解决“场强”问题的方法

解决“场强”问题的方法(Solvethemethodoffieldstrength史献计(南京沿江工业开发区教研室江苏南京201144)电场学习的难点之一是对于公式E=-、E=kQ、E="理解与应用。现通过具体的案例分析帮助学生在解决电场强度问题的过程中学会处理“场强”的思维方法。1.叠加法电场强度是矢量，矢量的运算满足叠加原理，即空间某点的电场强度等于所有场源在该点形成的场强的矢量和，满足矢量运算法则。通过叠加法可以解决一些较为困难的问题。例1如图1所示，有一带电量为+q的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为2d,电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。若图中。点处的电场强度为零，求图中》点的电场强度大小。析与解：点电荷+q在a点场强为鸟、薄板在a点场强为E2，a点场强为零是E1与E2叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E1=E2=斜。根据对称性可知，均匀薄板在b处所形成的电场强度大小也为E，方向水平向左；点电荷在b点场强E=kq，2 3 (3d)2方向水平向左。根据叠加原理可知，b点场Eb=E2+E3 10kq2.等效法等效替代法是指在效果一致的前提下，从某个事实A出发，用另外的事实B来代替，必要时再由B到C，……，直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，从而运用有关规律解决问题。例2如图2(a)所示，距无限大金属板正前方/处，有正点电荷q，金属板接地。求距金属板d处a点的场强E(点电荷q与a连线垂直于金属板)。析与解:a点场强E是点电荷q与带电金属板产生的场强的矢量和。画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，设想金属板左侧与+q对称处放点电荷-q，其效果与+q及金属板间的电场效果相同。因此，在+q左侧对称地用q等效替代金属板，如图2(b)所示。所以，a点电场强度Ea=kq",,+,］。对称法对称法是利用带电体产生的电场具有对称性的特点来求电场强度的方法。通常有中心对称、轴对称等。

例3如图3所示，在一个接地均匀导体球的右侧P点距球心的距离为』，球半径为R。在P点放置一个电荷量为+q的点电荷。试求导体球感应电荷在P点的电场强度大小。图3kQkq意点引起的电势叠加之后也为零，即: % =.巧 ，其析与解：如图3所示，感应电荷在球上分布不均匀，靠近P一侧较密，关于OP对称，因此感应电荷的等效分布点在OP连线上一点P。设P'距离O为‘，导体球接地，故球心O处电势为零。根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量Q在O点引起的电势与点电荷q在O点引导起的电势之和为零，即+虫七=0，即感应电荷量Q=-—q图3kQkq意点引起的电势叠加之后也为零，即: % =.巧 ，其中a为球面上任意一点与O连线和OP的夹角，具有任意性。将Q代入上式并进行数学变换后得d2r2-R4=(2Rrd2-2R3d)cosa，由于对于任意a角，该式都成立，因此，r满足的关根据库仑定律可知感应电荷与电荷q间的相互作用力F=kqQ=kdRq2。根(d—r)2 (d2—R2)2据电场强度定义可知感应电荷在P点所产生的电场强度E=F=一q (d2—R2)2微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。图4例4如图4所示，一个半径为R的均匀带电细圆环，总量为Q。求圆环在其轴线上与环心O距离为r处的P产生的场强。图4析与解：圆环上的每一部分电荷在P点都产生电场，整个圆环在P所建立电场的场强等于各部分电荷所产生场强的叠加。取圆环上的一微元△"其所带电荷量△q=Q△"在P点产生的场强△E=2兀RkAq kQAl— or2+R2 2兀R(r2+R2)整个圆环在P点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。根据对称性原理可，所有微元在P点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P点产生场中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即rr~rr~z~~Vr2+R2kQr■,；(r2+R2)3E=SAEcos^=S P 2兀R(r2+R2)极值法物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。物理型主要依据物理概念、定理、定

律求解。数学型则是根据物理规律列出方程后，依据数学中求极值的知识求解。例5.匀强电场中有a、b、c三点，如图5（a）所示，在以它们为顶点的三角形中，0=30°、Zc=90°，电场方向与三角形所在平面平行.已知a、b和c点的电势分别为（2-三）V、（2+打）V和2V.该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（—）（2-云）V、（2+三）VTOC\o"1-5"\h\z0、4V（2-^3）V、（2+^-3）V\o"CurrentDocument"3 30、\；V析与解：如图5（b）所示，取ab的中点O（即外接圆圆心），则该点电势为2V，则Oc为等势线。作Oc的垂线MN，MN为电场线，方向为MN方向。U°p=Uy山V。因为UON:UOP=2：G，则UON=2V，N点电势％=0，为最小电势点，同现M点电势为为4V，为最大电势点。选项B正确。补偿法电场强度问题有时所给出的条件而建立的模型不是一个完整的标准模型，这时就需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型。通过这种“补偿”的方法将一个不完整的模型转换为一个完整的标准模型。例6如图6（a）所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。试比较A，点与A〃点电场强度的大小。条件。析与解：如图6（b）所示，球冠上正电荷在A'点产生的电场强度为E1、球层面上正电荷在A〃点产生电场强度为与。球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。(a)(b)在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图6（c）所示，显然由叠加原理可知，在A〃点产生电场强度E3>E2。若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，E1与E3大小相等，方向相反。由此可以判断，球冠面电荷在A'点产生的电场强度为E1大于球层面电荷在A〃点产生电场强度(a)(b)类比法类比是以比较为基础的，通过对两个（类）不同对象进行比较，找出它们之间的相似点或相同点，然后以此为根据，把其中某一（类）对象：的有关知识或结论推移到另一个（类）对象中去。:；例7如图7（a）所示，ab是半径为r的圆’.、的一条直径，该圆处于匀强电场中，电场强度为E。在圆周平面内，将一电荷量为q的带正电小球从

。点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点。在这些点中，到达c点时小球的动能最大。已知Zcab=30°。若不计重力和空气阻力，试求：⑴电场的方向与弦ab间的夹角。⑵若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好落在c点时的动能为多大。析与解：⑴在匀强电场中，仅电场力做功，不计重力，则电势能与动能之和保持不变。在两个等势面间电势差最大，则动能变化量最大。因此，小球到达c点时小球的动能最大，则ac间电势最大。根据重力场类比，可知c点为其最低点，电场方向与等势面垂直，由“重力”竖直向下可以类比，出电场方向沿oc方向，与弦ac夹角为30°。⑵若小球在a点初速度方向与电场方向垂直，则小球将做类平抛运动，由图7(b)可, -一一一\3, -一一一