2021年中考数学总复习《圆》解答题25

2021年中考数学总复习《圆》解答题

1.阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，

又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：

如图1,已知PC是00的切线，48是。。的直径，延长BA交切线PC与P,连接AC、

BC、0C.

因为尸C是。。的切线，A8是。。的直径，所以NOCP=NACB=90°,所以N1=N2.

又因为NB=Nl,所以NB=N2.

在△以C与△PCB中，又因为：NP=NP,所以△以Cs/XPCB,所以空=里，即PC2

PCPB

^PA-PB.

问题拓展：

(I)如果尸8不经过。。的圆心。(如图2)等式R^=B4・P2,还成立吗？请证明你

的结论；

综合应用：

(II)如图3,。。是△ABC的外接圆，PC是。。的切线，C是切点，BA的延长线交

PC于点P；

(1)当48=巩，且PC=12时;求用的值；

【分析】(I)证法一：如图2-1,连接PO并延长交。。于点D,E,连接BD、AE,

易证得△尸BQSAPEA,然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA・PB=PD,PE,由

图1知，PC?=PD*PE,即可证得结论；

证法二：如图2-2,过点C作。。的直径CC,连接40,BC,AC,由尸C是。。的切

线，易证得△PBCs^po,然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；

(II)(1)由(1)得，PC?=PA'PB,PC=12,AB=PA,即可求得PC2=B4・P8=B4

CPA+AB)=2必2,继而求得答案；

(2)证法一：过点A作AF//BC,交PD于点F,由平行线分线段成比例定理即可求得更

PA

,又由「。2=%.尸8,即可证得结论；

AFAFAE

证法二：过点A作AG〃OP,交BC于点、G,由平行线分线段成比例定理即可求得更=

PA

毁，型=患，又由PC2=%・PB,即可证得结论.

GDDGAE

【解答】解：(I)当尸8不经过。。的圆心。时，等式PC2=fiVPg仍然成立.

证法一：如图2-1,连接尸。并延长交。。于点。，E,连接B。、AE,

；.NB=NE,NBPD=NAPE,

:.XPBDs^PEA,

.PDPB

••---="一,

PAPE

即B\"PB=PD'PE,

由图1知，PC2=PD'PE,

：.PC1=PA'PB.

证法二：如图2-2,过点C作。。的直径CD连接AO,BC,AC,

:PC是。。的切线，

：.PCLCD,

...NC4£>=NPCD=90°,

即Nl+/2=90°,/。+/1=90°,

；./£>=N2.

,:ND=NB,

，NB=N2,

NP=NP,

:.丛PBCs丛PCA,

所以Fl匹，

PCPB

即PC2=PA'PB.

(II)由(1)得，PC2^PA-PB,PC=12,AB=PA,

：.PC2^PA'PB^PA(%+AB)=2孙2,

；.2“=144,

，布=±6&(负值无意义，舍去).

.•.以=6后.

(2)证法一：过点A作AF〃8C,交PD于点F,

.PB=BDCD=CE

"PAWAFAE-

为8C的中点，

:.BD=CD,

.BD=CD

■市AF,

.PB=CE

**PAAE-

,:PC2=PA，PB,

2

.PC_PA'PB_PB=CE

一市三产而市，

gpPCl=CE.

PA2杷

证法二：过点A作4G〃£>P,交8c于点G,

.PB=BDCD=CE

**PAGD'DGAE'

•.,。为BC的中点，

:.BD=CD,

•BD=