一元二次方程教学案(经典例题、习题巩固)

一元二次方程1、基本概念【双基巩固】(1)定义：只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的整式方程(2)一般表达式：(3)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。【典型例题】例1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） AB C D变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。例3将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．【基础过关】一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为_______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、解答题1．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6：（1）当为何值时，它是一元二次方程？（2）当为何值时，它是一元一次方程？【拓展提高】求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．2、方程的解【双基巩固】⑴概念：满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的，又叫做一元二次方程的。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为。【基础过关】一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=C．x1=a，x2=D．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（）．A．1B．-1C．0D．2二、填空题1．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．2．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、解答题如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．【拓展提高】在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即：在解方程时，令=y，则原方程化为：y2-2y+1=0，即，求出后，再代入=y中，从而求出。根据上述变形的数学思想（换元法），求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．3、解法【双基巩固】方法：①直接开方法；②配方法；③因式分解法；④公式法在有解的前提下：①首先考虑用解法（包括、和）②公式法适用范围广；配方法步骤多，较少用⑵关键点：降次直接开平方法、配方法、因式分解法的目的都是降次，即转化为方程。类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法【典型例题】例1、解方程:=0例2、若，则x的值为。例3、解方程【基础过关】一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）A．3B．-3C．±3D．无实数根3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（）A．（x-）2=，x=±B．（x-）2=-，原方程无解C．（x-）2=，x1=+，x2=D．（x-）2=1，x1=，x2=-二、填空题1．方程2（x-3）2=72的两根是_______．2．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．3．关于的方程有解的条件是。三、解答题1．解下列方程：（1）（2）类型二、配方法【双基巩固】定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做法．步骤：运用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项：把常数项移到方程的边，二次项和一次项放在边。（2）把二次项系数化为。（3）配方：方程两边同时加上一次项系数的。从而把方程左边化为式，右边是数。（4）用直接开平方法得解。在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解最值或代数式的值之类的问题。【典型例题】解下列方程：1.2.试用配方法说明的值恒大于0.已知x、y为实数，求代数式的最小值。已知为实数，求的值。【基础过关】一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）2=a4．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是_______．2．代数式的值为0，则x的值为________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．4．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．5．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．三、解答题1．解下列方程（1）9y2-18y-4=0（2）x2+3=2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．【拓展提高】1．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．2．如果,那么的值为。类型三、公式法【双基巩固】条件：公式：,步骤：运用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先应把原方程化为最简的一般形式计算-4ac的值当-4ac≥0时代入公式即可判别式：用判别式△=b2-4ac判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况①b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0方程没有实数根；【典型例题】例1用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0（3）（x-2）（3x-5）=0例2、在实数范围内分解因式：（1）；（2）.⑶说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，先令=0，求出两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.例3若、、是的三边，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状。【基础过关】一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=B．x=C．x=D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是（）．A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或24．不解方程，判断方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断二、填空题1．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．2．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。三、解答题1．用公式法解下列方程：（1）（2）2．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．4．类型四、因式分解法:【双基巩固】定义：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，这种解法叫作法。步骤：因式分解法的目的是运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项，将方程右边化为（2）将方程左边分解因式（3）将原方程转化为两个（或一个）方程（4）解方程，即得原方程的解【典型例题】例1、用因式分解法解下列方程（1）；例2、的根为（） ABCD例3、若，则4x+y的值为。变式2：若，则x+y的值为。变式3：若，，则x+y的值为。例4、方程的解为（）A.B.C.D.例5、已知,则的值为。变式：已知,且,则的值为。【基础过关】1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是（）A直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.方程的根是A.x=1B.C.D.以上均不对3.若a、b、c为三角形ABC的三边,且满足(a-b)(a-c)=0,则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或等边三角形4.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根之和为A.2B.-4C.4D.35.方程(x-2)2=2-x的根是；方程(x-5)(x+2)=9的根是。6.当x=时,分式没有意义。7．已知方程x2-x-m=0有整数根，则整数m=(填上一个你认为正确的答案)。8．已知3x2y2-xy-2=0，则x与y之积等于9．方程x2=∣x∣的解是。10.选用适当的方法解下列方程:(1)(3-x)2+x2=9(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=011.解下列关于x的方程:(1)x2+(1+2)x+3+=0(2)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+2412.已知等腰三角形两边长分别是x2-8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。4、一元二次方程的根与系数的关系【双基巩固】⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。⑵主要内容：如果方程的根是x和x，那么以x和x为两根的一元二次方程是：特别地，以为唯一根（即有两等根）的一元二次方程是：⑶应用：整体代入求值。【典型例题】例1、已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。例2、已知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1）+（2）例3、如果mx2+2（3-2m）x+3m-2（m≠0）是一个关于x的完全平方式，求m的值．例4、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【基础过关】1.已知方程的两个根分别是2与3，则，2．二次三项式是一个完全平方式，则的值是（）A．3B．-3C．3D．以上都不对3．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则关于的方程的根的情况是()A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．没有实数根4．已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：（1）（x+2）（x+2）（2）5．已知关于的一元二次方程方程（1）若方程有两个相等的实数根，求的值（2）若方程的两根平方和比两根之积大1，求的值【拓展提高】1．设关于的方程的两个根分别是x和x。当为何值时，的值等于14？2．已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y=