勾股定理的应用

14.2勾股定理的应用第14章勾股定理情境引入学习目标1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点）

如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)导入新课问题情境ABC分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.ABC解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得答:爬行的最短路程约为10.77cm.ABC把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.

例1

如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm)讲授新课勾股定理的应用一ABAB101010BCA解：最短路程即为长方形的对角线AB,答：爬行的最短路程约是22.36cm,

例2

如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ABCDB1C1D1A1分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.ABCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1321ABCB1C1A1321ADD1A1B1C1

(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为解:AAB＝≈4.24（cm）.＝BCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为AAB＝≈5.10（cm）.＝BCDB1C1D1A1321ABCB1C1A1(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为AAC1＝≈4.47（cm）.＝BCDB1C1D1A1321ADD1A1B1C1∴最短路程约为4.24cm.∵4.24＜4.47＜5.10，例三

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？20.30.2ABABC2m(0.2×3＋0.3×3)m例3

一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由.

ABCD2米2.3米CD＝CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).答：卡车能通过厂门．解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由勾股定理，得ABMNOC┏DH2米2.3米1.如图，已知CD＝6cm，AD＝8cm，∠ADC＝90o，BC＝24cm，AB＝26cm，求阴影部分面积.当堂练习解：在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）

=82+62=100，∴AC=10.∵AC2+BC2=102+242=676=262，∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD=120-24=96.

2.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCDE∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)证明：过A作AE⊥BC于E.∵AB=AC，∴BE=CE.在Rt

△ADE中，AD2=AE2+DE2.在Rt

△ABE中，AB2=AE2+BE2.=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD.试一试：

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC选作：

1.如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.356ACDEBF已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.已知：如图，在中，，

是

边上的中线，

于点E，

求证：

.如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中