《函数的奇偶性》教学设计

《函数的奇偶性》教学设计一、内容和内容解析1．内容函数的奇偶性．2．内容解析函数的奇偶性是函数的重要性质之一，从“形”的角度，函数的奇偶性揭示了函数的整体图象与函数在y轴右侧的局部图象之间的关系；从“数”的角度，函数的奇偶性刻画了函数自变量与函数值之间存在的一种特殊的数量规律．用数量关系刻画函数图象的对称性，体现了数形结合的思想．从研究方法上看，它延续了函数单调性的研究思想和方法：用数量关系刻画函数的图象性质，这也为后续进一步研究具体函数的性质提供研究的方法与角度．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的基础．因此，本节课起着承上启下的重要作用．这一节利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学的学习中．从方法论的角度来看，本节教学过程中还渗透了数形结合、化归等数学思想方法．奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现．奇偶性是函数的“整体性质”，是某些函数的特殊性质．奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．基于以上分析，本单元的教学重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断．二、目标和目标解析1．目标（1）借助函数图象，了解函数奇偶性的概念及几何意义；（2）会运用概念判断函数的奇偶性；（3）在抽象函数奇偶性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道函数奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．（2）会用函数奇偶性的定义，按一定的步骤证明函数的奇偶性．（3）初中阶段学生对于函数的学习侧重于直观形象和定性讨论，而高中阶段研究函数，侧重于数形结合和符号逻辑语言结合，用精确的量化（符号）语言、形式推理来刻画变量之间关系和规律，即通过形式化、符号化来使函数性质数学化，在数学化的过程中培养学生的直观想象、抽象概况等思维能力和素养，感受数学符号语言的魅力．三、教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了轴对称图形，中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也非常熟悉．对于具体函数，能够观察函数图象，描述图象的对称性，能从数量关系上对函数的对称性进行初步刻画，但学生并不明确数与形转化的过程，即为什么对于定义域内任意，当满足时，函数图象关于y轴对称．通过函数单调性的理解和学习，学生初步积累了研究函数的基本方法与初步经验，学生接触到了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，这些对本节内容刚开始的引入和概念形成起到了很好的铺垫作用．但是学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力还比较弱，我们必须引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识．从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．但分析、归纳、抽象的思维能力还是比较薄弱，通过恰当的培养和引导能够使得学生的分析归纳能力得到提高．根据以上分析，确定本节课的教学难点：对关系式（或）的理解．四、教学过程设计(一)情景导入我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是“变化中的规律性，变化中的不变性”．上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大（小）值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质，本节课，我们继续研究函数的其他性质．（二）概念的形成问题1：平面直角坐标系中的任意一点关于x轴、y轴、坐标原点的对称点Q、R、S的坐标．追问：一般地，若两点关于x轴对称，它们的坐标之间有何关系？若关于y轴对称呢？关于原点中心对称呢？设计意图：从学生已学知识复习导入，通过具体的点引导学生感受对称与坐标的关系，为后续奇偶性定义中的任意性做一些铺垫．问题2：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT展示函数图象．学生观察后，不难发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以为例，其定义域为R．对于定义域R内任意的一个x，都有，与均有意义．因为，所以是成立的．同样的，验证函数，结论依然成立．设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数．问题3：从偶函数的定义出发，如何证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．充分性：设是函数图象上任意一点，则．因为函数的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点也在函数图象上，即．所以对任意的x，都有，所以函数是偶函数．必要性：设是函数图象上任意一点，则．记点P关于y轴的对称点为Q，则．因为函数是偶函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于y轴对称．问题4：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：教师利用PPT展示函数图象，学生观察图象后回答问题．不难发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，与，与，与，与有什么关系？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值与也是一对相反数．追问：对于定义域内任意的一个x，都有成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以为例，定义域为R．对于定义域R内任意的一个x，，与均有意义．因为，所以是成立的．同样的，验证函数，结论依然成立．设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数．当函数是偶函数或奇函数时，称具有奇偶性．问题5：从奇函数的定义出发，如何证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．该问题类比问题2的证明过程．充分性：设是函数图象上任意一点，则．因为函数的图象关于原点对称，所以点P关于原点的对称点为也在函数图象上，即．所以对任意的x，都有，所以函数是奇函数．必要性：设是函数图象上任意一点，则．记点P关于原点的对称点为Q，则．因为函数是奇函数，所以，即，所以点Q在函数图象上，所以函数的图象关于原点对称．（三）概念的辨析问题6：判断下列函数的奇偶性：（1）；（2），；（3），；（4），．师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活动，得出结论．我们不难发现，（1）、（4）中每一个x、x同时属于定义域，所以与都有意义．而（2）、（3）中则无法满足每一个x、x同时属于定义域，所以与无法满足都有意义．师生共同得出结论：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称，则可直接判断其为非奇非偶函数．追问：奇函数若在处有定义，师生活动：因为为奇函数，所以，，．（四）概念的深化例1判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．解：（1）函数的定义域为R．因为，都有，且，所以，函数为偶函数．（2）函数的定义域为R．因为，都有，且，所以，函数为奇函数．（3）函数的定义域为．因为，都有，且，所以，函数为奇函数．（4）函数的定义域为．因为，都有，且，所以，函数为偶函数．（5）函数的定义域为R．因为，都有，且，所以，函数为非奇非偶函数．另解：函数为初中阶段所学的二次函数，显然，其对称轴为．函数图象如下：故函数为非奇非偶函数．（6）由函数解析式可得定义域为．因为，都有，且，所以，函数为奇函数．另解：函数图象如下：从图可知，函数图象关于原点对称，故是奇函数．追问：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范． 第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；第二步，确定与的关系；第三步，作出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数．通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”；三是通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数．例2（1）判断函数的奇偶性．（2）如右图，是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？师生活动：本例由学生独立思考，完成后教师再进行点评完善．（1）奇函数；（2）图象如下设计意图：通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步理解函数的奇偶性。所以，我们在研究函数性质时，只需要研究定义域的一半部分．知一半则可知全部，即缩小研究的范围，从而达到“事半功倍”的效果，提高解题效率．（五）概念的巩固应用1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是（）解析：B选项函数图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数．其他选项的函数图象都不具有奇偶性．答案：B设计意图：让学生直观地通过函数图象的对称性判断偶（奇）函数．2．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数．设计意图：考查学生对判断函数奇偶性的理解，提高学生的解题能力．3．函数，是奇函数，则a等于（）A．B．C．D．无法确定解：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴，∴．设计意图：考查学生对奇函数定义域的理解．（