2021年中考数学总复习课时训练：相似三角形的应用

课时训练（二十三）相似三角形的应用

夯实基础

1.［2019・三明质检］如图K23-1,已知DE为AABC的中位线,“。后的面积为3,则四边形DECB的面积为（）

图K23-1

A.6B.8

C.9D.12

2.［2020•铜仁］已知M/Ys△皮1。,它们的周长分别为30和15,且尸"=6,则EA的长为（）

A.3B.2

C.4D.5

3J2019•眉山］如图K23-2,一束光线从点A（4,4）出发，经y轴上的点C反射后，经过点8（1,0）,则点C的坐标是

（）

图K23-2

B.(O,g

C.(O.l)D.(0,2)

4.［2019•乐山］把边长分别为1和2的两个正方形按如图K23-3的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

G.

A之

5.[2019•凉山州]如图K23-4,在AABC中,£＞在AC边上,AD：DC^\：2,0是BD的中点，连接A0并延长交BC于

E,则BE:EC=()

图K23-4

A.1：2B.1/3C.1：4D.2：3

6.如图K23-5,一张矩形纸片ABCD的长48=出宽BC=A将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD

相似，则()

图K23-5

A.2/1B.V2/1C.3.,V3D.3：2

7.[2020.重庆A卷]如图K23-6,在平面直角坐标系中,“BC的顶点坐标分别是41,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位

似中心，在原点的同侧画△OEF,使AOEF与AABC成位似图形，且相似比为2；1,则线段DF的长度为()

图K23-6

A.V5B.2C.4D.2V5

8.[2019•东营广饶县二模]如图K23-7,"BC中,A,8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中

心，在x轴的下方作AABC的位似图形A/rBC,并把AA8C放大到原来的2倍.设点B的对应点的横坐标是a,

则点B的横坐标是.（用含a的式子表示）

图K23-7

9.[2019•晋江一模]在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下:今有木去人不知远近,立四表，相去各一

丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之,入前右表三寸.问木去人几何?可译为:有一棵树C与人（A处）相距不知

多远，立四根标杆A,B,G,E,前后左右的距离各为1丈（即四边形ABGE是正方形，且48=100寸），使左两标杆A,E

与所观察的树C三点成一直线.又从后右方的标杆B观察树C,测得其“入前右表”3寸（即FG=3寸），问树C与人

所在的A处的距离有多远？

图K23-8

拓展提升

10/2019•常德]如图K23-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为

的面积为42,则四边形DBCE的面积是)

图K23-9

A.20B.22C.24D.26

II.[2019•.福州质检改口图K23-10,等边三角形ABC的边长为5,。,E分别是边AB,4c上的点，将AAOE沿DE折叠,

点力恰好落在BC边上的点尸处，若8尸=2,则8力的长是（）

图K23-10

AA.—24C.3D.2

7B-7

12.[2020•集美区模拟]如图K23-11,已知四边形ABCD为正方形,A,8在x轴上,对角线AC的长度为3鱼.反比例

函数产%>0）的图象与AQBC分别交于点瓦尸,若第=装.则CF的长为________.

XBCAC

图K23-11

13.[2020•北京顺义区期末]如图K23-12,在等腰三角形ABC中,/A4c=90。48=47=2,。是BC边上的一个动点

（不与B,C重合），在AC边上取一点E,使NADE=45。.

(1)求证:△AB£>SADCE；

⑵设BD-x,AE=y.

①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;

②求〉的最小值.

图K23-12

14,2019•长沙］根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.

相似四边形对应边的比叫做相似比.

⑴某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或

“假”）.

①四条边成比例的两个凸四边形相似;（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似;（命题）

③两个大小不同的正方形相似.（命题）

⑵如图K23-13①②，在四边形ABC。和四边形ABiCB中,冬,

求证:四边形ABCD与四边形AiBiCiD,相似.

⑶如图③,四边形A8CQ中43〃CQ,AC与8。相交于点0,过点。作EF〃AB分别交AO,BC于点记四边形

ABFE的面积为Si,四边形EFCD的面积为S"若四边形与四边形EFCD相似，求生的值.

S1

①

图K23-13

【参考答案】

l.C2.A

3.B［解析］过点A作ADLy轴于点D,

・・・ZADC=ZC（?B=90°,ZACD=ZBCO,

•••△OBCSMAC,.•嗡嘴

.•.史=生£，解得：OC=2,

145

.•.点C（O,p,故选B.

4.A［解析「.,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,...4D=OC=1,CE=2,AO〃CE,，AA£）HSZXECH,，

第=瞿,.•，=焉，解得。”三,•••阴影部分的面积为汉x13,故选A.

CECH21-DH3236

5.B［解析］如图，过点D作DF//AE交8C于点七则器=照=1,箓=,=；,；♦BE：EF：FC=1；1；2,

EFODFCCD2

...8E；EC=1；3.故选B.

A

6.B7.D

8.-|(a+3)l解析＞设点B的横坐标为x,

则B,C间的水平长度为-l-x,9,C间的水平长度为a+1,

,/4ABC放大到原来的2倍得到“5C

解得x=-|(«+3).

9.解:,・,四边形ABGE是正方形,

・•・N4=NG=90°,AE〃8G,

・・・ZACB=ZGBF.：.〉BACsXFGB.

•.•~AB一_AC.

GFGB

XAB=BG=100寸,FG=3寸，

・100AC

•.-----=------.

3100

解得AC二竽.

答:树C与人所在的A处的距离为警寸.

I0.D［解析f••图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为LAABC的面积为42,.•.最小的三角形与

△ABC的相似比为名.

V42

:^ADEs△ABC,（丝）4

S£,ABCBC

•••空=4x』曰,如匹=/=且

BCV42V425S3BC4221

，SAAOE=VX42=16,...四边形DBCE的面积=SAABC£ME=26,故选项D正确.

11.B［解析］:△ABC是等边三角形,

NA=N8=NC=60"=BC=AC=5.

,/沿DE折叠点A落在BC边上的点F处,

:.AADEQXFDE,

：.ZDFE=ZA=60°AD=DFAE=EF,

设BD=x,则AD=DF=5-x,^CE=y,则AE=5-y.

'：BF=2,BC=5,：.CF=3.

'：ZC=60°,ZDFE=60°,

・•・/EFC+NFEC=120°,NDFB+NEFC=120°,

・・・ZDFB=ZFEC.

・；NC=NB,

MDBFSAFCE.

,BD_BF_DF

•・CF~CE~EFy

即汽二券

解得：x=2，

o

即BD=—,

8

故选:B.

12.1［解析］法一:如图，过点E作EH1AB于点H,连接EF,

设CE=a,

•..四边形ABC。是正方形，

：.AB=CB.ZBAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,

^•：AB2+BC2=AC2AC=3y/2,

：.AB=BC=3,

又•:巴=^,NECF=NBCA,

：.4CEFS4CBA、

・•・ZECF=Z£FC=45°,ZCEF=90°,

：.CE=EF=a,

在RtACEF中，由勾股定理得：

CF=y/2CE=y[2a,

又BC=BF+CFAC=AE-^-CE,

/.BF=3-y/2a,AE=3V2-a,

又•.•点尸在反比例函数y=：(x>0)的图象上,

点F的纵坐标为3-V2a,

点尸的横坐标为卡，

3-V2a

即08=2，

3-v2fl

易得EH=AH=3-^-a,

:点E在反比例函数y=：(x>0)的图象上，

0H=*,又,：AB=AH+HB,

3与

:.HB与,

又,:0B-0H=HB,

・55__V2

・飞W：3坐「士”

解得：。1=当〃2=4虫(舍去),俏=0(舍去)，

CF-\[2a-y[2x—=1.

2

法二:由比例得相似，再得等腰直角三角形CEF,过E作EMA.CF于M,设CM=FM=EM=m,

设则/(〃+九3-2〃z),那么n(3-m)=(n+m)(3-2m)=5,

可得〃?二4（舍去）或机=0（舍去）或加=/

CF=2zn=l.

13.解:(1)证明：:ZBAC=90°AB=AC=2,

：.ZB=ZC=45°,BC=2V2,

ZADC=ZB+ZBAD=45°+ZBAD,ZADC=ZADE+ZEDC=45°+ZEDC,

：./BAD=/EDC,又4B=/C、

：.LABD^/XDCE.

(2)®V&ABDsXDCE,

・BDAB

・・一EC二一CD，

□riX2

即石=运？

•,.y=|.r2-V2A-+2(0<jc<2V2).

②y=吴-疯1+2=|(x-V^)2+1,

.•.当工=或时,y的最小值是1.

14.解:⑴①假②假③真［解析］①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等;②三个角

分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例;③两个大小不同的正方形相似，是真命题.故答案为:

假，假，真.

（2）证明:如图①②，分别连接BD,BiDi,

•••/8€75=/8<0],黑=黑,

：*4BCDSABICID