性，因此如果没有其他进一步的信息或者决策机制•一次性静态博弈的结果不能肯定。由于双方在该博弈中可能采取混合策略，因此实际上该博弈的结果可能是4个纯策略组合中的任何一个。6・求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。博弈方2L R21012123■0TB博弈方1埃考答案：根据计算混合策略纳什均衡的一般方法，设博弈方1采用T策略的概率为则采用E策略的概率为1—P;再设博弈方2采用策略L的概率为s那么采用策略R的概率是1一4根据上述概率分别计算两个博弈方采用各自两个纯策略的期望得益，并令它们相等：2g=g十3(1 7)p+2(l—p)=2p解上述两个方程，得〃二2/3,g=3/4,即该博齊的混合策略纳什均衡为:博弈方1以概率分布2/3和1/3在T和R中随机选择；博弈方2以概率分布3/4和1/4在【’和R中随机选择＜7・博弈方I和博弈方2就如何分10000万元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：双方同肘提出自己要求的数额必和0W釘，吐W10000。如果，+s2＜10000,则两博弈方的要求都得到满足，即分别得几和吐■但如果贤+$2＞10000，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么?歩考答案:我们用反应函数法来分析这个博弈J先讨论博弈方1的选择。根据问题的假设，如果博弈方2选择金额52(0＜也＜10000),则博弈方1选择.升的利益为:

当w10000-Sv当当w10000-Sv当51>10000一5?因此博弈方1采用打=10000-32时，能实现自己的最大利益M(“)=山=10000—$?。囚此5|=10000—52就是博弈方1的反应函数。博弈方2与博弈方1的利益函数和策略选择是完全相似的,因此对博弈方1所选择的任意金额S.，博弈方2的最优反应第略,也就是反应函数是切=10000—S}o显然，上述博弈方1的反应函数与博弈方2的反应函数是完全重合的，因此本博弈有无穷多个纳什均衡，所有满足该反应函数，也就足氧+52=10000的数纽g,$2)都是本博弈的纯策什均衡。如果我是两个博弈方中的-个，那么我会要求得到5000元。理由是在该博弈的无穷多个纯策略纳什均衡中J5000,5000)既是比较公平和容易被双方接受的，也是容易被双方同时想到的一个，因此是一个聚点均衡。8・设古诺模型中有刃家厂商。G为厂商d的产■&=°+・・・+g_为市场总产为市场出清价格，且己知P=P(Q]=a-。(当Q<a时，否则P=0)。假设厂商i生产a产■的总成本为G=C($)=冈门也就是说没有固定成本且各厂商的边际成本都相同■为常数c(c<a)o假设各厂商同时选择产■，该模型的纳什均衡是什么？当«趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？(I)根据何题的假设可知各厂商的利润函数为:■其中i=1，…，小将利润函数对q,求导并令其为0得：衬=a_工q丿—=o解得各厂商对其他厂商产逐的反应函数为：中,+苓中,+苓2： j33an(a—为匚_c)/2

fXI根据卅个厂商之间的对称性，可知gf=q；=…=q；必然成立。代入上述反应函数可解得：因此该博弈的纳什均衡是所冇«个厂商都生产产虽三"力+1当兀趋于无穷时，所分析的市场不再是一个感头市场而是完全竞争市场,此时上述博弈分析方法其实杲不适用的。9・两摞头古诺棧型，P(0)=a-Q竿与上题相同，但两个厂商的边际成本不同，分别为€,和灯。如栗OV©Va/2,问纳什均術产■各为多少？如果e,<Cj<a,但2°>a+®■则纳什均衡产■又为多少？(】)两个厂商的利润函数为；饥工 一c,qt_(a—q,_巒)q,—g将利润函数对产星求导并令芹为0得:鬻i-幻7-縮解得两个厂商的反应函数为：?|=(0—S—<\)/2或具体写成：彳」u(a—%—6)/2Q?=(a— G)/2与0VG<“2时，我们根据上述两个厂商的反应函数.直接求岀两个J商的纳什均衡产凰分别为：g】a—2ci十<2g】当但2c>>a+g时，粮据反应函数求出来的厂商2产虽《<0・这倉味着厂商2不令生产，这时厂商1成了垄断厂商，厂商1的最优产屋选择是利润最大化的垄斷产杲如=q如=q因此这种情况下的纳什均衡为［(“一g>/2,0］『10・甲、乙两公司分愿两个国家•在开发菓种新产品方面有下面得益矩阵喪示的幢弈关蔡(单位；百万美元)。该博弈的纳什均衡有哪些？如果乙公司所在国政府想保护本国公司利益■有什么好的方法？甲

公

mJ-10,-1Q100,00.甲

公

mJ-10,-1Q100,00.1000,0乙公司开发不卄发开发 不开发用划线法或箭头法等不难找岀本博弈的两个纯策略纳什均衡(开发，不开发)和(不开发，开发)，即甲乙两个公司中只有「家公司开发是纳什均衡，而两家公司都开发或都不开发不是纳什均術。此外该傅弈还有-•个混合策路纳什均衡。根据混合策略纳什均衡的计算方法，不难算出本博弈的混合策略纳什均衡是两个公司都以(10/11・1/11)的槪率分布晞机选择开发或不开发。本博弈的两个纯策賂纳什均衡前一个对甲冇利•厉一个对乙有利。混合策路纳什均衡也井不是好的选择，因为结果除了仍然最多是对一方有利的纯策略纳什均衡以外，还可能出现大家不开发浪赞了机会，或者大家开发描车的可能。⑵根抿上述分析我们知道，如果没有其他因素的影响•该博弈的两个博弈方谁都无法保证博弈的结果有利于自己。乙公司所在国政府可能保护本国公司的利益，促使博弈结呆有利于本国乙公司的途径•疑设法改变上述博弈的利益结构•从而促使有利于本国乙公司的均衡出现。政府改变博弈得益结构的有效方法是对本国公司的开发活动进行补贴。例如若乙•公司所在国政府对乙公司的开发活动提供20单位（百万美元〉财政补贴,则该谒弈的得益矩阵转变为甲公司开发不开发-10,甲公司开发不开发-10,10100,00.12()0.0发开发开不不难发现乙公司所在国政府对乙公司开发活动的补贴，已经使得开发变成乙公司相对于不开发的严格上策，即使甲公司选择开发，乙公司选择开发也比选择不开发更有利，因此乙公司此时的惟一选择是开发。根据上述得益矩阵，甲公司完全可以判断出乙公司的选择，甲公司只能选择不开发，因此现在该遍弈惟一的纳什均術是（不开发，开发）。结果是乙公司可以保证获得120单位的利润。虽然乙公司所柱国政府为此付出了20单位的代价,但这显然是值得的。如果乙公冈所在国政府能从乙公司的利润中获得20单位或以上的税收或其他利益,那么政府最终也没有损失甚至还能获利。这正是现代世界各国政府对本国企业的国际竞争进行补贴的主要理论根据。

12.运用本章的均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。解答提示：在纳什均衡分析的基础上■再进一步考虑运用其他均衡槪念或分析方法•如风险上策均衡等进行分析。參考学Uh首先，很容易根据划线法等找出本博弈的两个纯策略纳什均術(U,R)秋D,L)o本博弈还有一个混合策略纳什均衡，即两博弈方各自以2/3、1/3的概率在自己的两个策略U、D和1八R中随机选择。但本博弈的两个纯策略纳什均衡中没有帕異托上策均衡，曲个博弈方各倔好其中一个，而且另一个策08组合(U,IJ从整体利益角度优于这两个纯策略纳什均衡，因此博弈方很难在两个纯策略纳什均衡的选择上达成共识。混合策略纳什均衡的效率也不是很高,因为有一定槪率会岀现(D,R)的结呆:。根据风险上策均衛的思想进行分析•当两个肾弈方各自的两种集略都有…半可能性被选到时，本博弈的两个纯策略纳什均衡都不是风险上策均衡，i币策略组合(U,L)却是冈险上策均衡。因为此时博弈方1选择U的期望得益是4•选择D的期望得益是3.5•博弈方2选择I.的期望得益妃4•选择R的期塑得益是3.5。因此出两个博弈方考虑到上述风险因索吋，他们的选择将是(U.L),结果反而比较理想。如果博弈问题的基本背疑支持,对本博弈还可以用相关均衡的想想进行分析&读考可自己作一些讨论。1,判err列表述是否正确，并作简单分析：纳什均衡即任一博弈方单独改变策略都只能得到更小利益的策酩组合。如杲一博弈有两个纯策略纳什均術，则一定还存在一个混合策略均衡。纯第略纳什均衡和混合策略纳什均衡都不一定存在"上策均衡一定是帕累托最优的均衞。(1＞错渓。只要任一为弈方单独改变策略不会增加得益，策昵组合就是纳什均衡了e单独改变黄略只龍得到更小得益的策略组合足严格纳什均衡，是比纳什均衡更强的均衡概念。正确。这是纳什均衡的基本性质之 奇数性所保证的。不正确。虽然纯策略纳什均衡不一定存在，但在我们所分析的博弈中混合鍰略纳柠均衡息是存在的E这正杲纳什定理的根本结论。也许在有些博弈中只有惟一的纯棗咯纳什均衡•没有严格徹义上的混合策路纳什均衡，这时把纯策略理解成特殊的混合策略,混合策略纳什均衡就存在了。不正确。囚徒的困境博弈中的(坦白，坦白)就是上第均衡(同时也疑纳什均衡〉，但该均衡显然不是帕累托最优的，否则该博弈也不会称囚徒的困境了。2.找出下列得益矩阵所表示的博弈的所有纳什均衡策昭组合。博奔方2M R3,1Z.25・32.31.34.14,52.33.4首先用严格下策反复消去法简化博弈。对选择行策略的博弈方l,u策咯严格优于M策珞，所以M为严格下策,消去得到如下博弈；博弈方2M R3.12,25,34,$2,33,4然后分析选择列策略的詢弈方2的策略，现在其M策略严格劣■于R策略，涓去M策略得到矩阵；3,15,34,53,4uD陣奪方1在上述2X2博弈中已经不存在任何严格下策。此时用划线法不难找出纯弟路纳什均衡为（D,L）和（U.R）,相应的得益为（4,5）和（5.3）。最后求该博弈的混合策略纳什均衡。因为被严格下策反复消去法消去的策略不可能包含在纳什均衡中，因此只需要考虑耒被严格下贪反复梢去法消去的几个第略。设浦弈方1选择U的概率为a・D的概率为1一“博弈方2选择L的槪率为伏R的槪率为1―熊此时•博弈方1选择U的期里得益为3/3十5（1—0>,选择D的期望得益为钿十"1一0）。令这两个期望得益相等：30+5（1— =40+3（1可解得P=2/3。博弈方2选择L的期望得益为a+5（l-a）,选择R的期望得益为3a十4（1 令这两个期望得益相等；a+5（1—a）=3a+4（l—a）,可解得a=1/3。因此该博弈的混含铢略纳什均伺为,祷弈方1以】/3和2/3的概率分布在U和D中随机选择,博弈方2以2/3和1/3的概率分布在L和R中随机选择。

3・找出下列傅孟矩阵表示静态博弈的纳什均衡°4,35,16.22,18.43,63.09.62.8傅弃方zuMD博弈方1同样可先考虑严格下策反复消去扶简化博弈，然后再运用划线法等进行分析。请读者口行练习「6・在一个静亦博弈中，博郵方1选择U、D,fl|奔方2选择L、R,博奔方3选择矩阵・、b、c、d。若博弈方3的樽益如下列矩阵所示・谓证明d既不可能是对博弈方1和博弈方2混合惮奔的最优反应•也不是一个严格下策。L RLR—u矩附d90U矩阵b°090090L RL RU矩哄D007 U矩哄D600g06枣考答案，首先证明d不是对博弈方I和博弈方2混今博弈的最优反应，因为当博弈方1和2的策络组合是（U、L）时d的得益6小于8的得益9；当博弈方1和2的策路组合是（D,R）时＜1的得益6小于f的得益9；当轄弈方1和2的策略组合杲（D,L）时d的得益0小于b的得益9；当博弈方1和2的策略组合是（U,R）时d的得益0小于b的得益9•因此d不可能是博弈方3对博弈方1和博弈方2混合博弈的晟优反应。其次证明d不是一个严格下策。因为当博弈方1和2的策咯组合是（U,L）时d的得益6大于b、c的得益0$当博弈方1和2的策略组合是（D,R）时d的得益6大于日、b的得益0；当博弈方1和2的策略组合是（D,L）时d的得益0等于a、c的得益0；当博弈方1和2的第略组合是（U,R）时日的得益0等于取c的得益0,因此d也不是博弈方3相对于自己任何策略的严格下策。

7・假定三个博弈方1、2、3要在三个项目A、B、C中投票选择一个。规则是同时投票且不允许弃权•得票IS多的项目当选。如果得票魏相局(毎个项目1黨)，则项目A当邈。再假设不同项目当选时三个博奔方的得誌分别为«i(A)=mz(B)=⑷(C)=2,=«i(C)=w3(A)=1,尙(C)=wjA)=Uj(B)=0。要求找出该博弈所有的纳什均衡。奉考答案；该博弈共有肾=27种可能的策略组合•可以用三个得益矩阵表示如下(具中捋弈方1选择行，博弈万2选择列■博弈方3选择矩阵)，t?弈方12,叭1趴0,1W wt?弈方12,叭1趴0,1W w?,g,i2.0,11>2t0益o,】2.O>1■?.o.10,lr2ABC博弈方2B C矩阵1—博弈方3选A博弈方12,0.1X2,02.0.1W ■■ 41,纟・01, 2, 0b ■ ■Is2.o■2.0.1X，00.U2亠博弈方2ABC定阵2——博奔方3选B2,0.1?,0,10>h2W2.0.1I,2.00t1,2■0.lf20.1.20.1.2■■博弈方2BCABC矩阵3—博弈方3选C运用划线法不难找到该博弈的纳什均衡共有5个,分别是(A.A,A)、(A,B.A).(B,B,B)、(A,C,C)和(C.CfC)o利用划线法等也容易找出得益矩阵2博奔的纳什均衡为(活着，活看〉、(活着,死了)和(死了，活着〉。这三个纳什均衡说明这对夫妻共同生活很不幸福，甚至一方死了另一方反而能更好，但也若企业i的編求函数为(Pt«pJ=a—Pi+p“企业2的褥求函数为qAfliIPi}=“一仞+Pm何这两个企业之间的豈争或市场有什么特点？若假设两个企业的生产成本都为0、两个企业同时决策时的纳什均衡是什么？这是-•个价格竟争博弈。该博弈表示两个企业的产晶是不完全相冋的相互瞽代品，或者消费者对价格差异不是非常敏感。根据问题的假设，两企业的利润頃数分别为：m(pi,pQ=(a— +p?^{p\,4)=(a4-pi—p；)p2各自对自己的价格求偏导数，并令其为0得；話1=(a+p：)-2pi=0=(a+ )—2/>2=0dfh分别得到两个企业的反应函数为；Ai=(a+p?>/2P2=(a+pi)/2如果双寡头空断的市场需求函数是p<Q] Q•两个厂商都无固定生产成本，边际成本为相同的c。如果两个厂商都只能要么生产垄断产■的一半•要么生产古诺严《h证明这是一个囚徒困境型的博弈。参考答案『根据市场需求函数p3=q_Q和厂商的生产成本,不难计算出该市场的垄断产龟为弘=牙.双為头垄斷的古诺产量(纳什均衡产冒)为条=号°两个厂商都生产垄断产盘的一半

宁时，各自的利润为■ （「宁宁=屮两个厂商都生产古诺产量宁时，各自的利润为：:一退—C）卜f_{a-c）2L3cr3r-若一个厂商生产垄断产量的一半宁，另一方生产古诺产危三二，前者利润为2后者利润为；（「宁-于宁=答产因此上述博弈用下列得益矩阵茯示就是；企业乙企业甲(a-c?8企业甲(a-c?8f85(u—c)25(a—c)2―48-■~36~5(d—eV5(q—c)z38 ' 48{u-ey(a-e)2-9~~9/?分析这个得益矩阵可以看岀，因为2韦6＜少匚‘），g•产,因此仏^2对两个厂商都是相对于彳的严格下策。所以该博弈惟一的纳什均衡，也杲上策均衡，是（幺，绻）。这个纳什均衡的双方得益汽上上，显然不如双方都采用心血的得益u~c）\因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈。12・假设两个企业生产的产品完全同质•而且消费者对价格很敏感■因此只有定价低的企业才能销出产品。进一步设p{<力时企业f产品的需求为a—pitp,=Pj时企业i产品的純求为pt>pf时企业i产品的需求当然为0。再假设两个企业都不存在固定成本，且边际成本为常数c(c<0)0«证明在两个企业同时选择价格时■该博弈傕一的tfl什均衡墨两个企业的定价均为Co首先・(“<•)是该博弈的个纯策峪纳什均衡。因为衣这个策略组合下双方的得益郡等于0,如果某个企业单独提价，则会失去所有的顾客，得益仍然是0,而如果某个企业亘独降价，则利润会变成负数•因此在(・C的情况下任何企业单独改变定价对自己都是不利的。囚此这是一个纯策珞纳什均衡。扶次，我们假设另…个策賂组合G,〃)也是一个纳什均衡，而且其中至少有•个博奔方的得益不等于J首先，两个企业的定价必须是大于C的，因为否则利润为负不可能是纳什均衡〉如果b<厶则两个企业的利润分别为(b-cHa-b)和0•此时企业2将价格F降到低于。与b之间可以提高利益，因比Yd时(亿〃)不可能是纳什均術。同样的道理〃)也不可能是纳什均衡c如果b=a>j显然也不可能是纳什均亦，因为任意一个企业单独把价格F降--点就可以使需求几詰扩大一倍，因此两个企此都有单独改变策略的动机•此时(&,d)也不可能足纳什均衡。囚此，(山d)工<)实际上根本不可能是纳什均衡。这就证明了(c,U)姥本博弈惟i的纯笫路纳什均衡。第二章完全信息动态博弈人导论中图1Z2的先来后到博奔中有几个捕什均衡■子博弈完美纳什均衡是什么？券考答韋；导论中图L12的先来后到博弈的扩展形表示如下.根据纳什均衡的定义•不难判斷（打进，和平〉和｛不进•打击〉是本博弈的两个纳什竣衡、因为这两个第略组合都满足这一条件;任一方草独改变策略不可能增加利益，柏反却可能损害自己的利益。运用逆椎归纳法不难找出,（打进,和平）是本博弈1f一的子博弈完美纳什均衡■而（卞进，打击）不星子博弈完美纳什均衡，因为A针对B打进的打击是不可信的戚胁。瓷如果幵金矿惮弈中第三盼段乙迭择打官司后的结果尚不倦肯定，即下图中叭b的数值不确定*试讨论聿博弈有卿几科I可能的结果。如果養本fll弈中的編威胁"和**承诺"是可信的氾或b应満足什么条件？<«rb、 (Or4)堆考菩囊：括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益■所以“表示乙的得益，而b表示甲的得益B在第三阶段，如果口V0.则乙会选择不打官司。这时逆推回笫-阶段,甲会选择不分，因为分的得益2小于不分的得益4。再逆推回第-阶段，乙肯定会选择不借•因为借的晟终得帚0比不借的最终得益1小。过第三阶段，如呆Q>0,则乙轮到选择旳时候会选择打官司，此时双方得益足(S6)0逆推回第二阶段•如果b>2、则甲在第二阶段仍然选择不分，这时侯双方得益为在这种情况F再逆推回笫一阶段，那么肖□<1时乙会选择不借，双万得益(1.0),当«>1时乙肯定会选择借•最后双方御益(-6)。在第二阶段如果方V2,则甲会选择分，此时双方得益为(2,2)。再逆推冋第一阶段，乙肯定选择借、因为借的得益2大于不借的得益1,最后双方的得益(2,2)c根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种倩况;(!)«<().此吋本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益(1,0),不管这时候〃的值是多少；(2)0V“<1且£>2、此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益(1,0);(3)a>1且b>2,此时博弈的结果垦乙在第…阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打•最后结果是双方得益(S6);(4)«>0且"V2.此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益〈2,2)。要本博弈的"威胁”，即“打“是可信的，条件是a>0。要本博奔的••承诺”,即“分”是可信的•条件是<2>0且“V2。注意上面的讨论中没有考虎Q=0、m=l、b=2的几种情况，因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。5.设一四阶段甫博奔方之间的功态博弈如下图所示。试找岀全部子博奔•讨论谏暉奔中的可信性问題■求子博弈竟美细什均衡策略组合和博弈的结果衡策略组合和博弈的结果0伍3)TOC\o"1-5"\h\z①、q 恳4)• 、•(&5) G6)参考饕集； ・该博弈共包括如下3个子博弈：①从博弈方1选择a以后塢弈方2的第二阶段选择开始的三阶段动态博弈;②从博弈方2第二阶段选择e以后博弈方1的选择开始的两阶段动态博弈§③第三阶段博弈方】选择f以后博弈方2的单人博弈。该博弈最理想的，对双方都比较有利的博弈结果是路径g-c—f—g。但实现该路径的双方策略中，博弈方2衽第四阶段选择R是不可信的，因为得益5<6；逆推回第三阶段，博弈方1选择｛也变成不可信的，因为得益3V4：再逆推回第二阶段，博弈方2在第二阶段选择c同样也是不可信的，因为得益3<4：®后回到第一阶段，博弈方1选择a也不可信，因为2<5O因此上述较理想的结果是不可能实现的。根据逆推!□纳法先讨论博奔方2第四阶段的选择。由干采用h的得益6大于采用g的5,因此博弈方2会采用h；倒退回第三阶段，博弈方1根据对博弈方2第四阶段选择的判断可知选择(结果是得3,而选择e的结果杲4,因此只有选择伫再推回第二阶段，博弈方2根据对后两阶段选择的判斷，巳知选择c将得到而选择cl能得到4,因此应该选择山最后回到第一阶段，博弈方1知道选择密将得到2,而选择b能得到5■因此会选择b。该博弈的F博弈完美纳什均衡为:博奔方1第一阶段选岸b,第三阶段选择亡;博脊方2第二阶段选择d,第四阶段选择h0结果为博弈方I第"阶段选择b结束押弈，双方得益(5,3)c6・三JT头市场鬍求函数P=100—其中Q是三个厂商的产■之和，并且己知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商」和厂商2先同时决定产■■厂商3根据厂商1和厂商2的产量决第■问它们各自的产■和利润是多少？首先•设三个厂曲的产罕分别为q“和加三个厂商的利润函数为:m=(100—〜缶—如)的一2刃比=(100—<7)~9?—</3)如—2qz

苏3=(100—0一血—血)如—Z的根胭逆推归纳法，先分析第二庇段是厂商3的选择。将厂商1的利润函数对其产畐求偏导数并令共为0得： *==100-6-g?-2g：»-2=0因此厂商3的反应函数为：=(98—°—G)/2再分析第一阶段是厂商1和厂商2的决策。先把厂商3的反应函数代入厂商1和厂商2的利润函数得；/=(100一Qi—s—Qa)W—?Q\=—_£i &=(100_©_@_如)q?—2的——_—丫2分别对g.和⑴求偏导数并令为0得；刃Tj_98—q?2联立两个方程可解得5=5=98/3。再代入厂商3的反应函数得$3=(98—0—你)/2=98/6。把三个厂商的产量代入各口的利润函数，可得三个厂商的利润分别为4aOZ/9.4302/9和2401/9。1.判断下列论述是否正确•并进行分析:在动态博弈中，因为后行为的购弈方可以先观察对方行为后再选择行为，因此总是有利的。动态博弈本身也是自己的子博弈之一。逆推归纳法并不能排除所有不可置信的威胁°如果动态博弈的一个策咯组合不仅在均衡路径上绘纳什均衡，而且在非均衡路径上也杲纳什均衡，就是该动态博弈的一个子博弈完美纳什均衡。额抖手均衡与第二章的风险上策均衡都是在有风险和不确定性情况下的稳定性策賂组合,因此它们本质上是一样的。锚误。实际上动态塢弈中先行为的悌弈方往往有先行优势,因此常常是先行为的博弈方更有利而不是后行为的博弈方有利。错误。根据子博弈的定义，整个博弈本身不是自己的子博弈。错误。逆推必纳法最根本的特征就是能排除动态博弈中所有不可信的行为.包括不可信的威胁和不可侑的承诺。因为逆椎归纳法杲根据最大利益原则选择博奔方每阶段行为的，而且都考虑到了后续阶段的行为选择•因此用逆推归纳法找出的均衡策略组合中不可能包含不符合博弈方利益的不可信行为选择。丄E确。这正是子博弈完美纳什均衡的根本要求或另一种表示方法。错误。•这两个概念是有很大区别的。首先，前者是针对很小的犯铠误导致的偏剧概率的均衡概念，而后者是有较大偏离概率悄况下的均衡槪念。其决，前者对博弈方的理性假设与完全理性假设基本接近,后者对博弈方的理性假设比较臭杂，实际上更多考虑了理性的不对称性。此外,颤抖手均衡本身是纳什均術•而风险上策均衡则不一定足纳什均衡。2・ift两个博弈方之间的三阶段动态博奔如下图所示。（】）若“和&分别等于100和150,该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2） L-N-T是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3） 在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？参書答案：（O当・和b分别等于100和150吋，用逆推归纳法很容易找出，该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方1在笫一阶段选择R•在第三阶段选择S；陣弈方2在第二翰段选择M。（2） 不可能。因为I，-N-T给博弈方1带来的得益50明显小干他（或她）在第一阶段选R带来的得益300■因此该路径对应的湊略组合在整个博弈中就不构成纳什均衡，所以无论。和方的数值是什么丄一N-丁都不可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径。（3） 第（2）小题的答案已经说明L-N-T不可能妊本博弈的子博弈完美纳什均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位得益，博歼方2惟一•冇可能实现300单位或以上得益的路径是L-N—S。要使L-N-Si&为子博弈完美纳什均衡路径而且博弈方2能得到300单位或以上得益，必狈4>300.b>300。3・甲方是某国的一股企图对抗中央的地方势力，乙方是该国的中央政府■芮方是支持甲方的某种團际势力。三方之间互动制约的利益关系可用下列扩展形爆弈哀示，其中得益数组的第一个數字是甲方的得益，第二个数字是乙方的得益■第三个数宇是丙方的得益。

G)该博弈的均衡是什么？(2)如何对得益数字作最小程度的改动，分别使")甲方选择对抗，乙方选择软弱；(h)甲方选择对抗，乙左选择强硬，丙方选择行动.(-1.-2,-2)(-2.1-1)(-1.-2,-2)(-2.1-1)解■答桜示；运用逆推归纳法求子博弈完美纳什均衔。根据给定子博弈完美纳什均衡路径■用逆推归纳法从最后•阶段起逐个改变、确定得益数组。企业甲和企业乙都是彩电制遗商■都可以选择生产低档产品或离档产品，毎个企业在四种不同惰况下的利涧如以下得益矩阵所示。如累企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。用扩展型表示这一博弈.这一懵弈的子傅弈完美纳什均衝是什么？企业甲未才备案:髙档企业甲未才备案:髙档低档高档500,500?000,700低档700110006001600企业乙(1)本博弈的扩展形如下:(5C0.500) (1000,700)(7C0.1000)(600.600)(2)用逆推归纳法.如果第一阶段甲选高档•则到了第二阶段，乙会选低档，因为此时得益700>500,结果为(I000,700);而如果第一阶段甲选低档，到T第二阶段，乙会选高档，因为此时得益1000>600,结果为(700,1000)。甲知道乙的选择方法•所以逆推回笫一阶段，甲会选择牛•产高档彩电，因为1000A70S所以本博弈的子博弈完美纳什均衡为；甲的策略:选择生产高档产品；乙的策略:若甲选择了生产髙档•则选择低档;若甲选择了生产低档，则选择高档。本博弈的子博弈完美纳什均衡略径为；甲选择生产高档彩电，然后乙选择生产低档彩电°本博弈的双方得益为（1000,700〉。乙向甲5R¥Iooo元，并且威肋甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定会相信乙的威的。请用扩展形表示该睛弈.并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。获考答案』苴先我们可以把该團弈抽象为一个先由甲选择绘否给乙这1000元•而在甲选择不给的怙况下•再由乙选择是否实施冋归于尽威胁的两阶段动态搏弈。如果设甲给乙100D元自已有1000元损失，乙得到1000元净利益，而一旦同归于尽则双方椰有无穷大的负利益，则该博弈表示成扩展形如下：根据纳什均衡的定义，不难发现该博弈有两个纯策略纳什均衡（给,实施）和（不给，不实施）。因为这两个策瑞组合都符合给定对方的第略。自己的策略是锻好第略的定义。运用逆推归纳法，可以解得该博弈的子博弈完英纳什均衡是：甲在第一阶段选择不给•乙在第二阶段选择不实施,也就是（不给，不实施＞。另一个策略组合〈给,实施〉不是子博弈完美纳什均術.因为根据本博弈的得益结构，在第一阶段甲不给旳情况下,乙第二阶段选择实施是不可信的威胁A6・两个寡头企业进行价格竟争惮弈•企业1的利润函数是弟=—（卩一凹+C+「企业2的利润函JS是巾=—（q—b）'+p.其中P是企业1的价格/是企业2的价格.欢：（1） 两个企业同时决策的纯錨略纳什均衡：（2） 企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3） 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4） 規否存在參数“、6、c的特定值或范围，便两个企业都希望自己先决策？泰考答案：(1)两个企业同时定价。根据两今企业的得益函数,很容易导出它们各自的反应函数；第=—2(p—网4-c)=0因此两个企业同时决策时的纳什均術是:此时两个企业的利润兀1=_(p_两+»+q=b

Ki=—(y_I/)?+p=ab_c(2)企业1先決策j根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数:

=-・2(g—0)=0=>q="代入企业1的利润函数，得到;K\u—(“一购+r)2+g

=—(p■ub十C+0再求企业1的反应函数：因此企业1先决策时的子博弈完美纳什均衡仍然是:企业X定价P=4j企业2定价q=b、与两个企业同吋定价时相何。利润当然也与同吋定价时相同。这实际上是因为本博弈中后行为的企业2的选择与先行为的企业】的选择无关。企业2先决策。根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数:宴"2(/?-M+C=0因此企业1先决策时的子博弈完美纳什均衡仍然是2企业I定价p二ab—j企业2定价q=b.与两个企业同吋定价时相同。利淘当然也与同吋定价时相同。这实际上是因为本博弈中后行为的企业2的选择与先行为的企业]的选择无关。企业2先决策「根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数：OjT]祚"二—2(力一旳+c・)=0p=aq—c代入企业2的利润函数得：毗=〜(q—川+/>=一(°一f)y+驹_r求企业2的反应函数得：=-2(g-b)+a=0=q=号+/?再把该价格代入企业丨的反应函数，得：2p=uq_I=三十血_〔因此企业2先决策时子博弈完美纳什均術是：企业1定价为P=y+ •企业2定价为q=今+b。此时两个企业的利润为！zti=—(p^aq+c)2+q=—牛+弘一£—a—ab*¥c+寻+&因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此当；

牛+ab—c>ab—c4企业】希里自己先决策。这个不等式在aKO的情况下总能满足。当企业2希望自己先选择。这个不等式要求«<0o因此根据上述两个不等式，只要«<0,两个企业都会希里自己先决策。如果进一步考虑利润必须非负，那么几个参数还必级满足&>0、今+於2>0sab-c>0和？+〃・r>0°其中第四个不等式在4工0并4H第三个不年式成立时必然成立，前三个不等式结合上述a<0.得到两个企业都希塑先决策的条件是QVO, 号和CV"。7.考虑如下的双JT头市场战略投资模型：企业1和企业2目前倩况T的单位生产成本都是c=2o企业1可以引进一项斷技术使单位成本降低到C=l.该项技术需要投资/。在企业1作出是否投资的决策(企业2可以规赛對)后•两个企业同时选择产Bo假设市场谱求百数为p(g)=14-fl,其中p冕市场价格內是两个企业的总产・。问上述投资除/■处干什么水平时，企业1会选择引逬新枝术？参考答案：分企业1笫一阶段未引进和引进投资两种情况■毎种情况都用逆推归纳法进行分析。假设企业1第一阶段未投资引进新技术。此吋两个企业的边际成本都是2,利润函数为；恥=(14一gi—的)•°=2®才2=(^4—7«_q?)，q?—2gz求两个企业和涧对各自产象的偏导数并令为S得：14-一细_免一14-一细_免一2=014一2<12_q】_2=0联立两个反应tfi数可解得纳什均衡产量为G=4.山=4,此时企业1的利润为c=16。假设企业1第-阶段引进新技术。此时企业1的边际成本下降到丨•两个企业的利西函数为：山=(]4-0一上)・G~5—fKt*(]4一©—q?)•他一2g?求两个企业利润对各自产畐•的偏导数并令为0,得：=14—2q】一代一1u0礬=14一2乞一gi▼2=0联立两个反应函数可解得纳什均衡产ft为q^<¥，?=¥。企业1的利润为恋=晋一九现庄我们回到第一阶段,很显然只冇引进新技术后得到总利润大干未引进新技术的总利润，即兀;=攀一/鼻心=16,即当时，企业1才会投资引进新技术。8・三案头垄断市场有倒转的需求函数为p(6)=«-2,其中费■6+衍+5是厂商i的产■。毎一个厂商生产的边际成本为常数6没有固定成本。如果厂商1先选择血，厂商2和厂商3观察到务后冏时选择形和升，问它们各自的产■是多少？斛答提示；该题与教材习题6相似。用逆推归纳法先分斬第二阶段厂商1和厂商2的静态博弈•再讨论第一阶段厂商1的选择。參考答案，三个厂商的利润函数为:m=(Q一0—5一qdq\—巾=(a—的一如一4)?—cqiE=(a—0—血—73)7s—cqi先分析第二阶段厂齋2和厂商3的决第。令它们的利润对各自产星的偏导数为0得；

联立解得厂商2和厂商3对厂商1产量的反应函数为:4 3.4_C_©的 3再分析第一阶段厂商1的决策。先把上述两个厂商的反应函数代入企业1的利润函数，得；街=（a—尙_破_Qs）qi_f=-~ 91—e对0求偏导数得：解得；西i=2一並+空=o翻 3 3 3代入厂商:G=号+^?和厂商3的反应函数得a—r—Qi <z一二一 3 _I-a—c—qia—4c93 3 6因此本博弈中厂商1将生产产储6=专+“厂商2和厂商3生产产屋g?=a=a~^—c10・两个兄弟分一块冰激凌。哥哥先提出一个分割比例，弟弟可以接受或拒绝■接受则按哥哥的提坟分割，若拒绝就自己提出一个比例。但这时侯冰激凌己化得只剩1/2了。对弟弟提议的比例哥哥也可以选择接受或拒绝■若接受则按弟弟的提议分割■若拒绝冰激凌会全部化光。因为兄弟之间不应该做损人不利己的事■因此我们假设接受和柜绝利益相同时兄弟俩都余接受。求谏博弈的子博弈完美纳什均衡。如果冰激凌每阶段只化掉1/3,博弈的子博弈宪美纳什均窗是什么？多考答嫖：根据问题•如果我们假设哥的方案堆s,!1-s,，其中$是自己的份额，弟的方案是s「l-Si.Ss是哥的份额，那么可用如下的扩展形表示该毎弈；运用逆推归纳法先分析晟后一阶段哥的选择。由于只要接受的利益不小于不接曼的利益硏就会接受，因此在这个阶段只要弟的方案満足专S2》0,也就是s2>0,哥就会接受，否則不会接受。由于冰激凌的份額不可能罡负数，因此该条件实际上必然是成立的，也就是说因为哥不接受弟的方案冰激凌会全部化淖，因此任何方案哥都会接受。现在回到前一阶段弟的选择。由于弟知道后一阶段哥的选择方法•因此知道如果不接受前一阶段哥提岀的比例•自己可以取^=0,砂享此时还未化掉的1/2块冰激凌;如果选择接受前一阶段哥的提议，那么自己将得到1一S】°显然只要1一Si上1/2,即St>1/2,弟就会接受哥的提议。再回到第一阶段哥的选择。哥清楚后两个阶段双方的选择逻辑和结果■因此他在这一阶段选择S=1/2,正是能够被弟接受的自己的最大限度份额•超过这个份純将什么都不能得到，因此S)="2是最佳选择。综上•该博弈的子博奔完美纳什均術是:哥哥开始时就提议按(1/2,1/2)分割■弟弟接受。每阶段只化掉1/3的情况请读者自己分析。12.假te-个內个厂商的市址有倒转的需求函数p（@）-q_Q、其中Q是它们的总产■。如果厂商的产出①都等于雇佣的劳动力数・J,并且除工资以外没有其他成本。再假设菓工会是所有厂商惟一的劳动力供给者。如果先由工会决定统一的工资率叭厂商者到r后同时选择廉用数■»,工会的效用函数为3—％）U其中矶为工会成员到其他行业谋职的收入上=乙+・・・+比为工会的总就业水平）。求该博弈的子博奔完美纳什均衡。参考答案：运用逆推归纳法进行分析。为了简单起见，假设劳动力雇佣数是连续可分的C第一步先求第二阶段厂商对工会工资率3的反应函数・（他）。由于第二阶段有”个厂商同时选择雇用劳动力数慟，因此该阶段是一个静态博弈问题。由于本博弈中每个厂商的收益取决于毎个厂冏的产呈，每个厂商的产量则取决于雇舟的劳动力数最.成本取决于工资率和雇用劳动力数量■因此每个厂商的利询都是各个厂商雇用的劳动力数@•和工会决定的工资率3的函数，厂曲F的利润函数是/r.CwjL,，…丄J=乙山＜2-另乙—s）令码对匚的偏导数为0得：—2Lr4-«—-a,— =0可解得：匚»y（a-s—»引）L m因为本惮弈中的齐个厂商是对称的，因此4=・・・=厶，代入上式可解得；

a—it?力a—it?力+1所有厂商雇用劳动力的总虽则为"2一缪。这些实际上也分别席十1是各个厂商的产量和市场总产星。现在回到第一阶段工会的选择。由于工会了解厂商的决簧方法，囚此淸楚对应自己的工资率W,n个厂商的雇用总数一定是匸仙）=”⑺：叢）,从而工会自己的效用为令上述效用函数对W的偏导数为0得:匸十s—2w）=0解得’a-（aa-（a+严）1~因此该博弈的子博弈完美纳什均衡是；工会选择3（gtW°\每个厂商雇用工人数园为告罟。13.如果学生在考试之前全面复习，考好的柢率为90%•如果学生只夏习一部分■点，则有50%的概率考好。全面厦习花费的时间A=100小时■童点复习只需要花费冷=20小时。学生的效用函錐为卍=其中W是考试成绩丫有高低两种分數W■和为努力学习的时间。问老师如何才能促便学生全面复习？本題中老师的调控手段是髙分和低分的水平,或者高分和低分的差距，分数水平的作用与3.5.4节中工资奖金制度中奖金的作用相似，差别是本题中老师给学生高低分并没有戒左，老师也不用老虑白己的收益或效用。如果引进反映不确定性的博弈方》可以得到该博弈的扩展形如卜；(Wi-200) (Wi-200) (W*-40) (W-40)学生选择全面复习的期望得苕是U=0.9X（WA-200）+0.1X（^-200）重点复习的期盘得益：U?=O・5X〈W*-4O）+O・5X（叭一40）只有当520时学生才会选择全面复习。根据U26我们可以算出WA-Wr^40%这就定老师能够有效促使学生全面更习需要滿足的条件&其实在奖学金与考试成绩挂钩时，常人一妙，也可以理解成不同等圾奖学金的差额。"・篥人正在打一场官司，不甫律师肯定会输■请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的槪率能廈.律师不努力工作（10小时）则只有15%的概事能宾。如果诉讼获胜可穩到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作■因此取方约定根据结果付费，豪官司律却可获赔偿金额的10%■失败则律师一分钱也得不到。如果律師的效用函数为w-0.05et其中枷是报酬弋是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。以考答案：这是••个努力成果不确宦且不町监習的委托人-代理人博弈问题。但由于本博弈中在律师接受委托后，将按照预先约定的比例根据结果付费,因此姿托人的选择比较简单，只需要选择是否提出委托。引进表示随机性的博奔方0,并计算出不同情况下双方的效用和利益■可以得到本博弈的扩展形如下(其中博弈方1是委托人，博亦方2超律师)：由于博弈方0是随机选择，因此我们直接用逆推归纳法从律师选择接受委托后是否努力工作的第三阶段开始分析。根据努力和不努力两种悄况下窝和输的槪率.容易算出律师努力的期望效用足0.5X204-0.5X(-5)=17,5,不努力的期望效用是0.15X24,5+0.85X(-0.5)=3.25,因此在接受委托以石，律师的惟一选择是努力事回到第二阶段律师对绘否接受委托的选择。由于接受并努力工作的期望效用17・5大于不接受委托的利益，也就是接受娄托的机会成本5万元，因此律师肯定接受委托。再回到第一阶段委托人的选择。由于委托人可以判断一旦自己提出委托，律师一定会选择接受并努力工作，囚此自己提出委托的期望利益是0.5X225+0.5X0=112.5万元(不提出委托利益为山提出委托杲必然的选择。根据上述分析得到的结论是•打官司的某人提岀委托•律师接受委托并努力工作.是本博弈的子幡弈完莞纳什均衡。15.上一题根据下面的悄况改变后•再分别求博弈的子博奔完美纳什均衡©(】)律师努力工作时贏的概率改为0・3。底官司时仍然是按原定比例付酬•输官司时委托人支付20000元固定贽用『委托人可以选择委托合同中支付给律师酌赔偿金比例。解答提示$(1＞仍然根据上一题的分析方法，亟新计算期望得益即可得到结论。(2)把上一題输肯司时的双方得益分别减、加20000元后再分析j(3＞委托人对付酬比例的选择必须满足参与约東和激励相容约束两个条件《＞可歩考教材3.4.4相关内容°第三章不完全信息静态博弈1、市场进入博弈—个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表 6.1。表6.1市场进入博弈40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,400高成本低成本默认斗争默认斗争进入不进入假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入，斗争)是含有不可置信的威胁。当 B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争)，即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为P，则A认为B为低成本的概率为1P。如果A进入，其期望支付为P(40) (1 P)(10)如果1不进入，其期望支付为0。1 1当且仅当P(40) (1 P)(10) 0或P1时，A选择进入；反之，当P-时,5 5A不进入。于是，贝叶斯均衡为：1(进入，默认)，高成本，P-；51(进入，斗争)，低成本，P-；51(不进入，*)，P—5其中*表示可以是斗争，也可以是默认。2、成本信息不对称的古诺博弈

之前给出的古诺博弈中，每个厂商的成本函数是共同知识。 这里，我们假设每个厂商的成本函数是私人信息，具体规定如下：两个企业生产相同产品在同一市场上进行竞争性销售，市场需求函数为 QaP，a0，P为产品价格，Q为市场需求量。假设a充分大时总有aP0，企业i的成本函数为Gbq，其中Ci为企业i的总成本，qi为其产量，bi为其平均成本，bi为常数且bi0，故bi也是边际成本。bi是企业i的私人信息，企业j不知道bi但认为bi在［d,e］上呈均匀分布，d0，e0，de。且进一步假定0在［d,e］呈均匀分布是共同知识，i j，i j1,2。企业i的支付函数是其利润函数 ii PqiG(aQ)qibiqi因 Q qi q2故i(a