专题+空间向量及其线性运算-讲义

空间向量及其线性运算新知新讲空间向量的相关概念及其表示方法1.空间向量：在空间,我们把具有_____和_____的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或_____.2.空间向量的表示：空间向量用____________表示,_________________表示向量的模.3.特殊的空间向量零向量单位向量平行(共线)向量相反向量相等向量空间向量的加减法加减法定义运算律空间向量的数乘运算数乘运算的定义运算律题一：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是()A．B．C．D．空间向量及其线性运算课后练习如图，四面体A-BCD中，点E是CD的中点，记，，，则=_________.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，N是棱BC的中点，若，，，请用、、表示.专题空间向量的共面定理和基本定理金题精讲题一：已知三个向量，，不共面,并且=+，=，=，向量，，是否共面?空间向量的共面定理和基本定理课后练习已知，，是不共面的三个向量,则下列向量组能作为一个基底的是()A.B.C.D.已知向量，，不共面，向量，，共面，则x=.专题空间向量的数量积运算金题精讲题一：如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.60°B.90°C.105°D.75°空间向量的数量积运算课后练习如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）A.B.C.D.（1题图）（2题图）如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（）A．4B．－4C．－2D．2空间向量及其运算的坐标表示新知新讲空间向量基本定理如果三个向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))不共面，那么对于空间任一向量eq\o(p,\s\up6(→))，存在有序实数组{x，y，z}，使得eq\o(p,\s\up6(→))=xeq\o(a,\s\up6(→))+yeq\o(b,\s\up6(→))+zeq\o(c,\s\up6(→))．空间向量的坐标表示空间向量的坐标运算eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))=金题精讲题一：已知向量eq\o(a,\s\up6(→))=(3，2，5)，eq\o(b,\s\up6(→))=(1，3，0)，eq\o(c,\s\up6(→))=(7，2，1)，则：(1)eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→))=________；(2)(eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→)))·eq\o(c,\s\up6(→))=________；(3)|eq\o(a,\s\up6(→))eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→))|2=________．题二：已知空间三点A(1，1，1)、B(1，0，4)、C(2，2，3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))的夹角θ的大小是_______．空间向量及其运算的坐标表示课后练习已知eq\o(a,\s\up6(→))=(3，6，6)，eq\o(b,\s\up6(→))=(2，1，3)，eq\o(c,\s\up6(→))=(5，2，0)，则|eq\o(a,\s\up6(→))|·(eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→)))=________．已知向量eq\o(a,\s\up6(→))=(3，5，－1)，eq\o(b,\s\up6(→))=(2，2，3)，eq\o(c,\s\up6(→))=(4，－1，－3)，则(1)2eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))+4eq\o(c,\s\up6(→))=________；(2)eq\o(a,\s\up6(→))·(eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→)))=________；(3)|eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))+eq\o(c,\s\up6(→))|2=________．已知空间三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值是_________．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角的大小是________．空间向量的综合运算题一：已知eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|eq\o(a,\s\up6(→))+3eq\o(b,\s\up6(→))|为()A．B．C．D．4题二：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则cos<eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))>等于()A．B．C．D．0题三：已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设eq\o(a,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))．(1)设|eq\o(c,\s\up6(→))|=3，eq\o(c,\s\up6(→))//eq\o(BC,\s\up6(→))，求eq\o(c,\s\up6(→))．(2)求eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角的余弦值．(3)若keq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))与keq\o(a,\s\up6(→))2eq\o(b,\s\up6(→))互相垂直，求k．空间向量的综合运算课后练习已知eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))均为单位向量，它们的夹角为120°，那么eq\o(a,\s\up6(→))2+6eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))等于________．已知eq\o(a,\s\up6(→))、eq\o(b,\s\up6(→))均为单位向量，(2eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→)))(eq\o(a,\s\up6(→))－2eq\o(b,\s\up6(→)))=，eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角为________．已知：正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为______．（3题图）（4题图）平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°

则eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))=________．设空间三点A(1，1，0)，B(0，1，1)，C(2，3，5)．

(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值；(2)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角的余弦值；

(3)若|eq\o(m,\s\up6(→))|=，且eq\o(m,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))互相平行，求向量eq\o(m,\s\up6(→))的坐标；(4)若keq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))互相垂直，求k的值．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角的大小；(2)若|eq\o(m,\s\up6(→))|=，eq\o(m,\s\up6(→))分别与eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，求向量eq\o(m,\s\up6(→))的坐标；(3)若|eq\o(n,\s\up6(→))|=2，eq\o(n,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))平行，求向量eq\o(n,\s\up6(→))的坐标．

用向量法证明空间中的平行垂直关系点、直线和平面位置的向量表示用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.金题精讲题一：设，分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系：(1)=(2，-1，-2)，=(6，-3，-6)(2)=(1，2，-2)，=(-2，3，2)题二：设，分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：(1)=(-2，2，5)，=(6，-4，4)(2)=(1，2，-2)，=(-2，-4，4)题三：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.用向量法证明空间中的平行垂直关系课后练习设，分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系：(1)=(1，-1，2)，=(0，2，1)(2)=(0，0，1)，=(0，0，-3)已知直线l1，l2的方向向量分别是=(2，4，5)，=(3，x，y)，若l1//l2，则()A.B.C.D.已知平面α的一个法向量为(2，-1，3)，平面β的一个法向量为(3，9，1)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合已知平面α，β的法向量分别是(-2，3，m)，(4，λ，0)，若α∥β，则λm的值为()A．8 B．6 C．-10 D．-6在边长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中点，F是DD'的中点，求证：CF∥平面A'DE．（5题图）（6题图）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC．用向量的方法求角1．异面直线所成角：2．直线和平面所成角：3．二面角：金题精讲题一：已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角；（3）求二面角的余弦值.用向量的方法求角课后练习在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)求二面角A1-ED-F的余弦值．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=3．(1)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值；(2)求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．用向量的方法求空间的距离新知新讲1.点到直线的距离:2.点到平面的距离:金题精讲题一：如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（1题图）（2题图）题二：已知ABCD为边长为4的正方形,分别是AB，AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点到平面EFG的距离.用向量的方法求空间的距离课后练习△ABC的顶点A(1，-1，2)，B(5，-6，2)，C(1，3，-1)，则AC边上的高BD等于________．已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，PD=2，E，F分别是PA、BC的中点，求点A到直线EF的距离.（2题图）（3题图）（4题图）在边长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中点，求点A到平面A'DE的距离．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC上的点，AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，求点B到面A1ED的距离空间向量与立体几何综合复习——知识串讲金题精讲题一：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝zeq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x＋y＋z的值为()A．1B．eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(3,4)题二：已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)x，x))，b＝(x，1，2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．0题三：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是DD1和C1D1的中点(1)求异面直线EA与A1C所成角的余弦值；(2)求AE与平面A1CF(3)求二面角A1-CF-D的余弦值.空间向量与立体几何综合复习—知识串讲课后练习已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，，若，则()A.B.C.D.已知空间四边形ABCD中，O是空间中任意一点，，，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，请用，，表示出.若=(2x，1，