轮上与轨道接触时相对纯滚速度与加速度的统一关系

轮上与轨道接触时相对纯滚速度与加速度的统一关系

速度、加速度的普遍关系在直线或平面上的圆形车轮上进行相对简单的滚动运动是工程实践和日常生活中常见的运动现象。车轮上点的运动形式、相关速度和加速度是一般力学问题。众所周知,当轨道固定不动时,轮上与轨道接触的点速度为零、加速度恒指向轮心。但若轨道也运动,轮与轨相接触的两点,其运动量之间有什么关系?彼此间存在怎样的相对运动?这些问题是分析的难点,常令学生捉摸不定,导致各种各样的错误。下面先作一般性讨论,导出速度、加速度的普遍关系;然后通过两道考研题介绍正确的分析方法,并对常见错误进行辩析;最后归纳和总结,得出结论。1轮、轨接触点d运动轨迹和加速度分布不失一般性,讨论图1所示沿直线轨道o′x′纯滚的轮。由点的运动学知,圆轮在固连于轨道的动系o′x′y′中作平面运动,轮缘上任意点的相对运动轨迹为旋轮线,当它与轨道接触时vr=0‚a⃗rvr=0‚a→r指向轮心。现在在静系oxy中来观察,设任意瞬时动系上的D点速度、加速度为v⃗v→D和a⃗a→D,则轮上与D接触的点D′的速度、加速度可依照相对运动分析法确定:沿x′轴投影得:根据(1)、(2)式可知,不论轨道作怎样的运动,轮、轨接触点间运动量关系始终是:速度相等(无相对速度);加速度沿公切线的投影相等(相对加速度恒指向轮心)。以上结论对于沿运动的曲线轨道(如圆形轨道)纯滚的轮也成立,证明从略。2刚体运动轨道系统以下两例均取自于研究生入学考试题。[例1]图示机构,平台A和匀质圆柱C质量均为m,在平台和圆柱C上施加平行力P⃗Ρ→1和P⃗Ρ→2。设圆柱在平台上作纯滚动,平台与平面间无摩擦,试求平台及圆柱中心C的加速度。[解]本题涉及的圆轮(圆柱C)是在平动的平台上纯滚,纯滚轨道自身作直线平动。对平台和圆柱进行受力分析和运动分析,可作出图(b)～(d),列出相关运动学和动力学方程。联立求解得:[讨论]在圆柱与平台间摩擦力能维持相对纯滚的条件下,若P2>P1,则圆柱往前滚,圆柱质心比平台质心跑得快;若P2<P1,则圆柱朝后滚,圆柱质心比平台质心跑得慢;若P2=P1,则圆柱相对平台静止,系统形如一平动刚体。[常见错误]该题最易出现的错误是关于aC、aA、ε三者之间的关系分析错,比如用下式代替(6)式由此得出的结果是:该结果中aC、ε均与P1力无关显然不对,而写出错式(7)的原因,应该是学生太熟悉和太习惯于研究沿固定轨道纯滚轮这一“惯性”所致。当圆轮在运动轨道上相对纯滚时,应按照绝对运动量与相对运动量之间的关系来分析,轮心C与轮、轨接触点B间的加速度关系是:沿水平方向投影为再注意到B点与平台A的加速度关系:aBx=aA,即可得到正确的运动学关系式。[例2]半径为r的圆轮O铰接在直角杆OAB上,并相对C杆作无滑动的滚动。已知图示瞬时vAB=v,aAB=0,求该瞬时圆轮的角速度和角加速度。[解]本题涉及的圆轮是在定轴转动的直杆上纯滚,纯滚轨道自身作定轴转动。分析图中三个刚体的运动,OAB杆作直线平动,CD杆绕C作定轴转动,圆轮作平面运动。图示瞬时P、O两点分别为圆轮的速度瞬心和加速度瞬心。解此运动学问题的第一步是借助点的运动合成求轮心O相对CD杆的运动量以及牵连运动量,根据速度合成和加速度合成图(b)和(c)列出运动学方程:代入已知条件vO=v,aO=0得:第二步是利用刚体平面运动规律求圆轮的角速度和角加速度。根据速度图(a)和加速度图(d)、(e)列出运动学方程:代入已知条件即可得:[常见错误]该题最易出现的错误是利用O点相对CD杆的速度和加速度直接求圆轮的角速度和角加速度,写出如下错式:导致这种错误的原因是忽视了CD杆自身也在运动,有角速度和角加速度,上面两式求出的实际上是圆轮相对动系CD杆的角速度和角加速度,而圆轮的绝对角速度和角加速度可以根据刚体绕平行轴的转动规律求得:3动中接触点的改变通过以上实例可见,分析沿运动轨道纯滚轮的关键是,正确利用轮、轨接触点之间的运动量关系,虽然运动中接触点对轮和轨而言始终在改变,但任意瞬时相接触的两点速度、加速度都满足(1)、(2)两式。上面两例