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第2章培优课对称问题的解法1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是(
)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)C12345678910111213141516172.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是(
)A.()
B.(-1,2)C.(-1,6) D.(-1,-6)D解析
由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A'(x,y),则
12345678910111213141516173.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是(
)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)B12345678910111213141516174.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是(
)A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6)A解析
设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此
=4,得a=6.故所求对称点是(6,5).12345678910111213141516175.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(
)A.(5,2) B.(-5,-2)C.(-2,-5) D.(5,-2)B解析
设对称点P'(m,n),故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2).12345678910111213141516176.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是
.
2x-y+8=0解析
直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行.设所求直线的方程为2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直线方程为2x-y+8=0.12345678910111213141516177.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是
.
2x+3y+8=0解析
在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.12345678910111213141516178.求直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程.解
设M(x,y)是所求直线上的任意一点,则其关于y轴的对称点为M'(-x,y)在直线l:2x-3y+1=0上,即为-2x-3y+1=0,整理得2x+3y-1=0.故与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为2x+3y-1=0.1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为(
)A.(7,6) B.(4,7)C.(6,-7) D.(6,6)D123456789101112131415161710.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(
)A.y=3x-18 B.y=-3x-12C.y=3x+12 D.y=-3x+18A解析
根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上.由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上.则kM'N==3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.123456789101112131415161711.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(
)A.5x-2y+7=0B.3x+y-1=0C.3x-2y+4=0D.2x-y-3=0A1234567891011121314151617解析
根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点为A'(-3,-4),点D(-1,6)关于y轴的对称点为D'(1,6),则BC所在直线的方程即为A'D'所在直线的方程.由两点式方程,得直线A'D'的方程为
1234567891011121314151617A1234567891011121314151617因为点P(x,1)在直线y=1上运动,作点B(1,0)关于直线y=1的对称点B1,则B1(1,2),123456789101112131415161713.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是
.
123456789101112131415161714.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是
.
(6,7)解析
由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2.设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),123456789101112131415161715.已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=0对称.(1)求B点的坐标;(2)一条光线沿直线l:x-y+4=0入射到直线l0后反射,求反射光线所在的直线方程.解
(1)设B(a,b),所以B点坐标为(-2,0).1234567891011121314151617(2)设反射光线所在的直线为l'.因为点A在直线l上,所以点B在直线l'上.设l与l0的交点为P,y=7x+14.故反射光线所在的直线方程为y=7x+14.123456789101112131415161716.在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0.(1)求点B的坐标;(2)求△ABC的边BC所在直线的方程.12345678910111213141516171234567891011121314151617C级学科素养创新练17.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q
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