线性代数教案

《线性代数》授课教案刘思圆第一章

行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。§1.1

二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22–a12a21≠0

时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成，，如果记，，则当D≠0时，方程组(1)的解(2)可以表示成，，

(3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1

用二阶行列式解线性方程组解：这时，，，因此，方程组的解是，，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2

令

，，．当D≠0时，(4)的解可简单地表示成，，

(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3

解线性方程组解：，，，．所以，，，．例4

已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．思考题：当a、b为何值时，行列式．§1.2排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n级排列1234…n称为自然序排列．定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前面(is<it)，则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N(i1i2…in)．例如，在4级排列3412中，31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7．容易看出，自然序排列的逆序数为0．定义3如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定义4在一个n级排列i1…is…it…in中，如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…it…is…in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)．如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1

任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn显然对数a1，a2，…al，b1，b2，…，bm和c1c2…cn来说，并不改变它们的逆序数．但当i<j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．再讨论一般情况，设排列为a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn将i与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljb1b2…bmic1c2…cn这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2…alb1b2…bmijc1…cn然后将数j与它前面的数i，bm…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．定理2

在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个．证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个．对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有q≤p，所以q=p，即奇排列与偶排列的个数相等．又由于n级排列共有n!个，所以q+p=n!，．定理3

任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性．证明：对排列的级数用数学归纳法证之．对于2级排列，结论显然成立．假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立．若in=n，则根据归纳假设i1i2…in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12…(n–1)，于是这一系列对换就把i1i2…in变成12…n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2'…'i'n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n也可经过一系列对换变成i1i2…in，因此结论成立．因为12…n是偶排列，由定理1可知，当i1i2…in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2…in具有相同的奇偶性．思考题：1．决定i、j的值，使(1)1245i6j97为奇排列；(2)3972i15j4为偶排列．2．排列n(n–1)(n–2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？§1.3

n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n阶行列式的定义．已知二阶与三阶行列式分别为其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1)二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义．定义1

由排成n行n列的n2个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的符号称为n阶行列式．它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得＝

(1)其中表示对所有的n级排列j1j2…jn求和．(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．称为行列式的一般项．当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n=1时，一阶行列为|a11|=a11．如当n=4时，4阶行列式表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n阶行列式的定义，4阶行列式为例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即–a14a23a31a42是上述行列式中的一项．为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题．例1

在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因

N(23514)=4，故这一项应取正号．例2

写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项．解：包含因子a11a23项的一般形式为按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因

N(1324)=1为奇数N(1342)=2为偶数所以此项只能是–a11a23a32a44．例3

计算行列式解

这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh，adfg，bceh，bcfg不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即=adeh–adfg–bceh+bcfg例4

计算上三角形行列式其中aii≠０

(i=1，2，…，n)．解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D中，第n行元素除ann外，其余均为０．所以jn=n；在第n–1行中，除an–1n–1和an–1n外，其余元素都是零，因而jn–1只取n–1、n这两个可能，又由于ann、an–1n位于同一列，而jn=n．所以只有jn–1=n–1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a11a22…ann一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N(12…n)=0故取正号．因此，由行列式的定义有=a11a22…ann即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式=a11a22…ann特别地，对角形行列式=a11a22…ann上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5

计算行列式解

这个行列式除了a1na2n–1…an1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n级排列为n(n–1)…21，N(n(n–1)…21)=(n–1)+(n–2)+…+2+1=，所以=同理可计算出==由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素的行标排成自然序排列，即．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成(2)其中i1i2…in，j1j2…jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定．定理1

n阶行列式的一般项可以写成(3)其中i1i2…in，j1j2…jn都是n级排列．证明：若根据n阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成(4)于是它的符号是现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i1i2…in，j1j2…jn就同时作一次对换，也就是N(i1i2…in)与N(j1j2…jn)同时改变奇偶性，因而它的和N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有这就证明了(1)与(3)是一致的．例如，a21a32a14a43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N(2314)+N(1243)=(–1)2+1=–1．如按行标排成自然顺序，就是a14a21a32a43，因而它的符号是(–1)N(4123)=(–1)3=–1同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项中元素的列标排成自然顺序123…n，而此时相应的行标的n级排列为i1i2…in，则行列式定义又可叙述为．思考题：1．如果n阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？2．由行列式的定义计算f(x)=中x4与x3的系数，并说明理由．§1.4行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若，

则．反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式．性质１行列式D与它的转置行列式DT的值相等．证：行列式D中的元素aij(i，j=1，2，…，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是说它的行标是j，列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得这正是行列式D按行自然序排列的展开式．所以D=DT．这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．性质２交换行列式的两行(列)，行列式变号．证：设行列式将第i行与第s行(1≤i＜s≤n)互换后，得到行列式显然，乘积在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据§3定理１，对于行列式D，这一项的符号由决定；而对行列式D1，这一项的符号由决定．而排列1…i…s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反，所以=–即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D=–D1．例１

计算行列式解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得将第一、五列互换，得推论若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零．证：将行列式D中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质２有D=–D，所以D=0．性质３行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即证：由行列式的定义有左端＝＝＝右端．此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k乘此行列式．推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．证：由性质３和性质２的推论即可得到．性质４如果行列式的某一行(列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即证：左端＝＝＝＝右端．性质5

把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即i行×k加到第s行证：由性质４右端=+=k０+=左端作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2

计算行列式解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：例3

计算行列式解：例4

试证明：证：把２、３列同时加到第４列上去，则得例5计算n+1阶行列式解：将D的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子得×(–a1)×(–a2)……×(–an)==例6

解方程解法一：所以方程的解为x1=0，x2=1，…，xn–2=n–3，xn–1=n–2．解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到1–x=12–x=1…(n–2)–x=1(n–1)–x=1有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x1=0，x2，=1，…，xn–2=n–3，xn–1=n–2．例7

计算n阶行列式解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、