刚体平面运动中瞬心的基点

刚体平面运动中瞬心的基点

在刚体的平坦运动中，要讨论旋转问题，必须明确以下问题。以瞬心为基点的合理性;以瞬心为基点时,什么时候惯性力矩为零,什么时候不为零?或者说作用在刚体上惯性力的作用点在哪里,惯性力矩等于多少?不论我们根据质点组角动量定理还是根据牛顿第二定律导出刚体转动定理,都是在以选定点为原点的惯性坐标系中进行讨论的.该坐标原点通常称作“基点”或“选定中心”.此时选定中心的加速度等于零.既然刚体转动定理是在惯性系中导出的,那么刚体的转动问题似乎只能在惯性系中讨论,或者说选定中心的加速度一定要等于零.实际上在讨论刚体转动问题时,一切可以确定运动状态的点都可以作为选定中心.显然有些点的加速度为零,有些点的加速度不为零.下面我们先讨论选定中心加速度不为零时作用在刚体上惯性力的作用点以及惯性力对于选定中心的惯性力矩的大小.设在一惯性坐标系中有动点O′,以O′为原点作一平动坐标系O′X′Y′Z′,如图1.O′相对于惯性系加速度为→aa⃗0.有一个由n个质点组成的质点组,质心在C点,质心的矢径为→rr⃗c.质点组中任一质点mi的矢径为→ρρ⃗i,mi除了受到实际作用力外还受到惯性力-mi→a′0的作用.→ri是mi相对于质心C的矢径.作用在mi上的惯性力对O′点的惯性力矩为→ρi×(-mi→a′0),则作用在整个质点组上惯性力对O′的力矩为→Μ′=n∑i=1→ρi×(-mi→a′0)=n∑i=1(→rc+→ri)×(-mi→a0).注意到n∑i=1mi为质点组的质量m,在质心坐标系中n∑i=1mi→ri=0,则→Μ=→rc×(-mi→a′0).上式表明,当选定中心的加速度→a′0不为零时,作用在所有质点上惯性力的合力的作用点在质点组的质心,大小等于ma0,对选定中心的惯性力矩等于质心的矢径与惯性力的矢积.显然,如果选定中心的加速度→a0=0,即坐标系O′X′Y′Z′是惯性系,则惯性力矩→Μ′=0.如果→rc=0,即选定中心就是质点组的质心,无论质心的加速度是否为零,惯性力矩均为零.如果选定中心的加速度→a′0的方向指向或者反指向质心C,则惯性力矩为零.在使用转动定理解决刚体的转动问题时,若满足以上三种情况,惯性力矩均不出现.若不满足上述情况时,由牛顿第二定律的推广可知,须在转动地理原来的形式上加上惯性力矩→Μ′,即Ι′0β=→Μ+→Μ′,其中I′0是刚体对选定中心O′的转动惯量.若要知道惯性力矩的大小,首先要知道选定中心的加速度.通常遇到最多的转动问题是圆形刚体(如圆环、圆盘、圆柱、球、球壳)在承滚面(如平面、斜面、曲面)上的滚动问题.根据前面的讨论,若以质心为选定中心,无论质心的加速度是多少,也不论刚体作纯滚动还是滑动滚动,因为惯性力作用在质心上,惯性力矩恒为零.虽然质心坐标系未必是惯性系,但这时转动定理的形式与在惯性系中是一样的.当刚体作纯滚动时,还可以瞬心为选定中心讨论转动问题.如图2,在某一时刻,刚体的滚动可看作绕P点垂直于纸面的轴转动.P点为瞬心,该轴为瞬时转轴.瞬心的速度为零(P点与承滚面相对静止,但加速度并不为零).以瞬心为选定中心讨论纯滚动问题,首先要确定瞬心加速度→ap的大小和方向.设一圆形刚体在纯滚动中某一时刻瞬心在P点,则P点在滚动中的轨迹是一条摆线,如图3.若圆形刚体的半径为r,P点绕质心转过的角度为θ,则摆线的参数方程为x=r(θ-sinθ),y=r(1-cosθ),分别对x、y求时间的导数dxdt=r(dθdt-cosθdθdt)d2xdt2=r[d2θdt2-d2θdt2cosθ+(dθdt)2sinθ]‚dydt=rsinθdθdt‚d2ydt2=r[d2θdt2sinθ+(dθdt)2cosθ].注意到d2xdt2=ax,d2ydt2=ay,dθdt=ω,d2ωdt2=β,则ax=r[β(1-cosθ)+ω2sinθ],ay=r[βsinθ+ω2cosθ)].当θ=0时,即P点与承滚面接触的那一瞬间,ax=0,ay=ω2r.说明瞬心加速度只有y方向的分量,大小等于ω2r,方向指向圆形刚体的几何中心O.我们还可以用另一方法推知以上结果.由图2知,瞬心加速度→aP,由质心的平动加速度→ac和P点相对于O点的加速度→aP′决定的.即→aΡ=→ac+→aΡ′,且→aP′又分为切向加速度→at′和法向加速度→an′两部分,则上式为→aΡ=→ac+→at′+→an′.由纯滚动的约束条件知→ac=-→at′,则→aΡ=→an′.显然→aP过P点指向圆形刚体的质心,惯性力矩为零.用同样的方法可以证明圆形刚体沿斜面或曲面作纯滚动时,瞬心加速度的方向指向质心,惯性力矩为零.如图4所示,一个圆形刚体在斜面上作纯滚动,瞬心为P点,以P点为原点建立坐标系OXY,X轴沿斜面向下.圆形刚体质心的加速度为→ac,瞬心加速度为→aΡ=→ac+→at+→an,→an、→at分别为P点的法向及切向加速度.由纯滚动的约束条件可知,→ac=-→at,则→aΡ=→an.显然,圆形刚体在斜面滚动时,瞬心加速度→aP的方向与法向加速度→an一致,通过P点指向刚体质心,所以惯性力矩为零.再看一个圆形刚体在曲面滚动的例子.如图5a所示,如果AB杆可绕A轴转动,且通过轮心的固定销O,带动圆轮在固定圆弧轨道上作纯滚动.当θ=30°时,AB杆的角速度为ω,角加速度α=0,AO=R-r,O1OP恰成垂直线.下面讨论该瞬时圆轮的速度瞬心P点的加速度.首先我们可以选用点的复合运动分析法讨论圆轮运动中心的速度.若取轮心O点为动点,动坐标系固连于AB杆,定坐标系固连于机架,那么动点的绝对运动是以O1点为圆心,(R-r)为半径的圆周运动,其速度方向垂直于O1O,即水平方向,大小未知;动点的相对运动是沿AB杆的直线运动,其速度方向沿AB杆,大小未知;牵连运动是动坐标系随AB杆绕A轴的转动,其速度方向如图5(b),大小为νe=¯AΟ⋅ω,根据速度合成定理→νΟ=→νr+→νe,再由平行四边形法则可知νO=νe/cosθ(如图5(b)),所以圆轮的角速度为ωO=νO/r沿顺时针方向.至于动点的绝对加速度,由于动点作圆周运动,加速度有切向和法向两个分量,如图5(c)所示.其中→atΟ方向垂直于O1O,指向向右.→anΟ方向沿O1O向上,大小为→anΟ=ν2ΟR-r.其次我们再选用平面运动分析法来讨论圆轮速度瞬心P点的加速度.如果取轮心O为基点,则P点的加速度为→aΡ=→anΟ+→atΟ+→anpΟ+→atpΟ,其中anpΟ=rω2Ο方向向上,atpΟ方向向左;atΟ方向向右,如图5(c).由于纯滚动特点,无论是固定直线轨道或固定圆弧轨道,在接触点P的公切线方向上的加速度分量必等于零.也就是说→atΟ=-→atpΟ‚atΟ=atΡΟ=raΟ‚aΟ为圆轮的角加速度.所以,P点的加速度为aΡ=anΟ+anΡΟ=ν2ΟR-r+rω2Ο.因此圆轮的速度瞬心P点的加速度只有公法