新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理4.4二项式定理第1课时二项式定理课件湘教版选择性必修第一册

第4章4.4第1课时二项式定理课标要求1.能用计数原理证明二项式定理;2.理解二项式定理及其特征,能用通项公式解决与二项展开式有关的简单问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点二项式定理及相关的概念二项式定理概念

a,b可以是数,也可以是代数式公式(a+b)n=____________________________________

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+)称为二项式定理

二项展开式(0≤r≤n,r∈N,n∈N+)二项式系数各项的系数

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数

仅与指数n有关的组合数,与a,b无关二项式定理二项展开式的通项

叫作二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)备注在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+)名师点睛1.二项展开式的特征:(1)展开式共有(n+1)项;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n;(3)字母a的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0,字母b的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1直到为n.2.二项展开式的通项的特点:(1)表示(a+b)n的展开式的第(r+1)项,该项的二项式系数为

;(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同;(3)a和b的次数之和为n.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)(a+b)n展开式中共有n项.(

)(3)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.(

)2.二项展开式中某项的二项式系数与该项的系数相同吗?××√提示不一定相同.二项展开式中第(r+1)项的二项式系数是

,该系数只与n,r的值有关,而展开式的系数是除字母外的其余部分,它不但包含正负号而且还与a,b的系数有关.重难探究·能力素养全提升探究点一二项展开式的理解分析

由于(1)中二项式的指数为5,且为两项的和,因此可利用指数幂的运算法则及二项式定理的特征展开,对于(2)结合已知关系式,可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.规律方法

1.对于二项式的展开可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征.2.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.3.对于化简含多个式子的和的问题时,首先根据公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数,考虑是否满足二项式的特征,逆用二项式定理求解.变式训练1(1)求(a+2b)4的展开式;探究点二利用二项式定理求待定项及系数【例2】已知在()n的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析

利用二项展开式的通项及第6项为常数项计算出n的值,结合n的值,依次求(2),(3).解

(1)由二项展开式的通项知,展开式中第r+1项为

∵第6项为常数项,∴r=5,且n-5×2=0,∴n=10.规律方法

求二项展开式的特定项的常用方法求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项

的特点,一般需要建立方程求r,再将r的值代回通项求解,注意r的取值范围(r∈N,0≤r≤n).常见方法如下:项的特征求解方法第m项令r+1=m,直接代入通项常数项令通项中字母的指数为0,建立方程有理项令通项中字母的指数为整数,建立方程[提醒]二项展开式的通项是展开式的第r+1项.二项式定理问题中,使用通项

,解题时要注意通项表示的是第r+1项,而不是第r项,通项中a和b的位置不能颠倒.变式训练2已知(2x+)n展开式中前三项的二项式系数和为16.(1)求n的值;(2)求展开式中含x2的项的系数.探究点三

形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的展开式的项

【例3】求(1-x)5(1-2x)6展开式中x3的系数.规律方法

求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的展开式中与特定项相关的量的步骤:第一步,根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.变式训练3求(x+3)(x-1)7的二项展开式中x5的系数.解

(x+3)(x-1)7的展开式中x5项由两部分相加得到.(x+3)中的常数项与(x-1)7展开式中的x5项;(x+3)中的x项与(x-1)7展开式中的x4项.探究点四二项式定理在整除问题中的应用【例4】试判断7777-1能否被19整除.分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定理展开.规律方法

利用二项式定理证明或判断整除问题的一般步骤:(1)变形,将幂底数写成两数之和,其中一个数是除数的倍数;(2)展开,将变形后的式子按二项式定理展开;(3)判断,判断或证明展开式中各项均能被除数整除;(4)得出结论.变式训练49192被100除所得的余数为

.

81则前91项均能被100整除,后两项和为-919.因为余数为正,故9192被100除可得余数为81.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8

281,显然8

281除以100所得余数为81.本节要点归纳1.知识清单:二项式定理、二项展开式通项、二项式系数.2.方法归纳:利用二项式通项求展开式的特定项,分类讨论形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的展开式中的特定项.3.注意事项:是二项展开式的第r+1项,二项展开式的系数与二项式系数是不同的概念,只有(a+b)m中二项展开式的系数与二项式系数才相等.学以致用·随堂检测全达标1234561.(x+2)n的二项展开式共有12项,则n=(

)A.9 B.10

C.11 D.8C解析

因为(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,所以n=11,故选C.1234562.(x+1)6的二项展开式中,第二项为(

)A.6x

B