三角函数应用讲义

锐角三角函数精析精练一、知识梳理三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C=，SinA=，cosA=，tanA=例1：已知在中，∠C为直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A=．例2：在中，，分别是的对边，若，则．例3：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（）ABO图3A．eq\f(\r(21),5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(\r(21),2)D．eq\f(5,2)ABO图3ACACB图1图2例4：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为___cm.例5：正方形网格中，如图3放置，则的值为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.特殊角的三角函数值：度度数三角函数SinαCosαtanα例6：若，则的余角是°，．例7：如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例8：的值等于（）A. B. C. D.1例9：因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（）A． B． C． D．3.锐角三角函数的应用MNBA例10：《中华人民共和国道路交通管理条理》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米/时．”如图所示，已知测速站到公路的距离为30米，一辆小汽车在公路上由东向西行驶，测得此车从点行驶到点所用的时间为2秒，并测得，．计算此车从到的平均速度为每秒多少米（结果保留两个有效数字），并判断此车是否超过限速．（参考数据：，）MNBA二、巩固练习（一）选择题：1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，则（） A. B. C. D.2.已知为锐角，且，则等于（）A．B．C．D．3.如图，已知直角三角形的斜边长为，，则直角边的长是（）ABOA． B． C． D．ABO4.正方形网格中，如图放置，则=（）A． B．C．D．5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（）A． B． C． D．68CEABD（第6题）6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点68CEABD（第6题）A． B． C． D．（第7题）7.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，（第7题）又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米（二）填空题：DBCADBCA60121231231Oxy9．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB底部相距6m的C处，量出测倾器的高度CD＝1m，测得旗杆顶端B的仰角＝60°，则旗杆AB的高度为．（计算结果保留根号）10.如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60米，则楼的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，）11.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB=.（三）解答题：12.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°，∠BCD=60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据≈1.4，≈1.7)MNBOADOC30°45°13.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）MNBOADOC30°45° 14.小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC为80°(O为AB中点)．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长．(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm．)AABCO15.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：）16．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移（如图31—3—3所示），距沙尘暴中心300km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？17．如图31—3—4，为了测量电视塔AB的高度，在C、D两点测得塔顶A的仰角分别为30°，45°。已知C、D两点在同一水平线上，C、D间的距离为60米，测倾器CF的高为1.5米，求电视塔AB的高。（精确到0.1米）18.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向68海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N处，求这只船航行的速度。19．如图31—3—6，为了测量河的宽度，东北岸选了一点A，东南岸选相距200m的B、C两点测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度。（精确到0.1m）20.为建一座桥，施工时，需求出B、C两地的距离，如图31—3—12，现测得A到BC的距离是h，∠ABC＝，∠ACB＝，试确定BC的距离。21.如图31—3—10，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面25米远处测得塔顶A的仰角为60°，塔底B的仰角为30°，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到0.1米）22.（昆明市初中数学竞赛试题）如图31—3—20海中一小岛A在周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B测得小岛A在北偏东60°方向，航行12海里后到达D，这时测得小岛A在北偏东30°方向，如渔船不改变航向，有没有触礁的危险？23.（2013湖南娄底，20，7分）如图9，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG30，在E处测得∠AFG60，CE8米，仪器高度CD1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）.AGBAGBFECD306024.(2013重庆，20，6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号）25.（2013浙江省温州市，21，9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线（如图）。救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号。他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C处入海，径直向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去。若CD=40米，B在C的北偏东方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到达B处？请说明理由。（参考数据：）26.（2011山东省潍坊市，题号20，分值10）20、(本题满分10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°(1)求AB的长（精确到0.1米，参考数据：，）(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.（1）AD=36.33BD=`12.11AB=24.2(2)该车速度43.56＞40所以超速（2013四川攀枝花，19，6分）（6分）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）(2013山东省聊城，22，8分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1（2013山东泰安，13，3分）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30º，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60º，则物体的高度为（）A.10米B.10米C.20米D.（2013浙江丽水，19，6分）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.（2013湖北随州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（，结果精确到米）。（2013四川内江，18，9分）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE的坡度．AABCD图9E（2013湖南衡阳市，24，6）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）（2013呼和浩特，22，6分）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高