高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

-.z.慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.知识点二集合与元素的关系1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性________、________、________.2．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合．(2)无限集：含有________元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号NN*或N＋ZQR知识点四集合的表示方法1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}〞括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果AB，BC，则________．3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.集合相等的性质如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.知识点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由________________________________________组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝_________2．并集自然语言符号语言图形语言由__________________________________组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝________A∪B＝________A∩A＝________A∪A＝________A∩∅＝________A∪∅＝________A⊆B⇔A∩B＝________A⊆B⇔A∪B＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，则就称这个集合为全集，通常记作________．5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁UA＝________________图形语言典例精讲题型一判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程*2－2＝0的实数解〞中，能够构成集合的是。题型二验证元素是否是集合的元素集合.求证：〔1〕3A；〔2〕偶数4k-2(kZ)不属于A.2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.题型三求集合1．方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3*＋y＝2,2*－3y＝27))的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝3,y＝－7))B．{*，y|*＝3且y＝－7}C．{3，－7}D．{(*，y)|*＝3且y＝－7}2．以下六种表示法：①{*＝－1，y＝2}；②{(*，y)|*＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(*，y)|*＝－1或y＝2}．能表示方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2*＋y＝0，,*－y＋3＝0))的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤C．②⑤ D．②⑤⑥3.数集A满足条件：假设a∈A，则eq\f(1＋a,1－a)∈A(a≠1)．假设eq\f(1,3)∈A，求集合中的其他元素.4．*，y，z为非零实数，代数式eq\f(*,|*|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|*yz|,*yz)的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为。题型四利用集合中元素的性质求参数1．集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.3.P＝{*|2＜*＜k，*∈N，k∈R}，假设集合P中恰有3个元素，则实数k的取值围是________.4.集合A＝{*|a*2－3*＋2＝0}.(1)假设A是单元素集合，求集合A；(2)假设A中至少有一个元素，求a的取值围．5.集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A．2 B．3C．0或3 D．0或2或36．(2016·镇海检测)集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.题型五判断集合间的关系设,，则M与N的关系正确的选项是〔〕A.M=NB.C.D.以上都不对2．判断以下集合间的关系：(1)A＝{*|*－3＞2}，B＝{*|2*－5≥0}；(2)A＝{*∈Z|－1≤*<3}，B＝{*|*＝|y|，y∈A}．3．集合M＝{*|*＝m＋eq\f(1,6)，m∈Z}，N＝{*|*＝eq\f(n,2)－eq\f(1,3)，n∈Z}，P＝{*|*＝eq\f(p,2)＋eq\f(1,6)，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.题型六求子集个数1．集合A＝{*|a*2＋2*＋a＝0，a∈R}，假设集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．题型七利用两个集合之间的关系求参数1.集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.2．集合A＝{1,2}，B＝{*|a*－2＝0}，假设B⊆A，则a的值不可能是()A．0 B．1C．2 D．33．设集合A＝{*|－2≤*≤5}，B＝{*|m＋1≤*≤2m－1}.(1)假设B⊆A，数m的取值围；(2)当*∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当*∈R时，不存在元素*使*∈A与*∈B同时成立，数m的取值围．题型八集合间的根本运算1．下面四个结论：①假设a∈(A∪B)，则a∈A；②假设a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③假设a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④假设A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．42．集合M＝{*|－3<*≤5}，N＝{*|*>3}，则M∪N＝()A．{*|*>－3} B．{*|－3<*≤5}C．{*|3<*≤5} D．{*|*≤5}3．集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，则符合条件的集合B的个数是()A．1 B．2C．3 D．44．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{*|(*－2)(*－3)≥0}，T＝{*|*>0}，则S∩T＝()A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)5．以下关系式中，正确的个数为()①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；③(M∪N)⊆N；④假设M⊆N，则M∩N＝M.A．4 B．3C．2 D．16．设U＝{0,1,2,3}，A＝{*∈U|*2＋m*＝0}，假设∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.7．(2016·一中月考试题)全集U＝{*|*≤4}，集合A＝{*|－2<*<3}，B＝{*|－3≤*≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB).8．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁US)∩T＝{4}，(∁US)∩(∁UT)＝{1,5}则有()A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁UTC．3∈∁US,3∈T D．3∈∁US,3∈∁UT题型九根据集合运算的结果求参数1．假设集合A＝{2,4，*}，B＝{2，*2}，且A∪B＝{2,4，*}，则*＝________.2．集合A＝{*|－1≤*＜3}，B＝{*|2*－4≥*－2}.(1)求A∩B；(2)假设集合C＝{*|2*＋a＞0}，满足B∪C＝C，数a的取值围．3．设A＝{*|*2＋8*＝0}，B＝{*|*2＋2(a＋2)*＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，数a的取值围.4．集合A＝{*|*2＋a*＋12b＝0}和B＝{*|*2－a*＋b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，数a，b的值.5．U＝{1,2}，A＝{*|*2＋p*＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________.4．设全集U＝R，集合A＝{*|*≤1或*≥3}，集合B＝{*|k＜*＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁UA)≠∅，则()A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜26．集合A＝{*|*2－a*＋a2－19＝0}，B＝{*|*2－5*＋6＝0}，C＝{*|*2＋2*－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B)∅与A∩C＝∅同时成立.题型十交集、并集、补集思想的应用1．假设三个方程*2＋4a*－4a＋3＝0，*2＋(a－1)*＋a2＝0，*2＋2a*－2a＝0至少有一个方程有实数解，试数a的取值围．题型十一集合中的新定义问题1．假设一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集〞.(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A．7 B．12C．32 D．643．当*∈A时，假设*－1∉A，且*＋1∉A，则称*为A的一个“孤立元素〞，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集〞，假设集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4} B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}4．设U为全集，对集合*，Y定义运算“*〞，**Y＝∁U(*∩Y)，对于任意集合*，Y，Z，则(**Y)*Z＝()A．(*∪Y)∩∁UZ B．(*∩Y)∪∁UZC．(∁U*∪∁UY)∩Z D．(∁U*∩∁UY)∪Z5．设数集M＝{*|m≤*≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{*|n－eq\f(1,3)≤*≤n}，且M，N都是集合{*|0≤*≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{*|a≤*≤b}的“长度〞，则集合M∩N的“长度〞的最小值是________.6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{*|*∈A，且*∉B}.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)A＝{*|*>4}，B＝{*|－6<*<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1．定义域________．2．________完全一致．知识点三区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{*|a≤*≤b}闭区间{*|a<*<b}开区间{*|a≤*<b}半开半闭区间{*|a<*≤b}半开半闭区间

2.特殊区间的表示定义R{*|*≥a}{*|*>a}{*|*≤a}{*|*<a}符号(－∞，＋∞)a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．知识点五分段函数如果函数y＝f(*)，*∈A，根据自变量*在A中不同的取值围，有着不同的________，则称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．知识点六映射的概念设A，B是两个________________，如果按*一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，则就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．知识点七函数的单调性1．增函数、减函数：设函数f(*)的定义域为I，如果对于定义域I*个区间D上的任意两个自变量的值*1，*2，当*1<*2时，都有f(*1)<f(*2)，则就说函数f(*)在区间D上是增函数；当*1<*2时，都有f(*1)>f(*2)，则就说函数f(*)在区间D上是减函数．2．函数的单调性：假设函数f(*)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(*)的单调区间．3．单调性的常见结论：假设函数f(*)，g(*)均为增(减)函数，则f(*)＋g(*)仍为增(减)函数；假设函数f(*)为增(减)函数，则－f(*)为减(增)函数；假设函数f(*)为增(减)函数，且f(*)>0，则eq\f(1,f(*))为减(增)函数．知识点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数y＝f(*)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的*∈I，都有__________(2)存在*0∈I，使得______________(1)对于任意的*∈I，都有________(2)存在*0∈I，使得________结论M是函数y＝f(*)的最大值M是函数y＝f(*)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．知识点九函数的奇偶性1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(*)的定义域任意一个*，都有f(－*)＝f(*)f(－*)＝－f(*)结论函数f(*)是偶函数函数f(*)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在对称的区间上单调性一样，偶函数在对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共局部，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．例1(2016年10月学考)函数f(*)＝ln(*－3)的定义域为()A．{*|*>－3} B．{*|*>0}C．{*|*>3} D．{*|*≥3}例2(2016年4月学考)以下图象中，不可能成为函数y＝f(*)图象的是()例3函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)*，*>1，,－*2－2*＋4，*≤1，))则f(f(3))＝________，f(*)的单调递减区间是________．例4(2015年10月学考)函数f(*)＝eq\f(*＋a＋|*－a|,2)，g(*)＝a*＋1，其中a>0，假设f(*)与g(*)的图象有两个不同的交点，则a的取值围是________．例5函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a*(*<0)，,(a－3)*＋4a(*≥0)))满足对任意的*1<*2都有f(*1)>f(*2)，求a的取值围．例6(2016年4月学考改编)函数f(*)＝eq\f(1,*－1)－eq\f(1,*－3).(1)设g(*)＝f(*＋2)，判断函数g(*)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(*)在2,3)上是增函数．例7(2015年10月学考)函数f(*)＝a*＋eq\f(1,*＋1)＋eq\f(1,*－1)，a∈R.(1)判断函数f(*)的奇偶性，并说明理由；(2)当a<2时，证明：函数f(*)在(0,1)上单调递减．例8(2016年10月学考)设函数f(*)＝eq\f(1,(|*－1|－a)2)的定义域为D，其中a<1.(1)当a＝－3时，写出函数f(*)的单调区间(不要求证明)；(2)假设对于任意的*∈0,2]∩D，均有f(*)≥k*2成立，数k的取值围．一、选择题1．函数f(*)＝eq\r(1－2*)＋eq\f(1,\r(*＋3))的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]2．以下四组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝eq\r(－2*3)与y＝*eq\r(－2*)B．y＝(eq\r(*))2与y＝|*|C．y＝eq\r(*＋1)·eq\r(*－1)与y＝eq\r((*＋1)(*－1))D．f(*)＝*2－2*－1与g(t)＝t2－2t－13．假设函数y＝f(*)的定义域为M＝{*|－2≤*≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(*)的图象可能是()4．f(*)是一次函数，且ff(*)]＝*＋2，则f(*)等于()A．*＋1 B．2*－1C．－*＋1 D．*＋1或－*－15．设集合A＝{*|0≤*≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是()A．f：*→y＝eq\f(1,2)* B．f：*→y＝eq\f(1,3)*C．f：*→y＝eq\f(1,4)* D．f：*→y＝eq\f(1,6)*6．f(*)是奇函数，g(*)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．17．假设函数y＝a*＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D．08．偶函数f(*)(*∈R)满足：f(4)＝f(1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式*·f(*)<0的解集为()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－1,0)C．(－4，－1)∪(1,4)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)二、填空题9．函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)*，*≥0，,\f(1,*)，*<0，))假设f(a)＝a，则实数a＝________.10．设f(*)＝a*2＋b*＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f(*)>0的解集为________．11．假设关于*的不等式*2－4*－a≥0在1,3]上恒成立，则实数a的取值围为________．三、解答题12．函数f(*)＝eq\f(1＋a*2,*＋b)的图象经过点(1,3)，并且g(*)＝*f(*)是偶函数．(1)求函数中a、b的值；(2)判断函数g(*)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．13．二次函数f(*)＝a*2－2a*＋2＋b在区间2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求f(*)的解析式；(2)假设b>1，g(*)＝f(*)＋m*在2,4]上为单调函数，数m的取值围．答案精析知识条目排查知识点一1．确定的不同的全体2．每个对象知识点二1．属于∈2．不属于∉知识点三1．确定性互异性无序性2．(1)有限个(2)无限个3．正整数集有理数集知识点四1．一一列举出来2．共同特征知识点五1．任意一个A⊆BB⊇A*∈B*∉AABBA2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A(3)A⊆C(4)AC3．集合B是集合A的子集(B⊆A)4．如果A＝B,则A⊆B，且B⊆A知识点六1．属于集合A且属于集合B的所有元素{*|*∈A，且*∈B}2．所有属于集合A或属于集合B的元素{*|*∈A，或*∈B}3．B∩AB∪AAA∅AAB4．所有元素U5．不属于集合A∁UA{*|*∈U，且*∉A}题型分类例如例1D例2A∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]例3{4}解析∵全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，∴∁UA＝{4}．例4A∵A∩B＝A，∴A⊆B.∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，∴m＝2，应选A.]例5B由B中不等式变形得(*－2)(*＋4)>0，解得*<－4或*>2，即B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．∵A＝－2,3]，∴A∪B＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)．应选B.]例6C图中的阴影局部是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁IS的子集，则阴影局部所表示的集合是(M∩P)∩∁IS，应选C.]例7AA＝{*|1≤3*≤81}＝{*|0≤*≤4}，B＝{*|log2(*2－*)>1}＝{*|*2－*>2}＝{*|*<－1或*>2}，∴A∩B＝{*|2<*≤4}＝(2,4]．]考点专项训练1．B∵集合A＝{*|1≤*≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5，应选B.]2．C由*2－5*＋6≥0，解得*≥3或*≤2.又集合A＝{*|－1≤*≤1}，∴A⊆B，应选C.]3．D4.C5．A∁UB＝{2,4,5,7}，A∩(∁UB)＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，应选A.]6．A因为全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，所以1,3是集合A中的元素，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝1，,a2＋2＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝3，,a2＋2＝1，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝1，,a2＋2＝3，))得a＝－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＝3，,a2＋2＝1，))得a无解，所以a＝－1，应选A.]7．DA＝{*|*2－8*＋15＝0}＝{3,5}，∵B⊆A，∴B＝∅或{3}或{5}，假设B＝∅时，a＝0；假设B＝{3}，则a＝eq\f(1,3)；假设B＝{5}，则a＝eq\f(1,5).故a＝eq\f(1,3)或eq\f(1,5)或0，应选D.]8．D∵集合A＝{*|*2≥16}＝{*|*≤－4或*≥4}，B＝{m}，且A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≤－4或m≥4，∴实数m的取值围是(－∞，－4]∪4，＋∞)，应选D.]9．{1,2}10．01解析A＝{1，a}，∵*(*－a)(*－b)＝0，解得*＝0或a或b，假设A＝B，则a＝0，b＝1.11．4解析全集U＝{*∈Z|－2≤*≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}，∁UA＝{－2,4}，∵B⊆∁UA，则集合B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}，因此满足条件的集合B的个数是4.12．1，＋∞)解析由*2－*<0，解得0<*<1，∴A＝(0,1)．∵B＝(0，a)(a>0)，A⊆B，∴a≥1.13．3，＋∞)解析由|*－2|<a，可得2－a<*<2＋a(a>0)，∴A＝(2－a,2＋a)(a>0)．由*2－2*－3<0，解得－1<*<3.B＝(－1,3)．∵B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a≤－1，,2＋a≥3))解得a≥3.答案精析知识条目排查知识点一非空数集唯一确定从集合A到集合B{f(*)|*∈A}知识点二1．一样2．对应关系知识点三1．a，b](a，b)a，b)(a，b]知识点五对应关系并集并集知识点六非空的集合任意一个元素*唯一知识点八f(*)≤Mf(*0)＝Mf(*)≥Mf(*0)＝M题型分类例如例1C例2A当*＝0时，有两个y值对应，故A不可能是函数y＝f(*)的图象．]例35－1，＋∞)解析f(3)＝logeq\f(1,3)3＝－1，∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5，当*≤1时，f(*)＝－*2－2*＋4＝－(*＋1)2＋5，对称轴*＝－1，f(*)在－1，1]上递减，当*>1时，f(*)递减，∴f(*)在－1，＋∞)上递减．例4(0,1)解析由题意得f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*，*>a，,a，*≤a，))在平面直角坐标系分别画出0<a<1，a＝1，a>1时，函数f(*)，g(*)的图象，由图易得当f(*)，g(*)的图象有两个交点时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,g(a)>a，))解得0<a<1，a的取值围为0<a<1.例5解由题意知，f(*)为减函数，∴0<a<1且a－3<0且a0≥(a－3)×0＋4a，∴0<a≤eq\f(1,4).例6(1)解∵f(*)＝eq\f(1,*－1)－eq\f(1,*－3)，∴g(*)＝f(*＋2)＝eq\f(1,*＋1)－eq\f(1,*－1)，∵g(－*)＝eq\f(1,－*＋1)－eq\f(1,－*－1)＝eq\f(1,*＋1)－eq\f(1,*－1)＝g(*)，又∵g(*)的定义域为{*|*≠－1且*≠1}，∴y＝g(*)是偶函数．(2)证明设*1，*2∈2,3)且*1<*2，f(*1)－f(*2)＝(eq\f(1,*1－1)－eq\f(1,*1－3))－(eq\f(1,*2－1)－eq\f(1,*2－3))＝eq\f(2(*1－*2)(*1＋*2－4),(*1－1)(*1－3)(*2－1)(*2－3))，∵*1，*2∈2,3)且*1<*2，∴*1－*2<0，*1＋*2－4>0，(*1－1)(*1－3)(*2－1)(*2－3)>0，综上得f(*1)－f(*2)<0，即f(*1)<f(*2)，∴函数f(*)在2,3)上是增函数．例7(1)解因为f(－*)＝－a*＋eq\f(1,－*＋1)＋eq\f(1,－*－1)＝－(a*＋eq\f(1,*－1)＋eq\f(1,*＋1))＝－f(*)，又因为f(*)的定义域为{*∈R|*≠－1且*≠1}，所以函数f(*)为奇函数．(2)证明任取*1，*2∈(0,1)，设*1<*2，则f(*1)－f(*2)＝a(*1－*2)＋eq\f(*2－*1,(*1－1)(*2－1))＋eq\f(*2－*1,(*1＋1)(*2＋1))＝(*1－*2)a－eq\f(1,(*1－1)(*2－1))－eq\f(1,(*1＋1)(*2＋1))]＝(*1－*2)a－eq\f(2(*1*2＋1),(*\o\al(2,1)－1)(*\o\al(2,2)－1))]．因为0<*1<*2<1，所以2(*1*2＋1)>2,0<(*eq\o\al(2,1)－1)(*eq\o\al(2,2)－1)<1，所以eq\f(2(*1*2＋1),(*\o\al(2,1)－1)(*\o\al(2,2)－1))>2>a，所以a－eq\f(2(*1*2＋1),(*\o\al(2,1)－1)(*\o\al(2,2)－1))<0.又因为*1－*2<0，所以f(*1)>f(*2)，所以函数f(*)在(0,1)上单调递减．例8解(1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．(2)当*＝0时，不等式f(*)≥k*2成立；当*≠0时，f(*)≥k*2等价于k≤eq\f(1,[*(|*－1|－a)]2).设h(*)＝*(|*－1|－a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－*[*－(1－a)]，0＜*≤1，,*[*－(1＋a)]，1＜*≤2.))①当a≤－1时，h(*)在(0,2]上单调递增，所以0<h(*)≤h(2)，即0<h(*)≤2(1－a)．故k≤eq\f(1,4(1－a)2).②当－1<a<0时，h(*)在(0，eq\f(1－a,2)]上单调递增，在eq\f(1－a,2)，1]上单调递减，在1，2]上单调递增，因为h(2)＝2－2a≥eq\f((1－a)2,4)＝h(eq\f(1－a,2))．即0<h(*)≤2(1－a)．故k≤eq\f(1,4(1－a)2).③当0≤a＜1时，h(*)在(0，eq\f(1－a,2)]上单调递增，在eq\f(1－a,2)，1－a)上单调递减，在(1－a,1]上单调递减，在1,1＋a)上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增，所以h(1)≤h(*)≤ma*{h(2)，h(eq\f(1－a,2))}且h(*)≠0.因为h(2)＝2－2a>eq\f((1－a)2,4)＝h(eq\f(1－a,2))，所以－a≤h(*)≤2－2a且h(*)≠0.当0≤a＜eq\f(2,3)时，因为|2－2a|＞|－a|，所以k≤eq\f(1,4(1－a)2)；当eq\f(2,3)≤a＜1时，因为|2－2a|≤|－a|，所以k≤eq\f(1,a2)，综上所述，当a<eq\f(2,3)时，k≤eq\f(1,4(1－a)2)；当eq\f(2,3)≤a<1时，k≤eq\f(1,a2).考点专项训练1．A要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2*≥0，,*＋3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*≤0，,*>－3.))故－3<*≤0.即函数的定义域为(－3,0]，应选A.]2．D在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同；在B选项中，前者的定义域*≥0，后者的*∈R，定义域不同；在C选项中，前者定义域为*>1，后者为*>1或*<－1，定义域不同；在D选项中，两个函数是同一个函数，应选D.]3．B4．Af(*)是一次函数，设f(*)＝k*＋b，ff(*)]＝*＋2，可得k(k*＋b)＋b＝*＋2，即k2*＋kb＋b＝*＋2，k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1.则f(*)＝*＋1，应选A.]5．8．D求*