新教材2023-2024学年高中数学第6章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课件新人教B版必修第二册

第六章6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.了解数乘向量的概念并理解其几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.会利用向量的加法、减法与数乘向量进行线性运算.基础落实·必备知识全过关知识点1

数乘向量1.数乘向量的定义一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:①当λ>0时,与a的方向

;

②当λ<0时,与a的方向

.

(2)当λ=0或a=0时,λa=

.

上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.相同

相反02.数乘向量的定义说明,如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.若,则A,B,C三点共线.3.数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.名师点睛对数乘向量的理解(1)实数与向量可以求乘积,但不能将实数和向量进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.(2)若λa=0,则λ=0或a=0.(3)对于非零向量a,表示a方向上的单位向量.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于任意的向量a,总有0a=0.(

)(2)当λ>0时,|λa|=λa.(

)(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.(

)×××2.已知向量a=-2e,b=(e为单位向量),则向量a与向量b(

)A.不共线 B.方向相反C.方向相同 D.|a|>|b|B知识点2

向量的运算律1.λ(μa)=

.

2.λa+μa=

.

3.λ(a+b)=

.(其中λ,μ∈R)

名师点睛向量的运算律的理解要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.(λμ)a(λ+μ)aλa+λb过关自诊(多选题)[2023贵州黔西高一]已知实数m,n和向量a,b,下列结论正确的是(

)A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=b D.若ma=na(a≠0),则m=nABD

解析

易知A,B正确;对于C,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;对于D,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正确.故选ABD.知识点3

向量的线性运算向量的

以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.

名师点睛对向量的线性运算的理解(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题过程.(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法.加法、减法、数乘向量过关自诊1.化简(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是(

)A.2a-b

B.2b-aC.b-a

D.a-b2.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=

.

B解析

原式=[(1-4)a+(4+2)b]=-a+2b.故选B.4b-3a解析

3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.重难探究·能力素养全提升探究点一数乘向量的概念【例1】

(1)已知非零向量a,b满足a=4b,则(

)A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反C解析

∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.C(3)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则实数x的取值范围为

.

解析

由定义可知2x-1>0,即x>.规律方法

经过数乘向量运算得到的向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.

解

(1)正确.∵2>0,∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.(2)正确.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.∵-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.∴-2a与5a反向,且|-2a|=|5a|.(3)正确.-2a+2a=0.(4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)错误.0a=0,0与任意向量共线.探究点二向量的线性运算【例2】

化简下列各式:(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).解

(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.规律方法

数乘向量运算的方法总结(1)数乘向量运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.由①×3+②×2得,x=3a+2b,代入①得3×(3a+2b)-2y=a,解得,y=4a+3b.所以x=3a+2b,y=4a+3b.探究点三用已知向量表示未知向量D变式探究本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,其余条件不变,试用a,b表示规律方法

用已知向量表示未知向量的策略用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形间的关系,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.探究点四三点共线问题规律方法

用向量共线的条件证明三点共线的方法证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公