2021中考数学 三轮冲刺：二次函数的图象及其性质

2021中考数学三轮冲刺专题：二次函数的图象

及其性质

一、选择题

1.二次函数y=（九一1>+3的图象的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（1,-3）

C.（一1，3）D.（―1,—3）

2.由二次函数y=2（x—3）2+1,可知（）

A.其图象的开口向下

B.其图象的对称轴为直线龙=一3

C.其最小值为1

D.当x<3时，y随x的增大而增大

3.已知二次函数y=o?+2ox+c的图象与x轴的一个交点的坐标为（1,0）,则它

与x轴的另一个交点的坐标是（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（一3,0）D.（3,0）

4.已知抛物线y=2f+fcc+c的顶点坐标是（一1,一2）,则8与c的值分别为（）

A.-1,-2B.4,—2

C.-4,0D.4,0

5.2019•攀枝花在同一坐标系中，二次函数^=加+公与一次函数a的

图象可能是（）

6.（2020・嘉兴）已知二次函数当时机则下列说法正确的是（）

A.当“一〃z=l时，8一a有最小值.B.当"一〃?=1时，/?一a有最大值.

C.当b—。=1时，〃一，”无最小值.D.当a=l时，〃一根有最大值.B

7.二次函数丫=2*2+6*+。的部分图象如图所示，顶点为D（—1,2）,与x轴的一个交点A

在点（一3,0）和（一2,0）之间，有以下结论：①b2-4ac<0；②a+b+c〈0；③c-a=0；④

一元二次方程ax2+bx+c—2=0有两个相等的实数根.其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

8.已知a,〃是非零实数，间>|切，在同一平面直角坐标系中，二次函数9:谓+法与一次

函数以=以+匕的大致图象不可能是()

二、填空题

9.已知函数y=—x2—2x,当______时，函数值y随x的增大而增大.

10.将抛物线y=—(x+2)2向平移个单位长度，得到抛物线y

11.(2019•荆州)二次函数y=-2f_4尤+5的最大值是

12.如图，抛物线丁=加与直线y=foc+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(l,

1),则方程加=区+。的解是.

13.已知二次函数y=-(x-l)2+2,当r<x<5时，y随x的增大而减小，则实数/的取

值范围是.

14.抛物线y=ax2+6x+c经过点A(—3,0),对称轴是直线犬=-1,则a+6+c=

15.如图，在平面直角坐标系宜万中，已知抛物线y=a『+foc(a>0)的顶点为C,

与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线丫=加(。＞0)交于点3.若四边形

A3。。是正方形，则匕的值是.

16.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示.已知点A的坐标为(1,1),过

点A作441〃x轴交抛物线于点4,过点4作4凶2〃。4交抛物线于点A2,过点

4作AM3〃x轴交抛物线于点小，过点小作小4〃。4交抛物线于点4依

三、解答题

17.已知抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3).

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；

(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？

18.如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3,0),B(l,0)两点，交y轴于点C(0,

3),点C,。是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B,D.

⑴请直接写出点。的坐标；

(2)求二次函数的解析式；

(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

7

19.如图，抛物线旷=加+2%+或存0)经过点40,3),5(-1,0).请回答下列问

题：

(1)求抛物线的解析式；

⑵抛物线的顶点为。，对称轴与x轴交于点E,连接BD,求8D的长；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△的面积是4?若存在，请求

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

20.在平面直角坐标系中，设二次函数yi=(x+a)(x—a—1),其中存0.

⑴若函数V的图象经过点(1,-2),求函数y的表达式；

(2)若一次函数以=以+力的图象与y的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b

满足的关系式；

(3)已知点PO),机)和。(1,〃)在函数y的图象上.若机＜〃，求项的取值范围.

3

21.(2019•山东枣庄)已知抛物线y="2+a无+4的对称轴是直线工=3,与“轴相

交于A,B两点(点3在点A右侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式和A,3两点的坐标；

(2)如图1,若点P是抛物线上5、C两点之间的一个动点(不与3、C重合)，是

否存在点P,使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形

P8DC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

⑶如图2,若点M是抛物线上任意一点，过点M作＞轴的平行线，交直线8C于

点N,当MN=3时，求点”的坐标.

22.如图，顶点为A(S，1)的抛物线经过坐标原点0,与X轴交于点区

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；

⑵过8作0A的平行线交y轴于点C,交抛物线于点。，

求证：△0CD丝△0A8；

(3)在龙轴上找一点P,使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标.

23.(2019•湖北黄冈)如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-2,2),B(-

2,0),C(0,2),D(2,0)四点，动点M以每秒近个单位长度的速度沿B-C-

D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒).

(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAMgAPBM,求点P

的坐标；

⑶当M在CD上运动时，如图②.过点M作MF，x轴，垂足为F,ME_LAB,

垂足为E.设矩形MEBF与4BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,

并求出S的最大值；

(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否

存在点Q，使得aHOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点

的坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图，XABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数

》=-%+3的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y.Y+bx+c的图像上,

且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.

(1)试求方、c的值，并写出该二次函数的解析式；

(2)动点尸从A到D,同时动点。从。到A都以每秒1个单位的速度运动，

问：

①当P运动到何处时，由PQLAC?

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是

多少？

2021中考数学三轮冲刺专题：二次函数的图象

及其性质-答案

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C[解析]抛物线的对称轴为直线％=一五=-1.因为抛物线与X轴的

两个交点关于对称轴对称，所以它与x轴的另一个交点的坐标是(一3,0).

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】【解析】，解：①当时，如图1,过点B作BCLAD于C,...NBCD

=90°,

VZADE=ZBED=90°,/.ZADO=ZBCD=ZBED=90°,，四边形BCDE是

矩形，

.•.BC=DE=〃-a=1,CD=BE=m,AC=AD-CD=n-m,

AC

在R/ZXACB中，NABC=丁点A,B在抛物线y=^2上，A0°<Z

ABC<90°,

.,.tonZABC>0,：.n-nt>0,即〃-〃z无最大值，有最小值，最小值为0,故选项C

,D都错误；

②当时，如图2,过点N作NHLMQ于H,同①的方法得，NH=PQ=Z?

-a,HQ=PN=M,，MH=MQ-HQ=〃-m=1,在RfZ\MHQ中，柩〃NMNH

MH1

=~NH~~b^a1

•.•点M,N在抛物线y=x2上，：.m>0,当加=0时,n=l,.•.点N(0,0),M(1

,1),

.,.NH=1,此时，NMNH=45°,.，.45o<ZMNH<90°,AtonZMNH^l,

1

...广工之1,...b-a无最小值，有最大值，最大值为1,故选项A错误.因此本题

选B.

[y=ax2+bx,|x=-[x=l,

8.【答案】D[解析]联立,解得a或

[y=ax+b,[y=o[y=a+b.

故二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a/0)在同一平面直角坐标系中的图象的交点坐

标分别为(一10),(1,a+b).

a

对于D选项，由直线过第一、二、四象限，可知a<0,b>0.'/|a|>|b|»/.a+b<0,从而(1,a

+b)应在第四象限，...D选项不正确.

二'填空题

9.【答案】xW-/【解析】•.,函数y=-x2-2x,其图象的对称轴为x=-：^=

—1,且a=—1<0,.•.在对称轴的左边y随x的增大而增大，...xW—1.

10.【答案】右3

11.【答案】7

【解析】^=-2X2-4X+5=-2(X+1)2+7,

即二次函数丁=-/-41+5的最大值是7,

故答案为：7.

12.【答案】汨=-2,尤2=1［解析］,•,抛物线产以2与直线y=bx+c的两个交点坐标分

别为4-2,4),8(1,1),...卜=产’’的解为［j=2卜2=1，即方程加=笈+,

1

{y=bx+c5=4,［y2=

的解是无l=-2,X2=l.

13.【答案】1勺<5［解析］抛物线的对称轴为直线x=l,因为a=-l<0,所以抛物

线开口向下，所以当x>l时，y的值随尤值的增大而减小，因为r<x<5时，y随

元的增大而减小，所以13<5.

14.【答案】0［解析］..•抛物线丫=2*2+6*+。经过点A(—3,0),对称轴是直线x=-l,

，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点的坐标为(1,0),

.*.a+b+c==0.

15.【答案】一2［解析］抛物线y=ax2+bx的顶点C的坐标为(一品一失).把

x=—刍弋入y=ax2,得点B的坐标为(一3%.在丫=2*?+6*中，令y=0,

Nd4dH-d

则ax2+bx=0,解得xi=0,X2=-2，，A(—g,0).,四边形ABOC为正方形，

aa

.,.BC=OA,，2.聂=一£,即b2+2b=0.解得b=—2或b=0(不符合题意，舍去).

16.【答案】(-1010,101()2)［解析］由点A的坐标可得直线OA的解析式为y

=x.由AAi〃x轴可得A】(一1,1),又因为AIA2〃OA,可得直线A1A2的解析式

为y=x+2,进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2,4),依次类推得AK—2,

2019+1,,

2ntI2

4),4(3,9),A5(-3,9),…，A20i9(-―/—，1010),即A2oi9(-lOlO,1010).

三'解答题

17.【答案】

解：(I)..•抛物线经过点(1,-3),

，-3=9a,a=-g,，抛物线对应的函数解析式为y=-g(x+2)2.

(2)抛物线的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(一2,0).

(3)Va=-1<0,

，当x<一2时，y随x的增大而增大.

18.【答案】

解:⑴0(-2,3).

⑵设二次函数的解析式为广加+bx+c(a,b,c为常数，且。加),

9a-3b+c=0,fa=-1,

根据题意，得，a+b+c=0,解得，b=-2,

<c=3,(c=3,

二二次函数的解析式为y=-f-2x+3.

(3)尤<-2或x>l.

19.【答案】

(1)..•抛物线y=a?+2x+c经过点A(0,3),B(~l,0),

•<c=3

**U+2x(―1)+c=0

a=­l

解得

c=3

，抛物线的解析式为y=-9+2x+3；

(2)：y=—x2+2x+3=-(x—iy+4,B(~l,0),

.•.点。的坐标是(1,4),点E的坐标是(1,0),

：.DE=4,BE=2,

：.BD=NDE2+BE2=小2+22=2小,

即80的长是2小；

(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M,使得△MBC的面积是4,

设点M的坐标为(1,m),

0),E(l,0),

.•.点。的坐标为(3,0),

：.BC=4,

•.'△MBC的面积是4,

.BCx\m\4x|ffl|

•*MBC—2—2—4，

解得m=±2,

即点M的坐标为(1,2)或(1,-2).

20.[答案]

【思维教练】由图象过点(1,-2),将其带入y的函数表达式中，解方程即可；

(2)由％=(x+a)(x—。一1)可得出y过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论

即可；(3)先求出yi=(x+a)(x—a—l)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对

称轴越近，函数值越小即可得解.

解：(I)'.,函数yi=(x+a)(x—。—1)图象经过点(1,-2),

•••把x=l,y=-2代入=(x+a)(x—a—1)得，-2=(l+a)(—a),(2分)

化简得，2=0,解得，ai=-2,s=l，

.,.yi=x2+x~2；(4分)

(2)函数%=(尤+a)(x—a—1)图象在x轴的交点为(一a,0),(a+1,0),

①当函薪”=ar+b的图象经过点(一a,0)时，

把x=-a,y=0代入y2=aH■匕中，

2

得a=bi(6分)

②当函数”=ax+b的图象经过点(a+1,0)时，

把x=a+l,y=0代入”=改+〃中，

得片+&=-/>；(8分)

aa]\

(3)..,抛物线yi=(x+a)(x—a—1)的对称轴是直线x=---5----=],〃?<〃，

•二次项系数为1,.♦.抛物线的开口向上，

...抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，

•••点Q离对称轴x=g的距离比P离对称轴x=g的距离大，(10分)

♦♦|"xo—引<1-2'

...O4O<1.(12分)

21.【答案】

(1)・.・抛物线的对称轴是直线x=3,.2R，解得。=一，

..----=J4

2a

17

・・・・,.抛物线的解析式为：y=--x2+-x+4.

1c3

当y=0时，—x4—x+4=0,解得%=—2,/=8,

42

.••点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(8,0).

答：抛物线的解析式为：y=~x2+|x+4；点4的坐标为(-2,0),点B的坐标

为(8,0).

13

(2)当x=0时，1-片2+^+4=4,.・.点。的坐标为(0,4).

设直线BC的解析式为丁=丘+双左。0),将B(8,0),C(0,4)代入y=+b得

'8k+Z?=0k=—

'b=4,解得2

b=4

直线BC的解析式为y=—gx+4.

假设存在点P，使四边形P8OC的面积最大，

设点尸的坐标为卜，-;如图所示，过点p作轴，交直线8C

于点£>,则点。的坐标为(苍-；尤+4),

则2£>=_；/+|元+4_(_gx+4)=_；/+2x,

…S四边形PB0C=S&BOC+S^PBC

=lx8x4+-PD?OB

22

=16+—x8|--x2+2x|

2I4J

=—x"+Sx+16

=—*—4)2+32

・・・当尤=4时，四边形P3OC的面积最大，最大值是32

•«,0＜x＜8,

・•・存在点尸（4,6）,使得四边形P80C的面积最大.

答：存在点尸，使四边形P80C的面积最大；点P的坐标为（4,6）,四边形P80C

（3）设点M的坐标为加2+]?+4）,则点N的坐标为卜,一（加+，，

123(112c

/.MN=——m+—772+4———m+4=——m~+2m,

42124

又•：MN=3,

12cc

——m"+2m=3,

4

当0＜小＜8时，一，加2+2m-3=0,解得班=2,租2=6,

4

.••点M的坐标为（2,6）或（6,4）；

当初＜（）或加＞8时，一;〃/+2〃?+3=0,解得〃4=4一2近，m4=4+2^7,

二点M的坐标为（4—2S,近一1）或（4+2«,-5—1）.

图2

答：点”的坐标为（2,6）、（6,4）、（4-2后,5-1）或卜+25,-5-1）.

【名师点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析

法求面积及

点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大.

22.【答案】

（1）解：•••抛物线顶点为A（小，1）,

设抛物线解析式为y=a（x—小）2+1,（1分）

•.•原点（0,0）在抛物线上，

.,.0=a（小/+1,

•.・a=T

抛物线的表达式为y=—我十哈.©分）

（2）证明：令y=0,得0=—^^+斗三，

Xi—:0,X2=2,\y3>

.•.B点坐标为（2小，0）,

设直线OA的表达式为y=kx,

•.•A（小，1）在直线OA上，

.,.小k=l,

：.k=3，

...直线OA对应的一次函数的表达式为y=^x.（5分）

•.•BD〃AO,

设直线BD对应的一次函数的表达式为y=Wx+b,

V6（2^3,0）在直线BD上，

/§

/.0=x2V3+b,

：.b=~2,

A/3

二直线BD的表达式为y=^-x—2.（7分）

f亚

y=92,

联立得《'厂，解得Xl=一小,X2=24，

卜__»+—

•.•点D在第三象限，

二交点D的坐标为（一小，-3）,

在y=*T?中，

令x=0得，y=^-x—2=—2,

.••C点的坐标为（0,-2）,

根据A（小，1）可得OA=/TT=2,

根据二次函数对称性知AB=AO=2,

,/CD=（[-3—（-2）产十（一小）2]=2,

，CD=AB,OC=OA,

又VOD=7（一事）2+J）2=2小,

，OD=OB,

/.AOABAOCD（SSS）.（8分）

（3）解：如解图，作点C关于x轴的对称点C（0,2）,连接CD,

：.CD与x轴的交点即为点P,此时△PCD的周长最小，

过点D作DQ_Ly,垂足为Q,

，PO〃DQ,

.•.△C'POs/XCDQ,（10分）

,PO_C，O

•，DQ=CQ,

.PO2

,・亨亍

7,

...点P的坐标为（一半，0）.（12分）

23.【答案】

(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,

2=4a-2b+c

将点A(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得＜2=c,

0=4a+2b+c

1

a--

4

・・1”=—,・・y=----x2-----x+2；

2)42

c=2

(2)VAPAM^APBM,APA=PB,MA=MB,

.•.点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，

•.♦AB=2,.•.点P的纵坐标是1,1.1=-gx2-；x+2,

/.x=-1+逐或x=-1-加,

；.P(-1-/,1)或P(-1+石，1)；

(3)CM=&t-2后，MG=V2CM=2t-4,

MD=4夜-(BC+CM)=4及-(2夜+应t-272)=4&-亚t,

MF=—MD=4-t,BF=4-4+t=t,

2

ii3388

S=-X(GM+BF)XMF=-x(2t-4+t)X(4-t)=--t2+8t-8=--(t--)2+-；

222233

QQ

当t=5时,s最大值为“

(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=x+2,

2

直线AQ的解析式y=--------(x+2)+2,

m+2

42m+4

•••K(0,--),H(---)，

m+2/71+4"2+4

.*.OK2=(-^-)2,OH2=(」一)2+(四巴)2,HK2=(/一)2+(竺士--也-)2,

m+2m+4m+4m+4m+4m+2

9；??4-，桃+4

①当OK=OH口寸，(--)2=(-)2+(--)2,

m4-2m+4m+4

.*.3m2+12m+8=0,

22

m=-2+,6或m=-2-,百；

②当OH=HK时，(々)2+(网夕