三角函数的诱导公式及练习与答案

新梦想教育个性化辅导授课案教师：学生：时间：__年__月日段第__次课授课目的:1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.授课内容：1、任意角和弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的诱导公式教学计划：一．问题引入：角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题。求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(+2kπ)=sinα，cos(+2kπ)=cosα，tan(+2kπ)=tanα(k∈Z)。(公式一)二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π与角的终边关于y轴对称,有sin(π)=sin，cos(π)=cos，（公式二）tan(π)=tan。因为与角终边关于y轴对称是角π-，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。于是，我们就得到了角π与角的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。三．自主探究问题：两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角与角的终边关于x轴对称，有：sin()=sin，cos()=cos，（公式三）tan()=tan。角π+与角终边关于原点O对称，有：sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，（公式四）tan(π+)=tan。上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。结论：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．四．简单应用例1：求值：sin225°、cos、sin(－)、cos（－）、tan（－855°）练习：利用公式求下列三角函数值：(1)sineq\f(7,6)；(2)cos(60°)；（3）（4）；（5）；（6）．例2：化简对公式应用的总结：利用公式一到四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：五．学生自主探究：公式五：；；公式六：；；并证明；深化对公式的理解：1.要求学生观察公式五到六的特点，并用简洁的语言概括公式五到六；2.得出结论：的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．例3.证明：（1）；（2）．例4.化简：（1）；（2）．三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（）A．－+2kπ≤x≤+2kπB．－+2kπ≤x≤+2kπC．+2kπ≤x≤+2kπD．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）2．sin（－）的值是（）A． B．－ C． D．－3．下列三角函数：①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）．其中函数值与sin的值相同的是（）A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤4．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（）A．－ B． C．－ D．5．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanC D．sin=sin6．函数f（x）=cos（x∈Z）的值域为（）A．{－1，－，0，，1} B．{－1，－，，1}C．{－1，－，0，，1} D．{－1，－，，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则=_________．8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．三、解答题9．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．10．证明：．11．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．12．化简：．13、求证：=tanθ．14．求证：（1）sin（－α）=－cosα；（2）cos（+α）=sinα．参考答案1一、选择题1．C2．A3．C4．B5．B6．B二、填空题7．－sinα－cosα8．三、解答题9．+1．10．证明：左边==－，右边=，左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ．∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα=．12．解：=====－1．13．证明：左边==tanθ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin（－α）=sin［π+（－α）］=－sin（－α）=－cosα．（2）cos（+α）=cos［π+（+α）］=－cos（+α）=sinα．三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A.B.—C.D.—2．cos(+α)=—，<α<,sin(-α)值为（）A.B.C.D.—3．化简：得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（）A.sinα=sinβB.sin(α-)=sinβC.cosα=cosβD.cos(-α)=-cosβ5．设tanθ=-2,<θ<0，那么sinθ+cos(θ-)的值等于（），A.（4+）B.（4-）C.（4±）D.（-4）二、填空题：6．cos(-x)=，x∈（-，），则x的值为．7．tanα=m，则．8．|sinα|=sin（-+α），则α的取值范围是．三、解答题：9．．10．已知：sin（x+）=，求sin（+cos2（-x）的值．11．求下列三角函数值：（1）sin；（2）cos；（3）tan（－）；12．求下列三角函数值：（1）sin·cos·tan；（2）sin［（2n+1）π－］.13．设f（θ）=，求f（）的值.参考答案21．C2．A3．C4．C5．A6．±7．8．[(2k-1),2k]9．原式===sinα10．11．解：（1）sin=sin（2π+）=sin=.（2）cos=cos（4π+）=cos=.（3）tan（－）=cos（－4π+）=cos=.（4）sin（－765°）=sin［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－.注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin·cos·tan=sin（π+）·cos（4π+）·tan（π+）=（－sin）·cos·tan=（－）··1=－.（2）sin［（2n+1）π－］=sin（π－）=sin=.13．解：f（θ）======＝cosθ－1，∴f（）=cos－1=－1=－.三角函数公式同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1EQ\F(sinα,cosα)=tanαtanαcotα=1诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(EQ\F(π,2)－α)＝cosαsin(EQ\F(π,2)+α)＝cosαcos(EQ\F(π,2)－α)＝sinαcos(EQ\F(π,2)+α)＝-sinαtan(EQ\F(π,2)－α)＝cotαtan(EQ\F(π,2)+α)＝-cotαsin(EQ\F(3π,2)－α)＝-cosαsin(EQ\F(3π,2)+α)＝-cosαcos(EQ\F(3π,2)－α)＝-sinαcos(EQ\F(3π,2)+α)＝sinαtan(EQ\F(3π,2)－α)＝cotαtan(EQ\F(3π,2)+α)＝-cotαsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=EQ\F(tanα+tanβ,1－tanαtanβ)tan(α－β)=EQ\F(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α=EQ\F(2tanα,1－tan2α)公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝EQ\F(1＋cos2α,2)sin2α＝EQ\F(1－cos2α,2)正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝EQ\F(2tanα,1+tan2α)cos2α＝EQ\F(1－tan2α,1+tan2α)tan2α＝EQ\F(2tanα,1－tan2α)插入辅助角公式asinx＋bcosx=EQ\R(,a2+b2)sin(x+φ)(tanφ=EQ\F(b,a))特殊地：sinx±cosx＝EQ\R(,2)sin(x±EQ\F(π,4))熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx1±sinx1±cosxtanx＋cotxEQ\F(1－tanα,1＋tanα)EQ\F(1＋tanα,1－tanα)若A、B是锐角，A+B＝EQ\F(π,4)，则（1＋tanA）(1