专题12全等三角形的判定

专题12全等三角形的判定★知识点1：全等三角形的判定SSSSSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.典例分析【例1】（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．【答案】见解析【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．【详解】证明：是的中点，，在和中，，【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．【例2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在和中，，，D、分别是BC、的中点，且．求证．【答案】答案见解析【分析】根据D、分别是BC、的中点得到，之后依据，，，即可判定，再根据，，，可判，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】证明：，分别是和△的中线，，，在和中，，（SSS），，在和中，，（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是能证明出．【即学即练】1．（2023春·云南·九年级专题练习）已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：(1)△AEC≌△BFD(2)DE=CF【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由线段的和差可得AC=BD，继而利用“SSS”即可求证结论；（2）由（1）可知∠A=∠B，继而利用“SAS”求证△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质即可求证结论．【详解】（1）证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（SSS），（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质，解题的关键是能够根据已知条件和隐藏条件正确选择全等三角形的判定方法．2．（2018秋·八年级课时练习）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明．【答案】△ABC≌△AED,证明见解析.【分析】由BD=CE，得到BC=ED，根据“边、边、边”判定定理可得△ABC≌△AED．【详解】解：△ABC≌△AED.证明：∵BD＝CE，∴BC＋CD＝CD＋DE，即BC＝ED.在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED(SSS)【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证得BC=ED是解题的关键．★知识点2：全等三角形的判定SASSAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A，B，C，D在同一直线上，．求证：．【答案】见解析【分析】先利用线段的加减证得，即可用“”证明三角形全等．【详解】∵，∴即，在和中，，∴．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键．【例2】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【分析】用边角边定理进行证明即可．【详解】解：即：在和中【点睛】本题考查全等三角形的判定．本题解题关键在于找到条件用角边角定理进行证明．即学即练1．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，，，与全等吗？为什么？【答案】，理由见解析．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：．理由：在和中，因为，，，所以．【点睛】本题主要考查三角形全等，牢固掌握三角形判定定理是解题关键．2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，和中，，连接，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明可得出结论；（2）根据可得，再根据证明可得出结论．【详解】（1）证明：，又，，，∴；（2）证明：，，即，又，，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．★知识点3：全等三角形的判定ASA或AAS此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.典例分析【例1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．(1)求证：；(2)若，求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；（2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得的长度．【详解】（1）解：证明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：由（1）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴的长度是．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键．【例2】（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）如图，，，，，垂足分别是，．(1)求证：；(2)猜想线段，，之间具有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析．(2)，理由见解析．【分析】（1）先求得，根据可求得，进而可求得答案．（2）根据（1）的结论可知，，结合即可求得答案．【详解】（1）∵，，∴．∵，∴．在和中∴．（2）∵，∴，．∴．∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法（两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等）是解题的关键．即学即练1．（2023秋·全国·八年级专题练习）在和中，点在边上，，，，求证：．【答案】见解析．【分析】根据“”即可判断．【详解】∵，∴，即：，在和中，，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，并证得．2．（2023春·湖南株洲·八年级统考开学考试）如图，已知点、、、在同一直线上，，，．(1)求证：；(2)，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换可得，再利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质计算即可．【详解】（1）解：，，，，即．在和中，，．（2），，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．★知识点4全等三角形的判定HLHL只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.典例分析【例1】（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在四边形中，，；，，垂足分别为E，F．(1)求证：；(2)若与交于点O，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由，可得，利用即可求证结论．（2）由（1）可得，进而可证，进而可证，进而可证四边形是平行四边形，由此结论可证．【详解】（1）证明：，，，在和中，，．（2）证明：由（1）可得，，，四边形是平行四边形，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键．【例2】．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，点C在BE上，，且，交于点F．(1)的长度．(2)的度数．【答案】(1)7(2)【分析】（1）首先证明出，进而得到，，然后利用线段的和差求解即可；（2）首先根据得到，然后利用同角的余角相等求解即可．【详解】（1）∵∴∵∴∴，∴；（2）∵∴∵∴∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．即学即练1．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知，，，点E在上，点F在的延长线上．求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，即可证明．【详解】证明：在与中，，．∴，即，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定条件有．2.（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．【答案】见解析【分析】利用“”证明即可得到：．【详解】解：证明：是边的中点，，又，，，又∵，在和中，．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单．★知识点5全等三角形的判定综合应用判定方法的选择1、选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.典例分析【例1】（2021秋·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用ASA证明△AED≌△FEC即可；（2）根据题意，，根据计算即可．【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE，∵∠AED=∠FEC，DE=CE，∴△AED≌△FEC，∴FC=AD；（2）∵△AED≌△FEC，∴，AE=EF，∴，∴====．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，割补法计算图形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，灵活运用割补法计算面积是解题的关键．【例2】（2021秋·全国·八年级专题练习）证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：在和中，，，与分别为，边上的中线且．求证：．请补全已知和求证部分，并写出证明过程．【答案】；，见解析【分析】本题利用直角三角形全等的条件找出相应条件写出已知进行求证即可．【详解】；（写成也对）证明：，，，，．与分别为与边上的中线，点和点分别是与的中点，，，，又，，．【点睛】此题利用图形考查了直角三角形全等的条件，难度一般，对定理的理解是关键．即学即练1．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【答案】（1）见解析；（2）△ABC≌△DBE；△ABG≌△EBH；△DBH≌△CBG；△DFG≌△CFH【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC=DE；（2）由（1）得△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D，∠C=∠E，AB=DB，BC=BE，∴AB=BE，∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠A=∠E，在△ABG与△EBH中，∴△ABG≌△EBH（ASA），∴BG=BH，在△DBH与△CBG中，∴△DBH≌△CBG（SAS），∴∠D=∠C，∵DB=CB，BG=BH，∴DG=CF，在△DFG与△CFH中，，∴△DFG≌△CFH（AAS）．【点睛】此题考查了及全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理正确推理论证是关键．2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．（1）求证：≌；（2）求证：；（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析．【分析】（1）根据和是等边三角形，得到边角关系，即，，，根据等式性质得到，最后利用证明全等即可；（2）根据≌，可知对应角，又因为，等量代换可知，进而得到；（3），由是等边三角形，点为的中点，根据三线合一可知，再根据≌，进而得到，最后可求得的度数．【详解】（1）和是等边三角形；，，，，即，在与中，≌；（2）≌，；，，；（3），理由如下：是等边三角形，点为的中点，，，，，，≌，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识点，准确的运用这些性质是解题的关键．★知识点6尺规作图作一个角等于已知角已知：∠AOB。求作：∠A’O’B’使∠A’O’B’=∠AOB。作法与示范：（1）作射线O’A’（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C’（4）以点C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’；（5）过点D’作射线O'B’∠A'O'B'就是所求作的角.典例分析【例1】（2023春·广东深圳·七年级深圳中学校考期中）问题探究：尺规作图：作一个角等于已知角．如图①，已知：．求作：，使．(1)作法：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D；步骤2：作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与步骤2中所画的弧相交于点；步骤4：过点画射线，则．根据以上作图和求证过程完成以上填空：(2)实践应用：如图，点P为的边上一点，①求作：过点P作，且C在内部，使得；（要求保留作图痕迹）②直线和的位置关系是．【答案】(1)O；(或)；(2)①见解析；②平行【分析】（1）根据作图步骤解答即可；（2）①利用（1）的作法作图即可；②根据同位角相等，两直线平行解决问题即可．【详解】（1）解：作法：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点C、D；步骤2：作射线，以点为圆心，(或)长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与步骤2中所画的弧相交于点；步骤4：过点画射线，则．故答案为：O；(或)；；（2）解：①利用（1）的方法如图：②直线和的位置关系是平行．理由如下：∵，∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：平行．【点睛】本题考查作图尺规作图——作角平分线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【例2】（2023春·广东佛山·七年级佛山市华英学校校考期中）（1）格点作图：如图1，方格纸中每个小正方形的边长都是1．①过格点P画，使与直线相交于格点M；②若点N在图中的格点上（不与点A重合），作直线与直线垂直（2）尺规作图（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）在图2图形中，补充作图：①在的左侧作，②根据上面所作出的图形，你认为与一定平行吗？请说明理由．答：______________________【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②平行，因为内错角相等，两直线平行．【分析】（1）①连接并延长，交于点M，即为所求；②连接即可；（2）①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点E和点F；以点P为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，与以点P为圆心画的弧相交于点D，连接，即为所求；②根据内错角相等，两直线平行，即可解答.【详解】（1）①如图所示：即为所求；②如图所示：点N即为所求；（2）①解：如图所示：即为所求；②∵，∴（内错角相等，两直线平行），故答案为：平行，因为内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了格点作图和尺规作图，解题的关键是熟练掌握相关作图方法以及定理和理论依据．即学即练1．（2023春·山东枣庄·七年级滕州育才中学校考期中）尺规作图：中，请用直尺和圆规，过点C作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法．）【答案】见解析【分析】利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，作一个角等于已知角．【详解】或如图即为所作直线．【点睛】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，掌握作图方法是关键．2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考阶段练习）根据下列要求画图，(1)如图（1）所示，过点A画；(2)如图（2）所示，过点P画，垂足为E，过点P画，垂足为G．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）以点A为角的顶点，为角的一条边，作，则所在直线即为；（2）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可．【详解】（1）解：延长，分别以点A、B为圆心，相同的长度为半径画弧，与，交于点E、F，与的延长线交于点Q，以点Q为圆心，为半径画弧，与原来的弧交于一点P，连接，则所在直线即为所求，如图所示：∵，∴；（2）解：以点P为圆心，一定长度为半径画弧，与交于C、D两点，与交于M、N两点，以C、D两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点H，连接，交于点E，则即为所求；以M、N两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点Q，连接，交于点G，则即为所求，如图所示：【点睛】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作图的基本步骤．★知识点7:尺规作图作三角形1已知三边作三角形已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法与示范：作线段AB=c以点A为圆心，b为半径画弧以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C连接AC，BC，△ABC即为所求2、已知两边及其夹角作三角形已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法与示范：作∠MBN=∠α在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b连接AC，则△ABC为所求作的三角形3、已知两角及其夹边作三角形已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：∠α，∠β，线段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法与示范：作线段AB=a在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求.典例分析【例1】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知线段，和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．(1)求作，使，，；(2)填空：（1）中作出的三角形__________（填“是”或“不是”）唯一的，作图依据是__________．【答案】(1)见解析(2)是，【分析】（1）首先作出，再作射线，在射线上截取，再在的上方作，然后再在另一条射线上截取，最后连接，即可作出；（2）根据一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应相等，并且两边的夹角也相等，那么这两个三角形全等，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：（1）中作出的三角形是唯一的，作图依据是．故答案为：是，．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及尺规作图——作一个角等于已知角、作线段、全等三角形的判定定理，熟练掌握尺规作图基本方法是解本题的关键．【例2】（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）尺规作图：已知：线段，，．求作：，使，，（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】作图见解析【分析】先作，在上截取，上截取，连接得到．【详解】解：如图所示：即为所作．【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．即学即练1．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】先作，再截取，再作，记另外一边的交点为D，从而可得答案．【详解】解：如图，即为所求．【点睛】本题考查的是作三角形，熟练的利用两角与两角的夹边作三角形是解本题的关键．2．（2022秋·福建南平·八年级校考阶段练习）已知：两边及其夹角，线段，，．求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【答案】即为所求，作图见解析【分析】先作出，再在该角两条射线上分别截取长度为a，c的线段，再连接即可【详解】解：图中的即为所求.【点睛】本题考查了尺规作图，复杂图形的作图往往转化成基本作图，作与已知角相等的角是解题关键．1．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期末）康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当众完全打开后，测得分别是的中点，，那么的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等．【详解】解：∵E，F分别是的中点，，∴，在与中，，∴．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知，分别以，为圆心，以，长为半径画弧，两弧交于点，连接，、下列结论一定正确的有（

）①；②判定全等的依据是；③；④平分A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用定理证出，再根据全等三角形的性质逐个判断即可得．【详解】解：在和中，，，则结论①、②正确；，，则结论③错误；平分，则结论④正确；综上，结论一定正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．可证明，从而得到，则测得的长就是两点A，B的距离．判定的依据是（）A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”【答案】D【分析】利用证明即可求解．【详解】解：由题意知，且（对顶角相等），∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．5．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（）A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE【答案】C【分析】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论．【详解】解：补充BE＝CF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求，C选项：BE=CF，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故选：C．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点．6．（2023春·四川雅安·七年级统考期末）如图，，，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用判断A选项，利用判断B选项，再利用全等三角形的性质逐一选项判断C、D即可．【详解】解：在和中，，，故选项A正确，不合题意；

，，，，，，在和中，，，故选项B正确，不合题意；，，故选项C正确，不合题意；，，证不出，∴选项D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等判定方法：、、、是解题的关键．7．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可证得，那么．【详解】解：由作图知，∴，∴，所以利用的条件为，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．8．（2022春·福建宁德·七年级校联考期中）如图，过直线外一点作它的平行线，其作图依据是（

）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行【答案】D【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可．【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行，故选：D．【点睛】本题考查基本尺规作图作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键．9．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）诸仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知说，说明画出的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到．【详解】解：由作法易得，在与中，，∴（），∴（全等三角形的对应角相等）．故选：D．【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去【答案】C【分析】根据三角形全等的判定解决.【详解】解：A、按照①画出的三角形只有一个角与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；B、按照②画出的三角形没有一个角或一条边与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；C、按照③画出的三角形有两个角和一条边与原三角形相等，按照定理这样画出的玻璃与原玻璃一样，正确；D、按照①和②画出的三角形只有一个角与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；故选C.【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．11．（2023春·辽宁朝阳·七年级统考期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，，垂足分别为D、E，且平分，则与全等的理由是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据是公共边，运用判定即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了角的平分线的定义，垂直的定义，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．13．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．【详解】解：，，，，，，，，又，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．14．（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的直接理由是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂直得到，即可直接利用证明．【详解】解：∵，，，∴在与中∴，故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握三角形判定方法并根据每个题型的特点选择恰当的判定方法是解题的关键．15．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：；要使用“”证明，应添加条件：．【答案】（或）（或）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使，已知，，添加的条件是直角边相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【详解】解：已知，，要使用“”，添加的条件是直角边相等，故答案为：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的条件为：（或）．故答案为：（或）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．本题的关键是，全等三角形的