2021年中考数学 一轮训练：菱形性质与判定综合（二）

2021年中考致学一桧专题训练:

菱形性质与判定绘合(二)

1.如图，在口46。中，点£尸分别为边48,。的中点，连接。£BF,BD.

(])求证：4AD恒XCBF；

(2)若/力。8=90°,求证：0边形夕尸。f为菱形.

2.如图，在口/46。中，对角线4C与8。相交于点O,过点。作见4GEF与AB的延

长线交于点£与。的延长线交于点尸.

求证：R边形4爪尸是菱形，

3.如图，在口48。中，点匕F.G.H分别在边力&BUCD.DAi.,AE=CG,AH=

CF.

fl)求证：AAEH^XCGF；

(2)若EG牛分/.HEF，求证：8边形是菱形.

4,如图，在中，/.ABC=90°,D,E分机为AB,4U的中点，延长。£到点只使

EF=2DE,

(})求证：四边形8CFF是平行囱边形；

(2)当NACB=60°时，求证：g迦形BCFE轰篆砧.

5,如图，笈aABCD中,对甭线4GBD交于点、O,尸是4。上一点，连接£。并延长，交

BC干支F.连接4尸,CE,EF率分乙AEC、

ru求证：四边形”々是菱形；

(2)若/D4U=60°,AC=2,求四边形/1FGF的面积.

6.如图，在平行四边形48。中，/必。的平分线交6U于点£交。C的延长线于尸,

以EC.C尸为邻边作平行四边形ECFG,如图1所示,

(\)证明平行四边形A7匕是菱形；

(2)若248(7=120°,生结BG、CG.DG,如图2所示,

①求证：XDG8XBGE；

②求N6DC的度数；

(3)若2480=90°,AB=8,4。=14,〃是日7的中点，如图3所示，求训的长,

7.如图，在矩形力夕。中，对角线4U与8。相交于点O,过点4作4F//5。，过点。作

ED\\AC,两线相交于点匕

(1)求证：四边形/4ODF是菱形；

<2J连接交4U于点A母BELED千EE,求N4OA的度数.

8,如图，四边形45。中，ABHCD,4U平分/必。，CE\\AD^AB^E.

(1)求证：四边形力&二。是菱形；

(2)若点F是48的中点，试判断△4?C的形状，并说明理由，

9.如图，平行四边形ABCD的对角线/4UBD相交于0,若AB=5,AC=8,BD=6.

求证：平行s边形力夕。是菱形.

(2)四边形748c。的面积，

10.已如：如图，在中，直线PQ垂直平分4U,与边48支于点E连接6过点

U作CFIIBA爻PQ千AF,连接AF.

(1J求证：四边形力氐尸是菱形

(2)若4。=3,AE-5,则求菱.形/4FU尸的面积,

参考答案

1»证明：f1J在Q/46C7?中，AD=BC,AB=CD,N/4=NG

•・,E、尸分别为边4艮CD的中点、,

：.AE=—AB,CF=—DC

22

：,AE=CF,

在△/4。£和△囱中，

rAD=BC

<NA=/C，

AE=CF

：.t\ADE^l^CBF(SAS)；

(2)・：AB=CD,AE=CF,

・•.BE=DF,

队ABIICD,

・•・BEIIDF,

四边形BEDF是平行四边形,

•・•ZADB=90°,

・••点E为边力夕的中点，

:.DE=EB=LAB,

2

0边形BFDE为菱形、

2、证明：•「四边形力夕。是平行叩边形，

,ABIICD,OA=OQ

：.AAEO=/_CFO,

在和△UO尸中

<ZAE0=ZCF0

<ZA0E=ZC0F>

A0=C0

/.A/4(9£^ACOF(AAS),

・,.OE=OF,

\'EF]_AC,OE=OF,

一.AC与日7互相垂直平分，

一.四边形/4&二尸是菱形、

3、证明：C1J:四边形48。是平行四边形，

Z/4=ZC.

AE=CG

••・在与尸中一ZA=ZC>

AH=CF

:.(\AEgl\CGF、

(2),・•=边形/夕。是平行凹边形，

:,AD=BC,AB-CD,/_B=/_D、

\'AE=CG,AH=CF,

；,EB=DG,HD=BF、

:.XBEF出XDGH、

:,EF=HG、

汽：/\AEg/\CGF,

・•.EH=GF、

Q)边形HEFG为平行四边形、

：.EHIIFG,

:./_HEG=(FGE、

,:EG至分(HEF,

:./_HEG=(FEG,

・•.ZFGE=ZFEG,

・•.EF=GF,

是菱形,

4.(])证明：・・・。.E为AB,/4U中点

・・・DE为/\ABC的中位线,DE=—BC,

2

・•・DEWBC,

即EFWBC,

•/EF=BQ

b边形BCEF为平行四边形、

(2)二•四边形夕Cf尸为平行四边形，

•/Z/4Cff=60°,

・•.BC=CE=BE,

一.B边形BCFE是菱形.

5.(I)证明：•・•四边形是平行囚边形

：.AD\\BQAO=CO,

:、/_AEF=/_CFE,

<ZAEF=ZCFE

在△/4O£>2\uo尸中一NAOE=/COF，

AO=CO

：.^AOE^/\COF(AAS),

・•.OF=OE,

\'AO=CO,

/.b边形AFCE是平行四边形

♦：EF夫分乙AEC,

:•乙AEF=/_CEF,

・・・ZCFE=ZCEF,

四边形AFCE是菱形；

(2)群：由(])得：=边形/4々是菱形，

\ACLEF,AO=CO=^AC=]f

2

：,/_AOE=90°,

•：/_DAC=60°,

.\Z.AEO=30°,

OE—J^/4O=

・・.EF=2OE=2M，

囚边形AFCE的面积=-^-/4CxEF--^-X2X2=2，^、

6.斛：flJ证明：

,；AF牛分ZBAD,

ZBAF—Z_DAF,

.・•四边形力8。是平行B边形，

：.ADIIBGABIICD,

/.ZDAF=ZCEFfZPAF=ZCFE,

/.zCEF=zCFE,

：.CE=CF,

又：8边形ECFG是平行=边形，

«?边形ECFG为菱形；

(2)①；凹边形是平行0边形，

：.AB\\DC,AB=DC,ADUBC,

480=120°,

：.ABCD=60°,/BCF=12。°

由m知，四边形厂是菱形，

:.CE=GE,—60°,

2

:.CG=GE=CE,/DUG=120°,

•；EGIIDF,

.\ZFfG=120°=ADCGf

•・Y£是/孙。的平分线，

・・.ZDAE=ZBAE,

•:ADIIBC,

:.乙DAE=Z_AEB,

/.ZBAE=/_AEB,

AB—BE,

・•,BE=CD,

:、XDG32BGE[SAS)；

②：XDGC^XBGE,

・・.BG=DG,ZBGE=ZDGG

・•.ZBGD=ZCGE,

•/CG=GE=CE,

△CEG是等边三角形，

：.ACCE=60°,

：.2BGD=6N,

,:BG=DG,

..•△4DG是等边三角形，

/.ZFP6=60°；

(3)方法一：如图3中，连接RW,MC

'：/_ABC^90°,四边形48。是平行四边形，

・•・四边形/46。是矩形，

又由(1)可知叨边形氏尸G为菱形，

£ECF=90°,

二.凹边形氏尸C为正方形.

■:乙BAF=ZDAF,

BE-AB-DC,

•:M为生中点，

:'乙CEM=2ECM=45°,

：./_BEM=LDCM='350,

在△夕A正和△DVC中，

'BE=CD

；NBEM=NDCM，

EM=CM

:.RBM-XDMC(SAS),

：.MB=MD,

ZDMC=ZBME、

:./_BMD=/_BM®/_EMD=(DMC+/_EMD=qO°,

△BMD是等腰直角三角形.

AB=8,AD—14,

•・BD=25y65,

••・加=争。=百瓦

方法二：过M作MH1DF千H,

ZABC-90°,8边形/44C。是平行四边形，

/.=边形ABCD是矩.形,

又由C1）可知b也形ECFG为表彩,

/_ECF^90°,

/.o边形ECFG为正方形，

：.ACEF=45°,

：.£AEB=/_CEF=45°,

BE=AB—8,

/.CE=614-8=6,

-MH\\CF,EM=FM,

：.CH=FH=—CF=3,

2

：.MH=—CE=3,

2

；.DH=11,

:.DM=F+32=713o.

7,(])证明：-：AE\\BD,EDUAC,

8边形AODE是平行四边形，

•・•0边形44。是矩形，

：.OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,AC=BD,

22

OA=OC=OD,

・,.囚边形AODE是奏形;

(2)斛：连接OE,如图所示：

由(\)得：=边形/OOE是菱形，

AE-OB-OAf

•：AEHBD,

四边形AEOB是平行四边形，

•；BE1.ED,EDHAC,

.\BE1AC

s边形AEOB是菱形，

AE=AB-OB,

AB-OB-OAt

.••△/4O夕是等边三角形，

：.Z_AOB=60°,

・・・/40。=180°-60°=120°、

8.斛：(])ABHCD,CEIIAD,

/.b边形AECD为平行四边形，Z2=Z3,

又•.YU平分/必。

.*.Z1=Z2,

Z1=Z3,

AD-DC,

・・・四边形4也？是菱形；

(2)直角三角形.

理由：\'AE=EC

.・./2=/4,

-：AE=EB,

:.EB=EC,

・,.N5=NS

又因为三角形内角和为180°,

「.N2+N4+N5+N8=180°,

:.^ACB=Z4+Z5=90°,

.•.△4C8为直角三角形、

AE