2021中考数学真题知识点分类汇编-尺规作图解答题（含答案）

2021中考数学真题知识点分类汇编一尺规作图解答题（含答案）

一.作图一基本作图（共8小题）

1.（2021*陕西）如图，已知△48C,AB>AC.请在边48上求作一点。（尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

2.（2021*广州）如图，在四边形4成沙中，NABX90。,且

（1）尺规作图：作NO4。的平分线加；交办于点尸，连结EF、/（保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若N纵。=45°,证明：ZiSE厂为等边三角形.

3.（2021*赤峰）如图，在RtZi/18。中，N4第=90°,且47=40.

（1）作N仍。的平分线，交宓于点£;（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接如

4.（2021*襄阳）如图，BD为口的对角线.

（1）作对角线劭的垂直平分线，分别交4。，BG,F,0（尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹）；

（2）连接DF,求证：四边形阳万为菱形.

5.（2021*青海）如图，是口4比》的对角线.

（1）尺规作图（请用28铅笔）：作线段劭的垂直平分线防交48,OC分别于£0,F,

连接灰（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）试判断四边形。£8尸的形状并说明理由.

6.（2021*宜昌）如图，在△48C中，N8=40°

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线如是线段48的,射线是工

DAC的；

（2）在（1）所作的图中，求/%£的度数.

EC

7.（2021.陕西）如图，已知直线/,///2,直线A分别与人、A交于点4B.请用尺规作

图法，在线段南上求作一点只使点夕到/卜。的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

/h

8.（2021*重庆）如图，四边形48缈为平行四边形，连接4?,交4c于点0,猜想线段8尸

和线段/）尸的数量关系（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

BC

二.作图一复杂作图（共11小题）

9.（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：N0及其一边上的两点4B.

求作：Rt"8C,使NQ90。，且点。在N0内部

10.（2021•遵义）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：

①画线段48；

②分别以点48为圆心，大于48长的一半为半径作弧，作直线枢交48于点0

③在直线帆上取一点C（不与点。重合），连接4C、BC-,

④过点A作平行于8c的直线AD,交直线MN于点、D,连接BD.

（1）根据以上作法，证明四边形力〃仍是菱形；

（2）该同学在图形上继续探究，他以点。为圆心作四边形4〃8c的内切圆，构成如图所

示的阴影部分向，NBAD=30：求图中阴影部分的面积.

11.（2021.泰州）（1）如图①，。为的中点，直线八、人分别经过点0、B,且乙〃/2,

以点。为圆心，A4长为半径画弧交直线A于点C,连接4C.求证，直线A垂直平分4?;

（2）如图②，平面内直线/1〃。〃/3〃/4,且相邻两直线间距离相等，点只。分别在直

线八、4上，连接PO.用圆规和无刻度的直尺在直线/,上求作一点。，使线段如最短.（两

种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

图①图②

12.（2021•湖北）已知△48c和都为正三角形，点8,C,。在同一直线上，不写作法,

保留作图痕迹.

(1)如图1,当仇〃时，作的中线8尸:

(2)如图2,当BC^CD晌,作△48C的中线8G.

13.(2021•绥化)(1)如图，已知△48C,户为边力8上一点，使履＜P=4?.(保留作图痕

迹，不写作法)

(2)在图中，如果AC^bcm,AH3cmcm.

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作N478的平分线3;作。的外接圆

QO-,(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若48=壁，则sin8=.(如需画草图，请使用图2)

5

15.(2021•福建)如图，已知线段例=a,AR^-AK

(1)求作四边形为使得点8,。分别在射线以；且AB=BXa,N力成=60°；(要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)设只。分别为(1)中四边形力反?〃的边为民求证：直线4?,BC

16.（2021*南京）如图，已知。是。。外一点.用两种不同的方法过点户作。。的一条切线.

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

17.（2021.广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶

点为格点，线段48的端点都在格点上.要求以48为边画一个平行四边形

18.（2021*嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德

提出的有关圆的一个引理.如图，已知篇，C是弦上一点

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段4C的垂直平分线分别交篇于点。，连接4。，CD-,

②以点。为圆心，，长为半径作弧，交篇于点尸（尸，4两点不重合），BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段8C,8尸的数量关系.

19.（2021*重庆）如图，在。ABCD中，AP>AD.

（1）用尺规完成以下基本作图：在上截取使〃•二初：作N8Q）的平分线交48

于点尸.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接上■交”于点。，并证明你的结论.

三.作图一应用与设计作图（共11小题）

20.（2021*河池）如图，/a。是△ZS。的外角.

（1）尺规作图：作N勿。的平分线力£（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹

加黑）：

（2）若AE//BC,求证：AB^AC.

21.（2021*吉林）图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小

正方形的边长为1,点8均在格点上，在给定的网格中按要求画图

图①图②

22.（2021*长春）图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,

每个小正方形的顶点称为格点，分别在给定的网格中找一格点〃按下列要求作图：

（1）在图①中，连结例I、MB,使MA=MB；

（2）在图②中，连结物、MB、MG,使MA=MB=MC；

（3）在图③中，连结例、MC,使NAMC=2NABC.

B

图①图②图③

23.（2021•荆州）如图，在5X5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1（称为格点）

上.

请在网格图形中画图：

（1）以线段力。为边画正方形力&?〃，再以线段必为斜边画等腰直角三角形好：其中顶

点打在正方形ABCD外;

（2）在（1）中所画图形基础上，以点8为其中一个顶点画一个新正方形，其它顶点也

24.（2021•北京）《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，

在地面上点4处立一根杆，使8,4两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位）；

日落时，在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点C,8两点间的距离为10步，在

点C处立一根杆.取力的中点D

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点4B,C的位置如图所示.使用直尺

和圆规（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线仍表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相

垂直，可以判断直线04表示的方向为南北方向

证明：在△48C中，84=,。是a的中点，

GALDB（）（填推理的依据）.

:直线仍表示的方向为东西方向，

直线以表示的方向为南北方向.

25.（2021*衢州）如图，在6X6的网格中，△48C的三个顶点都在格点上.

（1）在图1中画出使与△478全等，顶点。在格点上.

（2）在图2中过点8画出平分A/IS。面积的直线/.

图1图2

26.(2021*长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与

已知三角形全等的方法：

已知：XABC.

求作：△/'B'C,使得B'C9XABC.

作法：如图.

(1)画夕C'=BC；

(2)分别以点8’，C为圆心，线段48,两弧相交于点4;

(3)连接线段4B',A'C,则B'C即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：

证明：由作图可知，在△*B'C和中，

'B'C'=BC

<A'B'=()

A'C'=()

：4NBC9.

(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.(填序号)

①

②灿

③%5

④SSS

27.(2021-武汉)如图是由小正方形组成的5X7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩

形4仇盟的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图

(1)在图(1)中，先在边49上画点£,使4E=2BE,使中平分矩形〃的面积；

(2)在图(2)中，先画△仇初的高CG,再在边48上画点H

AB

DC

(1)(2)

28.(2021-宁波)如图是由边长为1的小正方形构成的6X4的网格，点48均在格点上.

(1)在图1中画出以48为边且周长为无理数的。ABCD,且点C和点。均在格点上(画

出一个即可).

(2)在图2中画出以48为对角线的正方形/£»£且点f和点下均在格点上.

图2

29.（2021*嘉兴）如图，在7X7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，8在格点上,

每一个小正方形的边长为1.

（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）.

（2）计算你所画菱形的面积.

30.（2021•自贡）如图，△48。的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直尺，作

出△48C的角平分线劭（不写作法，保留作图痕迹）.

参考答案与试题解析

作图一基本作图（共8小题）

1.（2021*陕西）如图，已知△48C,AB>AC.请在边48上求作一点0（尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

【解析】解：如图，点户即为所求.

2.（2021*广州）如图，在四边形48CZ?中，/ABX90°,且

（1）尺规作图：作0）。的平分线4月，史CD于点F,连结灰8尸（保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若/外。=45°,证明：△比尸为等边三角形.

【解析】（1）解：如图，图形如图所示.

A

(2)证明：•:AC=AD,AF平分4CAD,

：・4CAF=iDAF,AFA.CD,

•：4CAD=24BAC,N8切=45°,

ZBAE=ZEAF=ZFAD=150,

•：ZABC=ZAFC=90°,AE=EC,

:.BE=AE=EC,EF=AE=EC,

:・EB=EF,NEAB=/EBA=B,

:.NBEC=NEA讣4EBA=3G,ZCEF=ZEAF+ZEFA=30°,

:・NBEF=60°,

•••△8£F是等边三角形.

3.(2021•赤峰)如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,且47=4?.

(1)作N847的平分线，交回于点£(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，连搂DE

(2)证明：・・・4£平分N纵C,

:・/CAE=/DAE,

在△/宏和中，

，AC=AD

,ZCAE=ZDAE.

AE=AE

:.XACE9XADE(弘S),

:.DELAB.

4.(2021*襄阳)如图，BD为口ABCD的对面线.

(1)作对角线劭的垂直平分线，分别交4。，BG,F,0(尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹)；

(2)连接DF,求证：四边形阳万为菱形.

(2)证明：O垂直平分劭，

OB^OD,EB=ED,

•.•四边形4仇》为平行四边形，

：.AD//BC,

：.4EDO=NFBO,4DEO=ZBFO,

在△勿后和△Ob厂中，

，ZDE0=ZBF0

-ZED0=ZFB0.

OD=OB

:.△QDEQXOBF(A4S),

：.DE=BF,

:.BE=DE=BF=DF,

四边形阳尸为菱形.

5.(2021*青海)如图，DB是口ABCD的对角线.

(1)尺规作图(请用28铅笔)：作线段劭的垂直平分线防交AB,OC分别于£0,F,

连接正(保留作图痕迹，不写作法).

(2)试判断四边形如即的形状并说明理由.

理由如下：如图，

•.•)垂直平分BD,

：.EB^ED,FB=FD,

:四边形48CD为平行四边形，

：.CD//AB,

:.NFDB=ZEBD,

在「和中，

，ZFDO=ZEBO

，OD=OB,

ZDOF=ZBOE

：ZDP空XOBE(.ASA),

：.DF=BE,

:.DE=EABF=DF,

二四边形DEBF为轰影.

6.(2021*宜昌)如图，在△48C中，N6=40°

(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线〃尸是线段的垂直平分线，射线

AE是NDAC的角平分线；

(2)在(1)所作的图中，求的度数.

【解析】解：(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线站是线段的垂直平分线.

故答案为：垂直平分线，南平分线.

(2)•.,班垂直平分线段

：.DA=DB,

:.NBAD=ZB=40°,

：N8=40°,NU50°,

^BAC=90°,

r.ZCAD^50°,

：4£平分工以。，

25°.

2

7.（2021-陕西）如图，已知直线/,///2,直线/3分别与/、、/?交于点AB.请用尺规作

图法，在线段南上求作一点只使点。到/,、/2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

8.（2021*重庆）如图，四边形4反》为平行四边形，连接47,交儿?于点0,猜想线段8尸

和线段，尸的数量关系（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

猜想：DF=3BF,

证明：：四边形为8C0为平行四边形，

AOA=OC,OXOB,

'：AC=2AB,

J.AO^AB.

'：N84c的角平分线与8。交于点F,

，点尸是80的中点，即BF=FO,

：.0B=0X5BF,

:.DF=DM0F=3BF,货DF=3BF.

=-.作图一复杂作图（共11小题）

9.（2021*青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：NO及其一边上的两点4B.

求作：Rt/\ABC,使NU90。，且点C在N0内部

10.（2021•遵义）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：

①画线段48：

②分别以点48为圆心，大于48长的一半为半径作弧，作直线椒交于点0；

③在直线帆上取一点。（不与点0重合），连接4?、BC\

④过点A作平行于8c的直线AD,交直线树于点。，连接BD.

（1）根据以上作法，证明四边形4?8c是菱形；

（2）该同学在图形上继续探究，他以点0为圆心作四边形儿出61的内切圆，构成如图所

示的阴影部分向，284X30°,求图中阴影部分的面积.

【解析】（1）证明：根据作法可知：直线雨是48的垂直平分线,

：.AC=BG,OA=OB,

-：AD//BC,

:./ADg/BC0,

在△4)。和△8C0中，

rZADO=ZBCO

-ZAOD=ZBOC,

OA=OB

.•.△47侬△SCO{MS'),

，OC,

"：0A=OB,MNLAB,

，四边形4?8c是菱形；

(2)•.,四边形478C是菱形,

：.0A=、AB=2又2圾=如,

22

•：ZBAD^30°,

设圆。切4)于点H,连接0H,

则OHLAD,

：.04工0人=叵,

52

:.S际0=0#Xn=—n,

4_

在RtZ^/4必中，/%0=300返，

tan300=V3X2L^=I,

8

：.CD=2OD=7,

*'•SADBC=—X

22

图中阴影部分的面积=5菱形御-S处0=2、医--n.

4

11.(2021.泰州)(1)如图①，0为48的中点，直线。、4分别经过点0、B,且乙〃/2,

以点。为圆心，勿长为半径画弧交直线/?于点C,连接4C.求证，直线人垂直平分/IC；

(2)如图②，平面内直线/1〃/2〃/3〃/4,且相邻两直线间距离相等，点只。分别在直

线/卜4上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线4上求作一点。，使线段如最短.(两

种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹)

【解析】（1）证明：；）=必=%,

：.Z.A=Z.OCA,ZB=ZOCB,

小N班N4C8=180°,

.,.2Z/H-2Z5=180°,

N班NQ90°,

:*/ACB=9Q°,

J.ACrCB,

'：!-,//h,

•：OA=OC,

...直线J平分4a

直线/,垂直平分线段AC.

(2)解：如图，线段如即为所求.

12.(2021.湖北)已知△48C和△建都为正三角形，点氏C,。在同一直线上，不写作法,

保留作图痕迹.

(1)如图1,当BXCD时,作的中线8尸；

(2)如图2,当8存必时，作△为比的中线8G.

AEA

【解析［解：（1）如图1中，线段8尸即为所求.

（2）如图2中，线段6G即为所求.

迹，不写作法）

(2)在图中，如果AXbcm,AH3cm9cm.

(2):仰垂直平分线段外,

：.EP^EC,

：./\APE^^^=AP^-AB-EP^AP^AB-EC=AP^AC=3+6=2(cm),

故答案为：9.

14.（2021•无锡）如图，已知锐角△力861中，AC=BC.

（图1）（图2）

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作N478的平分线切：作△48C的外接圆

。0;（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若48=壁，则sin8=1.（如需画草图，请使用图2）

5-5-

【解析】解：（1）如图，射线CD.

（2）连接OA,设射线CD交AB于E.

'：CA=CB,3平分N4祝

ACDS.AB,AE=EB=2k,

5

^=VOA2-AE4=J52-（-^）2=^-

Vrb

CE=OOOE=5+.L=^2.,

75

•>2―.2+£,7=｛（誉）2+卷）2=8,

32

sin8==生

BC84

故答案为：A.

5

15.（2021•福建）如图，已知线段网Ua,ARLAK

（1）求作四边形力83,使得点8,。分别在射线4C且48=&?=a,ZABC^60°：（要

求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设只。分别为（1）中四边形力&沙的边力民求证：直线47,BC

R

(2)证明：设PQ爻AD于G,BC交.AD于G',

'：DO//AP,

.GD=DQ

*'GAAP'

'：DC//AB,

•G'D=DC

,•G'A而，

,:P,。分别为边48,

:.DX2DQ,AB^2AP,

•G'D=DCh)DQ=DQ

,飞AAB2APAP，

.G'D=GD

,•G，AGA)

...点G与点G'重合,

二直线4?,BC.

16.(2021・南京)如图，已知。是。。外一点.用两种不同的方法过点。作的一条切线.

要求：(1)用直尺和圆规作图；

(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

方法二：作户点关于点。的对称点P',以。。为半径作圆0,设原来的圆0半径为r,P

方法三：可以用构造直角三角形.以。。为斜边，再构造全等三角形解决问题.

17.（2021*广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶

点为格点，线段的端点都在格点上.要求以为边画一个平行四边形

BBBB

18.（2021*嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德

提出的有关圆的一个引理.如图，已知第，C是弦48上一点

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段4C的垂直平分线泥，分别交篇于点。，连接加，CD;

②以点。为圆心，外长为半径作弧，交金于点尸（尸，4两点不重合），BD,BF.

（2）直接写出引理的结论：线段8C,8尸的数量关系•

(2)结论：BF=BC.

理由：•.•斯垂直平分线段4C,

DA=DC,

:DAC=/DCA,

•:AD=DF,

：.DF=DC,AD=DF,

，4DBC=NDBF,

■:NDF济NDAC=180°.NO朋NOa=180°,

/DFB=ZDCB,

在△叫B和△ACS中，

'/DFB=/DCB

■NDBF=NDBC,

DF=DC

:ZF衿XDCB（MS）,

:.BF=BC.

19.（2021*重庆）如图，在。ABCD中,AB>AD.

（1）用尺规完成以下基本作图：在48上截取芥，使作N83的平分线交四

于点E（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接纤交次于点只并证明你的结论.

（2）户为直角三角形.

证明：•.•四边形力83为平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC,

：.4CDE=NAED,NADC+NBCD=18Q°,

'：AD^AE,

：.NADE=NAED,

：.NADE=ZCDE,

：.NCDE=ZADE=IzADC,

2

'：CF平分乙BCD,

：.2FCD=9乙BCD,

2

：.ZCD&2FCD=9Q°,

:.NCPD=qQ",

.•.△，。户为直角三角形.

三.作图一应用与设计作图（共11小题）

20.（2021*河池）如图，/勿。是△ZS。的外角.

（1）尺规作图：作N勿。的平分线力£（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹

加黑）：

(2)AE//BC,求证：AB^AC.

（2）证明：：〃7平分NO）。，

/EAg/EAC,

'：AE//BC,

：.ZB=NEAD,/X/EAC,

N6=NC,

J.AB^AC.

21.（2021•吉林）图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小

正方形的边长为1,点8均在格点上，在给定的网格中按要求画图

图①图②

【解析】解：（1）如图①中，△/8C即为所求（答案不唯一）.

（2）如图②中，四边形力比应即为所求.

22.（2021.长春）图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,

每个小正方形的顶点称为格点，分别在给定的网格中找一格点K按下列要求作图：

(1)在图①中，连结砌、MB,慢MA=MB；

(2)在图②中，连结的4、MB、MC,使MA=MB=MC；

(3)在图③中，连结例、MC,使NAMC=2ZABC.

23.(2021•荆州)如图，在5X5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1(称为格点)

上.

请在网格图形中画图：

(1)以线段力。为边画正方形《成步，再以线段纭为斜边画等腰直角三角形好；其中顶

点打在正方形ABCD外;

(2)在(1)中所画图形基础上，以点8为其中一个顶点画一个新正方形，其它顶点也

在格点上.

ED

【解析】解：(1)如图，正方形A8CD.

(2)如图，正方形仍々?即为所求.

24.（2021•北京）《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，

在地面上点4处立一根杆，使8,4两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位）；

日落时，在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点C,8两点间的距离为10步，在

点C处立一根杆.取。4的中点D

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点4,B,C的位置如图所示.使用直尺

和圆规（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线仍表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相

垂直，可以判断直线以表示的方向为南北方向

证明：在△4861中，BA=BC,。是勿的中点，

J.CArDB（三线合一）（填推理的依据）.

•.•直线缈表示的方向为东西方向，

.•.直线OI表示的方向为南北方向.

【解析】解：（1）如图，点。即为所求.

在中，BA=BC,

J.CALDB（三线合一），

:直线仍表示的方向为东西方向，

二直线OI表示的方向为南北方向.

故答案为：BC,三线合一.

25.（2021*衢州）如图，在6X6的网格中，△4861的三个顶点都在格点上.

（1）在图1中画出△“»,使与△478全等，顶点。在格点上.

（2）在图2中过点8画出平分△力所;面积的直线/.

【解析】解：(1)如图1中，即为所求.

(2)如图2中，直线87•即为所求.

图1图2

26.(2021*长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与

已知三角形全等的方法：