湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat26页湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案一、单选题1．设集合，，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出集合、，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，由于函数为增函数，当时，，即，即，因此，.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了函数定义域和对数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不是同一函数；对于B选项，由，可得，函数的定义域为，解不等式，解得或，则函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则不相同，C选项中的两个函数不是同一函数；对于D选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则相同，D选项中的两个函数是同一函数.故选：D.【点睛】本题主要考查两个函数是否为同一函数，判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础．3．若向量，，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，求出即可.【详解】向量，，且，，解得.故选：A.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是掌握向量平行的坐标表示，属于基础题．4．三个数，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较三个数与和的大小关系，从而可得出三个数的大小关系.【详解】指数函数为减函数，所以；指数函数为增函数，所以；对数函数为上的增函数，所以.因此，.故选：A.【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查推理能力，是基础题．5．已知方程的实根满足，则的取值范围为（）A． B．C． D．或【答案】C【解析】构造函数，判断出函数为减函数，由题意得出，解出不等式组即可得出实数的取值范围.【详解】构造函数，，函数为减函数，又函数为增函数，所以，函数为减函数，由于方程的实根满足，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用方程根的取值范围求参数的取值范围，利用函数的单调性得出端点函数值符号是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C． D．2【答案】D【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．【考点】平方关系、商数关系．7．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长.【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，所以，扇形的面积为，当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时，如下图所示：取的中点，则，且，因此，.故选：C.【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.9．函数的图像大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分和两种情况去绝对值，判断选项.【详解】当时，，当时，只有D满足条件.故选：D【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型.一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．函数满足，且当时，，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，函数是周期为的周期函数，函数的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数，作出两个函数的图象，观察两个函数图象的交点个数即可.【详解】函数满足，则函数是周期为的周期函数，令可得，函数的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数，当时，，则，如下图所示：由于，当时，，此时，函数与函数的图象没有公共点，由上图可知，函数与函数的图象共有个交点，因此，函数的零点个数为.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点个数，将问题转化为两个函数图象的交点个数是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．已知函数，则不等式，的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设函数，判断出该函数为上的奇函数且为减函数，将所求不等式化为，利用函数的单调性得出，然后在区间上解此不等式即可.【详解】设函数，则，对任意的，，即在上恒成立，所以，函数的定义域为.，，，所以，函数为奇函数，当时，由于函数为减函数，函数为增函数，所以，函数在上为减函数，在上为减函数，所以，函数在上为减函数，则该函数在区间上也为减函数，由于函数在上连续，所以，函数在上为减函数，由，可得，即，所以，，即，，，所以或，解得或，因此，不等式，的解集为.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，涉及正弦函数基本性质的应用，判断出函数的奇偶性和单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是A． B．[，] C．[，]{} D．[，）{}【答案】C【解析】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知，，若，则的值为_____．【答案】【解析】根据向量的坐标运算建立关于实数、的方程组，解出即可.【详解】，，且，则有，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量坐标运算求参数，根据坐标运算建立方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14．若，则_____．【答案】【解析】利用对数的运算以及对数与指数的互化可得出，可得出，进而可计算出的值.【详解】，，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查指数和对数的运算，掌握对数和指数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15．函数的单调递减区间为_____．【答案】【解析】根据题意求函数的增区间且满足，由此可得出关于的不等式，解出即可得出函数的单调递减区间.【详解】对于函数，自变量满足，由于外层函数为减函数，要求函数的单调递减区间，即求内层函数的单调递增区间，令，解得，因此，函数的单调递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查复合对数函数单调区间的求解，涉及了正弦型函数单调区间的求解，在解题时不要忽略函数的定义域的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．下面个说法中正确的序号为_____．①函数有两个零点；②函数的图象关于点对称；③若是第三象限角，则的取值集合为；④锐角三角形中一定有；⑤已知（且），同一平面内有、、、四个不同的点，若，则、、必定三点共线．【答案】②④⑤【解析】利用零点存在定理以及可判断命题①的正误；求出函数的对称中心坐标，利用赋值法可判断命题②的正误；确定的象限，去绝对值，求出的取值集合，可判断命题③的正误；利用正弦函数的单调性可判断命题④的正误；计算出，可判断命题⑤的正误.【详解】对于命题①，，，由零点存在定理知，函数在区间上有零点，又，则函数的零点个数大于，命题①错误；对于命题②，令，解得，令，可得，所以，函数的图象关于点对称，命题②正确；对于命题③，如下图所示：由于角为第三象限角，由等分象限法知，角是第二象限或第四象限角.若角是第二象限角，，，；若角是第四象限角，，，.命题③错误；对于命题④，由于是锐角三角形，则，所以，即，因为正弦函数在区间上为增函数，所以，，命题④正确；对于命题⑤，，则，，，、、三点共线，命题⑤正确.因此，正确说法的序号为：②④⑤.故答案为：②④⑤.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数零点个数、三角函数符号和基本性质、以及利用向量共线处理三点共线问题，考查推理能力，属于中等题.三、解答题17．（1）计算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据指数与对数的运算律可计算出所求代数式的值；（2）将所求代数式化为，并除以，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后代入的值计算即可.【详解】（1）；（2），.【点睛】本题考查指数、对数的运算，同时也考查了弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.18．已知集合为函数的定义域，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求出集合、，然后利用补集和交集的定义可求出集合；（2）由可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）据题意，当时，.，所以，因此，；（2），，所以或，解得或，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题.19．在中，，，点为与的交点，记，．（1）用、表示、；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可求得，，再由平面向量的减法可得出关于、的表达式；（2）由、、三点共线，可，，由、、三点共线，设，，根据平面向量的线性运算得出关于、的两个表达式，由此可得出关于实数、的方程组，解出即可得出的值.【详解】（1），，即，，因此，；（2）、、三点共线，令，，则有，即．又、、三点共线，则再设，，则有，即，由平面向量基本定理可知，，，即．因此，．【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了利用平面向量的基本定理求参数，考查计算能力，属于中等题.20．某公司每年生产、销售某种产品的成本包含广告费用支出和浮动成本两部分，该产品的年产量为万件，每年投入的广告费为万元，另外，当年产量不超过万件时，浮动成本为万元，当年产量超过万件时，浮动成本为万元．若每万件该产品销售价格为万元，且每年该产品都能销售完．（1）设年利润为（万元），试求关于的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该公司所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）；（2）当年产量为万件时，该公司所获利润了最大，最大利润为万元．【解析】（1）直接由题意列分段函数可得函数的解析式；（2）分段利用配方法与双勾函数的单调性求最值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）由题意可得，当时，，当时，.因此，；（2）当时，，当时，（万元）；当时，，对于函数，任取，则，，，，所以，，所以，函数在区间上为减函数，同理可证函数在区间上为增函数，所以，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，当时，（万元）.综上，当年产量为万件时，该公司所获利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，训练了利用二次函数求最值与双勾函数的单调性求最值，是中档题．21．如图，已知函数，点、分别是的图象与轴、轴的交点，、分别是的图象上横坐标为、的两点，轴，且、、三点共线．（1）求函数的解析式；（2）若，，求；（3）若关于的函数在区间上恰好有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）求出点的横坐标，线段中点坐标，再求函数的最小正周期，从而求出、的值，即可写出函数解析式；（2）由题意得出，再利用诱导公式可求出的值；（3）由函数的解析式，利用分离常数法得出，求出时，的范围，可得出关于的不等式，解出即可.【详解】（1）根据题意，点与点关于点对称，点的横坐标为.又点与点关于直线对称，函数的最小正周期，，又，，解得，，，因此，；（2）由，，，所以，，所以；（3），令，得，当时，，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题．22