空间几何体基础解答题含答案

-.z.1.1空间几何体根底解答题一．解答题〔共24小题〕1．〔2009•奉贤区二模〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，假设用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10〔L〕，高为4〔dm〕，盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3〔dm〕，EC1=2〔dm〕．试问现在此容器最多能盛水多少？2．如图，ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．〔1〕判断四边形MNA′C′的形状；〔2〕求四边形MNA′C′的面积．3．圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积．4．〔2016•嘉定区三模〕如图，一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为*的圆柱．〔1〕用*表示此圆柱的侧面积表达式；〔2〕当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．5．〔2011秋•期末〕圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．〔Ⅰ〕求圆锥的侧面积；〔Ⅱ〕经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两局部几何体的体积比．6．等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体．〔1〕当∠A=60°时，求此旋转体的体积；〔2〕比拟当∠A=60°、∠A=45°时，两个旋转体外表积的大小．7．如下图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，假设BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？8．〔2013秋•临海市校级月考〕如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图〔不写作法，保存作图痕迹．〕9．〔2013秋•老城区校级月考〕如图是一个几何体的正视图和俯视图．〔1〕试判断该几何体是什么几何体；〔2〕画出其侧视图〔尺寸不作严格要求〕，并求该平面图形的面积．10．〔2012•黄浦区二模〕如下图的几何体，是由棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去一个角后所得的几何体．〔1〕试画出该几何体的三视图；〔主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如下图．请将三视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框〕〔2〕假设截面△MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V．11．〔2016•普陀区一模〕*种“笼具〞由，外两层组成，无下底面，层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去局部和接头忽略不计，圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．〔1〕求这种“笼具〞的体积〔结果准确到0.1cm3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具〞，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？12．〔2016•崇明县二模〕如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18．〔1〕求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外表积；〔2〕求异面直线BC1与AA1所成角的大小．13．〔2016•静安区二模〕如图，半径为2的半球有一接正六棱锥P﹣ABCDEF〔底面正六边形ABCDEF的中心为球心〕．求：正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积．14．〔2016春•华蓥市期末〕如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的接圆柱；〔1〕求圆柱的外表积；〔2〕求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．15．〔2016春•双鸭山校级期末〕如图，点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16π，OA=2，∠AOP=120°．试求三棱锥A1﹣APB的体积．16．〔2016春•虹口区期中〕如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点．〔1〕求圆柱的侧面积和体积；〔2〕求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；〔3〕假设AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．17．〔2014春•期末〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点〔1〕证明：四边形EFBD是一个梯形；〔2〕求三棱台CBD﹣C1FE的体积．18．〔2013•普陀区一模〕如图，*种水箱用的“浮球〞，是由两个半球和一个圆柱筒组成．球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．〔1〕这种“浮球〞的体积是多少cm3〔结果准确到0.1〕？〔2〕要在这样2500个“浮球〞外表涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？19．〔2013秋•东昌区校级期中〕如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影局部绕AB旋转一周所形成的几何体的外表积．20．〔2010•徐汇区校级模拟〕斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．21．〔2009秋•开平市期末〕如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．22．〔2007•浦区二模〕〔理〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中〔如图〕，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．〔1〕当异面直线AD1与EC所成角为60°时，请你确定动点E的位置．〔2〕求三棱锥C﹣DED1的体积．23．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的外表积．〔1〕如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=．〔2〕如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=．24．球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的外表积．1.1空间几何体根底解答题参考答案与试题解析一．解答题〔共24小题〕1．〔2009•奉贤区二模〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，假设用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10〔L〕，高为4〔dm〕，盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3〔dm〕，EC1=2〔dm〕．试问现在此容器最多能盛水多少？【分析】利用体积求出底面面积，然后求出VB﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．【解答】解：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=VABC﹣A1B1C1=S△ABC•AA1=•AC•BC•4=10，得：AC•BC=5〔4分〕VB﹣ADEC=S△ADEC•BC=•〔AD+CE〕•AC•BC=2.5〔4分〕此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5〔L〕．〔4分〕【点评】此题考察棱柱的构造特征，考察棱柱、棱锥的体积，是根底题．2．如图，ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，高为2a，M，N分别是CD和AD的中点．〔1〕判断四边形MNA′C′的形状；〔2〕求四边形MNA′C′的面积．【分析】〔1〕根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得MN∥A′C′∥AC，且MN=A′C′=AC，进而可判断四边形MNA′C′的形状；〔2〕利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案．【解答】解：〔1〕∵ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，底面是边长为a的正方形，M，N分别是CD和AD的中点．∴AC=a，MN∥A′C′∥AC，且MN=A′C′=AC=，故四边形MNA′C′为梯形；〔2〕由长方体ABCD﹣A′B′C′D′的高为2a，故梯形的高为=a，故四边形MNA′C′的面积S=〔+a〕×a=a2．【点评】此题考察的知识点是棱柱的几何特征，梯形面积的求法，难度不大，属于根底题．3．圆台的两底面半径分别是5cm和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面沮上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别为3cm和6cm，求截面面积．【分析】由题意知，截面为等腰梯形，求出上下底边长及高即可．【解答】解：由题意知，截面为等腰梯形，上底边长为2×=8；下底边长为2×=16；梯形的高为=；故截面面积S=×〔8+16〕×=12〔cm2〕．【点评】此题考察了学生的空间想象力与计算能力，属于根底题．4．〔2016•嘉定区三模〕如图，一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为*的圆柱．〔1〕用*表示此圆柱的侧面积表达式；〔2〕当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【分析】〔1〕设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与*的关系，代入侧面积公式即可；〔2〕利用二次函数的性质求出侧面积最大时*的值，代入体积公式即可．【解答】解：〔1〕设圆柱的半径为r，则，∴r=2﹣*，0＜*＜2．∴S圆柱侧=2πr*=2π〔2﹣*〕*=﹣2π*2+4π*．〔0＜*＜2〕．〔2〕，∴当*=1时，S圆柱侧取最大值2π，此时，r=1，所以．【点评】此题考察了旋转体的构造特征，体积计算，属于根底题．5．〔2011秋•期末〕圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．〔Ⅰ〕求圆锥的侧面积；〔Ⅱ〕经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两局部几何体的体积比．【分析】〔I〕先利用正视图正三角形的性质，计算圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得圆锥的侧面积；〔II〕利用圆锥的体积计算公式，先算小圆锥的体积，再用大圆锥的体积减小圆锥的体积，即可得圆台的体积，进而得两局部体积之比【解答】解：〔Ⅰ〕由题意得圆锥底面半径r=1，母线长l=2．∴S侧=πrl=2π．〔Ⅱ〕设圆锥的高为h，则h=，r=1，∴小圆锥的高h′=，小圆锥的底面半径r′=，∴．．∴V圆台=V圆锥﹣V小圆锥=Sh﹣S′h′==．∴．【点评】此题主要考察了圆锥的侧面积计算公式，圆锥的体积计算公式，圆台体积的计算方法，求分割几何体的体积之比的计算方法，属根底题6．等腰三角形ABC中CA=CB，底边长AB=2，现以边AB为轴旋转一周，得旋转体．〔1〕当∠A=60°时，求此旋转体的体积；〔2〕比拟当∠A=60°、∠A=45°时，两个旋转体外表积的大小．【分析】过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，结合圆锥的侧面积公式和体积公式，可得答案．【解答】解：过C做AB边上的高，垂足为CD，则以边AB为轴旋转一周，得旋转体是两个以CD为底面半径的圆锥，〔1〕当∠A=60°时，∵AB=2，故CD=，此时旋转体的体积V=π〔DA+DB〕=πAB=2π；〔2〕当∠A=60°，AC=BC=2，旋转体的外表积=2×〔π××2〕=4，当∠A=60°，AC=BC=，CD=1，旋转体的外表积=2×〔π×1×〕=2π．【点评】此题考察的知识点是旋转体，圆锥的体积外表积公式，难度不大，属于根底题．7．如下图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是侧面对角线BC1、AD1上一点，假设BED1F是菱形，则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是多少？【分析】设AF=*，结合菱形的边长相等及勾股定理，可得菱形BED1F的边长为，进而可得BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形．【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1=AD1=，设AF=*，则﹣*=，解得：*=，即菱形BED1F的边长为﹣=，则BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，其面积为：．【点评】此题考察的知识点是平行投影，其中分析出BED1F在底面ABCD上投影四边形是底边为，高为1的平行四边形，是解答的关键．8．〔2013秋•临海市校级月考〕如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图〔不写作法，保存作图痕迹．〕【分析】在OABC的等腰梯形中，作出EC⊥OA于E，BA⊥OA于F，利用斜二测画法画出直观图．【解答】解：【点评】此题考察了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤．9．〔2013秋•老城区校级月考〕如图是一个几何体的正视图和俯视图．〔1〕试判断该几何体是什么几何体；〔2〕画出其侧视图〔尺寸不作严格要求〕，并求该平面图形的面积．【分析】〔1〕根据空间几何体的正视图和俯视图即可判断该几何体的直观图．〔2〕根据空间几何体的构造，即可得到该几何体的侧视图．【解答】解：〔1〕由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．〔2〕侧视图〔如图〕其中AB=AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即是棱锥的高，，所以侧视图的面积为．【点评】此题主要考察三视图的识别和应用，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图，比拟根底．10．〔2012•黄浦区二模〕如下图的几何体，是由棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去一个角后所得的几何体．〔1〕试画出该几何体的三视图；〔主视图投影面平行平面DCC1D1，主视方向如下图．请将三视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框〕〔2〕假设截面△MNH是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V．【分析】〔1〕根据三视图的定义可画出该几何体的三视图〔2〕由正三角形△MNH是的边长，先求出截掉的三棱锥的棱长和体积，用正方体的体积减掉小三棱锥的体积即可【解答】解〔1〕〔2〕设原正方体中由顶点B1出发的三条棱的棱长分别为B1M=*，B1N=y，B1H=z．结合题意，可知，，解得．因此，所求几何体的体积=【点评】此题考察由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式是关键11．〔2016•普陀区一模〕*种“笼具〞由，外两层组成，无下底面，层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去局部和接头忽略不计，圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．〔1〕求这种“笼具〞的体积〔结果准确到0.1cm3〕；〔2〕现要使用一种纱网材料制作50个“笼具〞，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【分析】〔1〕笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；〔2〕求出笼具的外表积即可，笼具的外表积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：〔1〕设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1=cm．∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×〔122×30﹣×122×16〕=3552π≈11158.9cm3．〔2〕圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的外表积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．【点评】此题考察了圆柱，圆锥的外表积和体积计算，属于根底题．12．〔2016•崇明县二模〕如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为18．〔1〕求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外表积；〔2〕求异面直线BC1与AA1所成角的大小．【分析】〔1〕通过三棱柱的体积求出底面积，通过三角形的面积求出，然后求解三棱柱的外表积．〔2〕说明∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角通过解三角形求解即可．【解答】解：〔1〕因为三棱柱的体积为，AA1=6．S△ABC•AA1=18．从而，因此．…〔2分〕该三棱柱的外表积为．…〔4分〕〔2〕由〔1〕可知因为CC1∥AA1．所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，…〔8分〕在Rt△BC1C中，，所以∠BC1C=．异面直线BC1与AA1所成的角…〔12分〕【点评】此题考察棱柱的体积求法，外表积的求法，异面直线所成角的求法，考察计算能力．13．〔2016•静安区二模〕如图，半径为2的半球有一接正六棱锥P﹣ABCDEF〔底面正六边形ABCDEF的中心为球心〕．求：正六棱锥P﹣ABCDEF的体积和侧面积．【分析】正六棱锥P﹣ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出正六棱锥的体积、侧面积．【解答】解：设底面中心为O，AB中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA=OP=2，∴OM=，∴S底=6××2×=6．∴V=×6×2=4．…6分∵PM==．…8分∴S侧=6××2×=6．…12分．【点评】此题是根底题，考察空间想象能力，计算能力，能够得到底面是大圆，求出斜高，此题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．14．〔2016春•华蓥市期末〕如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的接圆柱；〔1〕求圆柱的外表积；〔2〕求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．【分析】〔1〕利用S外表积=2S底+S侧，求圆柱的外表积；〔2〕求出三棱锥、圆柱的体积，即可求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．【解答】解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．〔1〕圆锥的高h==2，又∵h′=，∴h′=h．∴=，∴r=1．∴S外表积=2S底+S侧=2πr2+2πrh′=2π+2π×=2〔1+〕π．…〔6分〕〔2〕所求体积=…〔12分〕【点评】此题考察圆柱的外表积、三棱锥、圆柱的体积，考察学生的计算能力，比拟根底．15．〔2016春•双鸭山校级期末〕如图，点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16π，OA=2，∠AOP=120°．试求三棱锥A1﹣APB的体积．【分析】利用侧面积公式计算AA1，计算出AP，BP代入棱锥的体积公式即可得出三棱锥A1﹣APB的体积．【解答】解：S圆柱侧=2π•OA•AA1=4π•AA1=16π，∴AA1=4，∵∠AOP=120°，OA=OP=2，∴AP=2，BP==OA=2．∴V===．【点评】此题考察了圆锥的体积公式，属于根底题．16．〔2016春•虹口区期中〕如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面圆周上的点．〔1〕求圆柱的侧面积和体积；〔2〕求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；〔3〕假设AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．【分析】〔1〕代入面积公式和体积公式计算即可；〔2〕三棱锥的高为定值，边AB为定值，故当C到直线AB的距离取得最大值时，底面积最大，故棱锥的体积最大；〔3〕反向延长AB至C′，使得AC=AC′，则C′D为CE+DE的最小值．【解答】解：〔1〕圆柱的侧面积S侧=2πrh=2π×1×2=4π．圆柱的体积V=πr2h=π×12×2=2π．〔2〕三棱锥P﹣ABC的高h=2，底面三角形ABC中，AB=2，点C到AB的最大值等于底面圆的半径1，∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值等于××2=．〔3〕将△PAC绕着PA旋转到PAC′使其共面，且C′在AB的反向延长线上．∵PA=AB=2，，，BC′=3，由余弦定理得：，∴CE+ED的最小值等于．【点评】此题考察了圆柱的构造特征，面积与体积计算，属于根底题．17．〔2014春•期末〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点〔1〕证明：四边形EFBD是一个梯形；〔2〕求三棱台CBD﹣C1FE的体积．【分析】〔1〕利用梯形定义证明，EF∥BD，显然DE、BF不平行；〔2〕利用棱台的体积公式计算，分别计算上下底面积，CC1为高．【解答】〔1〕证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E、F分别是两条棱的中点，∴EF∥B1D1，由B1D1∥BD，∴EF∥BD，显然DE、BF不平行，∴四边形EFBD是一个梯形；〔2〕正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，点E、F分别是两条棱的中点，∴C1E=C1F=1，=C1E×C1F=S△CBD==2，CC1=2，VCBD﹣C1FE==．【点评】此题考察线线平行，及棱台的体积计算，掌握根本定理及公式是关键，属根底题．18．〔2013•普陀区一模〕如图，*种水箱用的“浮球〞，是由两个半球和一个圆柱筒组成．球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．〔1〕这种“浮球〞的体积是多少cm3〔结果准确到0.1〕？〔2〕要在这样2500个“浮球〞外表涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【分析】〔1〕根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球〞的体积大小；〔2〕由球的外表积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球〞的外表积S，进而得到2500个“浮球〞的外表积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量．【解答】解：〔1〕∵该“浮球〞的圆柱筒直径d=6cm，∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，∴两个半球的体积之和为cm3…〔2分〕而cm3…〔2分〕∴该“浮球〞的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…〔4分〕〔2〕根据题意，上下两个半球的外表积是cm2…〔6分〕而“浮球〞的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…〔8分〕∴1个“浮球〞的外表积为m2因此，2500个“浮球〞的外表积的和为m2…〔10分〕∵每平方米需要涂胶100克，∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π〔克〕…〔12分〕答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…〔13分〕【点评】此题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球〞，计算了它的外表积和体积，着重考察了球、圆柱的外表积公式和体积公式等知识，属于根底题．19．〔2013秋•东昌区校级期中〕如图，四边形ABCD为矩形，求图中阴影局部绕AB旋转一周所形成的几何体的外表积．【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，利用圆柱和球的外表积公式进展计算即可．【解答】解：图中阴影局部绕AB旋转一周所形成的几何体的外表积，得到的几何体为圆柱去掉一个半径为2的半球，半球的外表积为．圆柱的底面半径为2，高为4，∴圆柱的底面积为π×22=4π，圆柱的侧面积为2π×2×4=16π，∴该几何体的外表积为8π+4π+16π=28π．【点评】此题主要考察旋转体的外表积，要求熟练掌握常见几何体的外表积公式．比拟根底．20．〔2010•徐汇区校级模拟〕斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．【分析】〔1〕先判断斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．〔2〕斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．【解答】解：〔1〕∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．∴〔2〕过A1作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A1D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则AD=，A1D=，∴AO=，A1O=∴V=×a=【点评】此题主要考察了斜三棱柱的侧面积与体积的求法，属于立体几何的根底题．21．〔2009秋•开平市期末〕如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．【分析】根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比拟二者大小，判断是否溢出，即可得答案．【解答】解：因为V半球=V圆锥=因为V半球＜V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．【点评】此题考察球的体积，圆锥的体积，考察计算能力，是根底题．22．〔2007•浦区二模〕〔理〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中〔如图〕，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．〔1〕当异面直线AD1与EC所成角为60°时，请你确定动点E的位置．〔2〕求三棱锥C﹣DED1的体积．【分析】〔1〕以DA为*轴，以DC为y轴，以DD′为z轴，建立空间直角坐标系．E〔1，t，0〕，分别求出异面直线AD1与EC的方向向量，根据异面直线AD1与EC所成角为60°，我们可以构造一个关于t的方程，解