2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．13．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣14．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（）A． B． C． D．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1 B． C． D．7．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差（多选）10．（5分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2（多选）11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（）A．f（0）＝0 B．f（1）＝0 C．f（x）是偶函数 D．x＝0为f（x）的极小值点（多选）12．（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．14．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为．15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．19．（12分）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+．20．（12分）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．21．（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）＝．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．22．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}【分析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知z＝，则z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．1【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1【分析】由已知求得+λ与+μ的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．5．（5分）设椭圆C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝（）A． B． C． D．【分析】利用椭圆C2：+y2＝1的方程可求其离心率e2，进而可求e1，可求a．【解答】解：由椭圆C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴椭圆C2的离心率为e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故选：A．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1 B． C． D．【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．7．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{an}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，则cos（2α+2β）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后结合二倍角公式可求．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故选：B．【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．【解答】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于，x1，x2，⋯，x6的中位数等于，B正确；C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，x1，x2，⋯，x6的方差×[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]＝，x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝，，∴s1＞s2，C错误．D选项，x6＞x5，x2＞x1，∴x6﹣x1＞x5﹣x2，D正确．故选：BD．【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．（多选）10．（5分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2【分析】根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．【解答】解：由题意得，60≤20lg≤90，1000p0≤p1≤p0，50≤20lg≤60，1p0≤p2≤1000p0，20lg＝40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正确；p2≤10p3＝1000p0，B错误；p3＝100p0，C正确；p1≤p0＝100×1p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．（多选）11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（）A．f（0）＝0 B．f（1）＝0 C．f（x）是偶函数 D．x＝0为f（x）的极小值点【分析】在已知等式中，取x＝y＝0判断A；取x＝y＝1判断B；求出f（﹣1），再取y＝﹣1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．（多选）12．（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【分析】对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于B，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断．【解答】解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；对于B，如图，正方体内部最大的正四面体D﹣A1BC1的棱长为，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的体对角线为，选项C错误；对于D，如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形EFGHIJ棱长为米，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为米，而，选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）．【分析】利用分类计数原理进行计算即可．【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有+＝24+24＝48，综上共有16+48＝64种不同的方案．故答案为：64．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．14．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为．【分析】先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．【解答】解：如图，设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，过A1作A1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A1M＝HN＝，又AN＝，∴AH＝AN﹣HN＝，又AA1＝，∴A1H＝MN＝，∴该四棱台的体积为×（1+4+）×＝．故答案为：．【点评】本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）．【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2≤2π＜，所以2≤ω＜3．故答案为：[2，3）．【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝﹣，则C的离心率为．【分析】（法一）设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），根据题意可得点A的坐标，进一步得到，再由⊥，可得n2＝4c2．结合点A在双曲线上，可得解；（法二）易知，设，∠F1AF2＝θ，解三角形可知5c2＝9a2，进而得解．【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则，又，则，可得，又⊥，且，则，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则，整理可得，代n2＝4c2，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设∠F1AF2＝θ，则，所以，解得t＝a，所以，在△AF1F2中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，则．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【分析】（1）由三角形内角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，设AB边上的高为h，则＝，∴＝，解得h＝6，即AB边上的高为6．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．【分析】（1）建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．【解答】解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴，，∴，又B2，C2，A2，D2四点不共线，∴B2C2∥A2D2；（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t∈[0，4]，又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴，，，设平面PA2C2的法向量为，则，取，设平面A2C2D2的法向量为，则，取，∴根据题意可得|cos150°|＝|cos＜，＞|＝，∴，∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]，∴解得t＝1或t＝3，∴P为B1B2的中点或B2B的中点，∴B2P＝1．【点评】本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+．【分析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调性；（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（ln）＝1+a2+lna，要证f（x）＞2lna+，只需证1+a2+lna＞2lna+，只需证＞0，设g（a）＝，a＞0，求导可得g（x）min＝g（）＞0，从而证得f（x）＞2lna+．【解答】解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x，则f'（x）＝aex﹣1，①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x＝，当x∈（﹣∞，ln）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（ln）＝a（+a）﹣ln＝1+a2+lna，要证f（x）＞2lna+，只需证1+a2+lna＞2lna+，只需证＞0，设g（a）＝，a＞0，则g'（a）＝2a﹣＝，令g'（a）＝0得，a＝，当a∈（0，）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，所以g（a）≥g（）＝﹣＝﹣ln＞0，即g（a）＞0，所以＞0得证，即f（x）＞2lna+得证．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．20．（12分）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．【分析】（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则，且d＝t＞1；或设an＝k（n+1），则，且d＝k＞1，再分类讨论，建立方程，即可求解．【解答】解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，∴根据题意可得，∴，∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn＝，∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则，且d＝t＞1；或设an＝k（n+1），则，且d＝k＞1，①当an＝tn，，d＝t＞1时，则S99﹣T99＝﹣＝99，∴，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，∴解得d＝t＝；②当an＝k（n+1），，d＝k＞1时，则S99﹣T99＝＝99，∴，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，∴此时k无解，∴综合可得d＝．【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题．21．（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）＝．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，构造得Pn+1﹣＝0.4（Pn﹣），结合等比数列的定义可得{Pn﹣}是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；（3）由（2）得Pi＝+×（）i﹣1，当n∈N*时，E（Y）＝P1+P2+...+Pn，求解即可得出答案．【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，