【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 平面向量应用举例课件(36张)

2.6.2平面向量应用举例温故知新:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律.3.重要性质:(1)(2)(3)设a、b都是非零向量,则≤若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|=|a|=向量的长度(模)向量的夹角设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)向量数量积的坐标表示向量平行和垂直的坐标表示设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)一、向量在几何证明中的应用

向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题充分利用向量这个工具来解决引言例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：设，则

分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。∴你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点ABCDEH解：设AD与BE交于H，即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。例3.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、

DC边的中点，BE、

BF分别与AC交于R、

T两点，你能发现AR、

RT、TC之间的关系吗？猜想：AR=RT=TCABCDEFRTABCDEFRT解：设则因为所以又因为共线，所以设由于与共线，所以设不共线，故AT=RT=TCABCDEFRT变式1、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设则由此可得即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线2、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得：e=5故△AEM的面积为102、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8

由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得：e=5即AE=53：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB

求证：分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,

联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。OABG·PQ由PO=mOA,QO=nOB可知：O分的比为，O分的比为由此可设由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到mn

的关系。-m-n??3：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB

求证：OABG·PQ证：如图建立坐标系，设所以重心G的坐标为由PO=mOA,QO=nOB可知：即O分的比为-m，O分的比为-n求得由向量可得：化简得：4.规律总结:重心的计算5.

在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共同提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?引例二.向量在物理中的应用举例上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．GF只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．F1F2解：不妨设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法则，力的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到GFF1F2（1）θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？（2）|F1|能等于|G|吗？为什么？例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！解：不妨设,由向量的

平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小.可以知道：即之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！由小逐渐变大.向量在物理中的应用一般步骤：（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.向量在物理中的应用（三步曲）：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是________.120º10N练一练例1.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度,水流速度问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)AB答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。解：如图，由已知条件得（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？

（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。探究答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度,方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短.（2）行驶时间最短时，