预拓扑分子格的概念

预拓扑分子格的概念

1单个弱拓扑分子格到目前为止，人们已经从文学中引入了搬家的概念。文献引入了预拓扑分子格(它是拓扑分子格的推广)的概念并研究了完备格上的闭预拓扑和伪闭包算子的相互确定等基本概念和性质。文献在文献的基础上引入了弱拓扑分子格(它是预拓扑分子格的推广)的概念。本文将在文献基础上进一步推广文献中的结果。全文中,L表示完备格,0、1分别表示完备格L的最小元和最大元,其它未加说明的概念请见参考文献。定义1.1设L是一个完备格,F⊆L。如果对任意F1∈2F都有∧F1∈F成立(这里∧〉=1),则称F为L上的一个弱余拓扑,称偶对(L,F)为弱拓扑分子格,且称F的元为闭元。定义1.2设(L,F)是一个弱拓扑分子格,A∈L。则称A-=∧{B∈F|A≤B}为A的闭包(它是(L,F)中包含A的最小闭元)。定义1.3设(L1,F1)和(L2,F2)是弱拓扑分子格,f:L1→L2是保并映射(从而f的右伴随f-1是保交映射,这里f-1(B)=∨{A∈L1|f(A)≤B}(∀B∈L2))。若f-1(B)∈F1(∀B∈F2),则称f是从(L1,F1)到(L2,F2)的连续映射;若f(A)∈F2(∀A∈F1),则称f是闭映射;若对每个B∈L2以及每个A∈F1,当f-1(B)≤A时存在C∈F2使得C≥B且A≥f-1(C),则称f是开映射。定义1.4设(L,F)是弱拓扑分子格,B⊆F。如果F中的每一个元素都是B中某些元素的交(即对任意A∈F,存在B1⊆B使得A=∧B1),则称B是弱拓扑分子格(L,F)的一个基。引理1.1设f:(L1,F1)→(L2,F2)是弱拓扑分子格之间的保并映射,则f连续⇔f(A-)≤(f(A))-(∀A∈L1)⇔(f-1(B))-≤f-1(B-)(∀B∈L2)⇔对于(L2,F2)的每一个基B以及每一个B∈B都有f-1(B)∈F1。2b存在非0元b定义2.1设(L,F)是弱拓扑分子格,A,B∈L。若A-∧B=A∧B-=0,则称A与B是隔离的。定义2.2设(L,F)是弱拓扑分子格,A∈L。如果存在异于0的隔离元B和C使得A=B∨C,则称为A为不连通元,否则称A为连通元。当1为连通元时称(L,F)为连通的弱拓扑分子格。定理2.1设L是分配的完备格,(L,F)是弱拓扑分子格,则下列各条等价:(1)A∈L是(L,F)中的连通元;(2)不存在A1,A2∈F使得A∧A1≠0,A∧A2≠0,A≤A1∨A2,A∧A1∧A2=0;(3)不存在非0元B,C,使得B∨C=A,B∧C=0B=B-∧A且C=C-∧A。证明(1)⇒(2)。假设存在A1,A2∈F使得A∧A1≠0,A∧A2≠0,A≤A1∨A2且A∧A1∧A2=0。令B=A∧A1,C=A∧A2,则B,C∈L-{0}。由L是分配的完备格知B∨C=(A∧A1)∨(A∧A2)=A∧(A1∨A2)=A,且B-∧C≤A-1∧A∧A2=A1∧A∧A2=0,B∧C-≤A∧A1∧A-2=A∧A1∧A2=0。由定义2.2知A为不连通元,这与(1)矛盾。(2)⇒(3)。假设存在非0元B,C使得B∨C=A,B∧C=0,B=B-∧A且C=C-∧A,令A1=B-,A2=C-,则A1,A2∈F,且A∧A1=A∧B-=B≠0,A∧A2=A∧C-=C≠0,A∧A1∧A2=A∧B-∧C-=B-∧A∧C-∧A=B∧C=0。这与(2)矛盾。(3)⇒(1)。假设A不是连通元,则存在异于0的隔离元D和E满足A=D∨E。由L是分配的完备格知D-∧A=D-∧(D∨E)=(D-∧D)∨(D-∧E)=D,E-∧A=E-∧(D∨E)=(E-∧D)∨(E-∧E)=E。这与(3)中矛盾。定理2.2设L是分配的完备格,(L,F)是弱拓扑分子格,则下列各条等价:(1)(L,F)不连通;(2)存在A,B∈F使得A,B≠0,1=A∨B,A∧B=0;(3)存在连续的保并的满射f:(L,F)→(B2,B2)使得f-1保并,这里B2=2{a,b}(a≠b)的序关系是⊆。证明由定理2.1易见(1)⇔(2),下证(2)和(3)等价即可。(2)⇒(3)。假设(L,F)中存在非0的闭元A,B使得A∨B=1,A∧B=0(从而0∈F),定义f:(L,F)→(B2,B2)具体为:∀C∈L‚f(C)={〉,C=0,{a},C≤A且C≠0,{b},C≤B且C≠0,{a,b},C≤/[JX-*8]A且C≤/[JX-*8]B,这里B2=2{a,b}(a≠b)的序关系是⊆。首先,由A∧B=0和A∨B=1知f是满射且容易验证f-1保并。其次证明f保并,设L1⊆L。考虑下面四种情形:(ⅰ)L1=〉或L1={0}。这时f(∨L1)=f(0)=〉=∨f(L1);(ⅱ)L1-{0}≠〉且C≤A(∀C∈L1)。这时∨L1≤A且∨L1≠0,从而f(∨L1)={a}=∨f(L1);(ⅲ)L1-{0}≠〉且C≤B(∀C∈L1)。这时∨L1≤B且∨L1≠0,从而f(∨L1)={b}=∨f(L1);(ⅳ)存在C∈L1使得C≤/A且C≤/B。这时∨L1≤/A且∨L1≤/B,从而f(∨L1)={a,b}=∨f(L1)。最后,由f-1(B)=∨{C∈L|f(C)⊆B}(∀B∈B2)可得f-1(〉)=0∈F,f-1({a})=A∈F,f-1({b})=B∈F,f-1({a,b})=1∈F,所以f连续。(3)⇒(2)。设f:(L,F)→(B2,B2)是连续的保并满射使得f-1保并。令A=f-1({a}),B=f-1({b}),则A≠0且B≠0(倘若0=A=f-1({a})=∨{C∈L|f(C)⊆{a}},则不存在C∈L-{0}使得f(C)={a},这时由f是满射知f(0)={a}。但另一方面由f保并知f(0)=〉,矛盾,同理B≠0)。因此由f连续知A,B∈F。由f-1保并知A∨B=f-1({a})∨f-1({b})=f-1({a}∪{b})=f-1({a,b})=1,由f保并(从而f-1保交)和f-1保并知A∧B=f-1({a})∧f-1({b})=f-1({a}∩{b})=f-1(〉)=f-1(∨A)=∨{f-1(D)|D∈A}=0(其中A=〉),从而(2)成立。例2.1当f:(L,F)→(B2,B2)是连续的保并满射时f-1不一定保并。取L={0,a,b,c,d,1}为六元完备格(如图1所示),F={a,b,c,1},B2={〉,{e},{g},{e,g}}是序关系为⊆为菱形格(如图2所示),则可验证(L,F)与(B2,B2)都为弱拓扑分子格。定义映射f:(L,F)→(B2,B2)具体为f(0)=f(a)=〉,f(b)={e},f(c)={g},f(d)=f(1)={e,g}。由于f-1({e})=b,f-1({g})=c,f-1({e})∨f-1({g})=b∨c=d≠1,f-1({e}∨{g})=f-1({e,g})=1,所以f-1不保并。然而容易证明f是连续的保并满射。定理2.3设L是分配的完备格。若A是弱拓扑分子格(L,F)的连通元且A≤B≤A-1,则B(特别地A-)也是(L,F)的连通元。证明假设B不是(L,F)中的连通元,则存在非零元D,E∈L使得B=D∨E且D-∧E=D∧E-=0。令E1=A∧E,D1=A∧D。由L是分配的完备格和A≤B知D1∨E1=(A∧D)∨(A∧E)=A∧(D∨E)=A∧B=A,且易证E-1∧D1=E1∧D-1=E1∧D1=0。因A是连通元,故E1=0或D1=0,不妨设E1=0,这时A=D1=A∧D。由此得A≤D,进而A-≤D-。所以E=E∧B≤E∧A-≤E∧D-=0,矛盾。定理2.4设L是frame(即L是满足A∧(∨j∈IBj)=∨j∈I(A∧Bj)的完备格,其中A,Bj∈L(∀j∈I))。若{Yγ}γ∈Γ是弱拓扑分子格(L,F)中的一族连通元且满足∧γ∈ΓYγ≠0,则∨γ∈ΓYγ也是(L,F)中的一个连通元。证明假设∨γ∈ΓYγ不是(L,F)中的连通元,则存在非零元A,B∈L使得∨γ∈ΓYγ=A∨B且A-∧B=A∧B-=0。对每一个γ∈Γ,令Bγ=Yγ∧A,Cγ=Yγ∧B。则Yγ=Bγ∧Cγ且Bγ∧C-γ=B-γ∧Cγ=Bγ∧Cγ。由Yγ是连通元知Bγ=0或Cγ=0。不妨设Bγ=0,这时Yγ=Cγ=Yγ∧B,由此得Yγ≤B且∨γ∈ΓYγ≤B。再由Yγ∧A=0(∀γ∈Γ)和L是frame得A=A∧(A∨B)=A∧(∨γ∈ΓYγ)=∨γ∈Γ(A∧Yγ)=0,这与A,B是非零元矛盾。定理2.5设(L1,F1)和(L2,F2)是弱拓扑分子格,f:(L1,F1)→(L2,F2)是满足f-1(0)=0的保并连续映射。如果L1是分配的完备格且A是(L1,F1)中的连通元,则f(A)是(L2,F2)中的连通元。证明假设f(A)不是(L2,F2)中的连通元,则存在非零元B,C∈L2使得f(A)=B∨C且B-∧C=B∧C-=0。令E=f-1(B),F=f-1(C)。由f-1(0)=0知E∧F=f-1(B∧C)=0,又E∨F=f-1(B∨C)=f-1(f(A))≥A。由引理1.1知E-=(f-1(B))-≤f-1(B-),F-=(f-1(C))-≤f-1(C-),因此E∧F-≤E∧f-1(C-)=f-1(B∧C-)=0,E-∧F≤f-1(B-)∧f-1(C)=f-1(B-∧C)=0。令G=A∧E,H=A∧F,由L1是分配的完备格及E∨F≥A知G∨H=(A∧E)∨(A∧F)=A∧(E∨F)=A且G-∧H=G∧H-=0。因为A是(L1,F1)中的连通元,故G=0或H=0。不妨设G=0,则A=H=A∧F,从而A≤F,所以f(A)≤f(F)=f(f-1(C))≤C。而B=B∧(B∨C)=B∧f(A)≤B∧C=0,这与B是非零元矛盾。3brfpsr,fr?定义3.1设{(Lt,Ft)}t∈T是一族弱拓扑分子格。令L=∏t∈TLt(即完备格的直积)。对每个t∈T,用pt:L→Lt表示投影映射,且令B={p-1t(At)|At∈Ft,t∈T},则可证明F={A∈L|存在B1⊆B使得A=∧B1}是L上的一个弱余拓扑。称(L,F)为{(Lt,Ft)}t∈T的乘积弱拓扑分子格。容易看出pt:(L,F)→(Lt,Ft)是连续映射(∀t∈T)。关于连通弱拓扑分子格的可乘性有下面的结论。定理3.1设{(Lt,Ft)}t∈T是一族连通的弱拓扑分子格且存在r∈T使得0∉Fr,则{(Lt,Ft)}t∈T的乘积弱拓扑分子格(L,F)连通。证明首先证明B={Bt}t∈T∈F时Br∈Fr。事实上,由0∉Fr可证当Ar∈Fr时p-1t(Ar)的第r个坐标为Ar(Ar≠0)但其余坐标都为1,当At∈Ft(t∈T-{r})时p-1t(At)的第t个坐标为At但其余坐标都为1(特别地,p-1t(At)的第r个坐标为1)。注意到1∈Fr,便可知Br∈Fr。其次,设(L,F)不连通,则存在F中的非零元B={Bt}t∈T和C={Ct}t∈T使得1=B∨C且B∧C=0。这时由以上证明知Br∈Fr,Cr∈Fr,Br∨Cr=1且Br∧Cr=0,这说明(Lr,Fr)不连通,矛盾!注3.1(1)定理3.1的条件“存在r∈T使得0∉Fr”不是必要的,同时pt一般也不保连通元。考虑弱拓扑分子格(L1,F1)与(L2,F2),其中L1=F1={0,a,b,1}为菱形格,L2={0,1},F2={1}。设(L,F)为(L1,F1)与(L2,F2)的乘积弱拓扑分子格。虽然(L1,F1)不连通,但(L,F)连通。事实上,L=L1×L2={(0,0),(0,1),(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(1,0),(1,1)},B={p-1t(At)|At∈Ft,t∈{1,2}}={(0,1),(a,1),(b,1),(1,1)}。由此可知对于任意A,B∈F,A∨B=(1,1)和A∧B=(0,0)不可能同时成立,所以(1,1)是(L,F)中的连通元。(2)定理3.1的条件“存在r∈T使得0∉Fr”不能去掉。设(L,F)为弱拓扑分子格(L1,F1)与(L2,F2)的乘积弱拓扑分子格,其中L1=F1=L2=F2={0,1}。则可证(L1,F1)与(L2,F2)都是连通的但(L,F)不连通。事实上,L=L1×L2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},F={p-1t(At)|At∈Ft,t∈{1,2}}={(0,1),(1,0),(1,1)}。由此可知存在非零元(0,1),(1,0)∈F使得(0,1)∨(1,0)=(1,1)和(0,1)∧(1,0)=(0,0)同时成立。所以(L,F)不连通。本节以下定义或定理中都要求L是frame并且以Copr(L)为并生成集。定义3.2设(L,F)是弱拓扑分子格,A∈L。则可以定义Copr(A)={α∈Copr(L)|α≤A}上的一个关系～A如下:对于任意α,β∈Copr(A),α～Aβ当且仅当存在(L,F)中的连通元C满足C≤A,α≤C且β≤C。定理3.2设(L,F)是弱拓扑分子格,则对任意A∈L,～A是Copr(A)上的一个等价关系。定义3.3设α∈Copr(A),A(α)={β∈Copr(A)|α～Aβ}。称∨A(α)为A中由α决定的连通分支,记为[α]A。显然,[α]A满足α≤[α]A≤A。定理3.3[α]A=∨{B∈L|B是(L,F)中的连通元且α≤B≤A}(即[α]A是A中包含α的最大的连通元)。证明一方面,对于任意β∈A(α),即α～Aβ,存在(L,F)中连通元B满足B≤A,β≤B,α≤B,从而β≤B≤∨{B∈L|B是(L,F)中的连通元且α≤B≤A}。因此[α]A=∨A(α)≤∨{B∈L|B是(L,F)中的连通元且α≤B≤A}。另一方面,令E=∨{B∈L|B是(L,F)中的连通元且α≤B≤A}。由定理2.3易知E是(L,F)中的连通元且满足α≤E≤A。设β∈Copr(E),则α～Aβ,从而β∈A(α),故β≤[α]A。因此E=∨Copr(E)≤[α]A。综上所述,[α]A=∨{B∈L|B是(L,F)中的连通元,且α≤B≤A}。定理3.4(1)对任意α,β∈Copr(A),[α]A=[β]A或者[α]A∧[β]A=0;(2)A=∨{[α]A|α∈Copr(A)}。证明(1)若[α]A∧[β]A≠0,则α≤[α]A∨[β]A≤A且[α]A∨[β]A连通。由[α]A的最大性可知[α]A≤[α]A∨[β]A≤[α]A,从而[α]A=[α]A∨[β]A,同理有[β]A=[α]A∨[β]A,因此[α]A=[β]A。(2)因为A=∨{α|α∈Copr(A)}≤∨{[α]A|α∈Copr(A)}≤A,所以A=∨{[α]A|α∈Copr(A)}。4核心[]b-连通性参数b本节假定L是完备DeMorgan代数(即L是具有逆序对合′的完备格)并且以Copr(L)为并生成集。定义4.1设(L,F)是弱拓扑分子格,α∈Copr(L),称F(α)={C∈L|∃D∈F,α≤/D,C≤D}为α的远域系,F(α)中的成员称为α的远域。定义4.2称弱拓扑分子格(L,F)局部连通的是指,对于每个α∈Copr(L)以及每个A∈F(α),存在B∈F(α)使得A≤B且B′是连通元。定理4.1弱拓扑分子格(L,F)局部连通的充要条件是对于每个α∈Copr(L)以及每个A∈F(α),存在F1⊆F使得A=∧F1且对于F1中的每一个元B,B′是(L,F)中的连通元。证明只证必要性。设A∈F,要证存在F1⊆F使得A=∧F1且任意B∈F1,B′是(L,F)的连通元。令F2={α∈Copr(L)|≤/A},对每一个α∈F2,有A∈F(α)。由定义4.2知存在B∈F(α)使得A≤B且B′是(L,F)中的连通元。令F1={B|α∈F2,A≤B,B∈F(α)且B′是(L,F)中的连通元},则A=∧F1。事实上,一方面由于A≤B(∀B∈F1),A≤∧F1。另一方面,对任意α≤/A,由于A∈F,根据定义4.1知A∈F(α),进而存在E∈F(α)使得A≤E且E′是(L,F)中的连通元,即E∈F1