【高中数学】n次方根与分数指数幂同步课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章

指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂人教A版2019必修第一册

教学目标1.理解n次方根、根式的概念.（数学抽象）2.运用根式运算性质化简求值.（数学运算）3.

根式和分数指数幂互化.（数学运算）4.运用有理数指数幂的运算性质进行计算.（数学运算）良渚遗址情景导入考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定,古城存在时期为公元前3300年~前2500年,你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?指数函数正整数指数幂：

复习回顾（1）

；（2）

；（3）

.正整数指数幂的运算性质：如果x3=a，那么x叫做a的三次方根/立方根如果x2=a，那么x叫做a的二次方根/平方根如果x4=a，那么x叫做a的四次方根……如果x5=a，那么x叫做a的五次方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根n次方根的定义若xn=a，(n=2,3,4……)那么x叫做a的n次方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根如果x2=a，那么x叫做a的平方根如果x4=a，那么x叫做a的四次方根……如果xn=a，那么x叫做a的n次方根x如何用a表示呢？如果x5=a，那么x叫做a的五次方根aa的平方根490-4-9aa的立方根2780-8-27aa的五次方根3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2aa的四次方根81160-16-81±3±20什么是根式？【定义】式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

根指数被开方数

根据n次方根的定义，可得：，比如：

【1】一般读作“n次根号a”

【2】当a＜0且n为偶数时，在实数范围

内没有意义.【3】当

有意义时，是一个实数，且

它的n次方等于a.

【探究】表示的n次方根，

一定成立吗？

【结论】①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

是实数的n次方根，恒有意义，不受

的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于，当n为奇数时，；当n为偶数时，

是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于.

例

求下列各式的值:（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）（2）（3）（4）注意符号典例分析根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.解：根据根式的意义进行求解．1.2.3.求下列各式的值1.；2.;3.．变式练习什么是分数指数幂？【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道

，也就是说，当根式的被开方数(看

成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.

【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为

分数指数幂的形式呢？【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把写成下列形式：

我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用.

【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.

我们规定，

例如，

我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.不可以.显然不是半个相乘，它的实质是根式的另一种写法，如.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同【问题1】可以理解为个相乘吗？

【问题2】分数指数能约分吗？不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义.

例1、求值例2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):根式转化分数指数幂归纳方法：底数写成指数幂的形式例3、计算下列各式（式中字母都是正数）例4、计算下列各式整体思想处理根式转化分数指数幂思考：若10x=2，10y=3，则

。=-2310yx化简课本107页第1、2、3题课堂练习课堂小结⑴.当n为任意正整数时，()n=a;⑵.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=