小学数学教材中的鸡兔同笼问题

小学数学教材中的鸡兔同笼问题

一、结构式教材,培养学生一个完整的认知结构。一课从整体上理解教材和学生思维，通常可以将教材简化为简单、困难和简单，同时可以培养学生的联合思维。因此,教师应站在一个较高的层次用整体的观念去审视和处理教材,把握知识之间的本质联系,帮助学生建立一个完整的认知结构。如人教版数学六年级上册“鸡兔同笼”一课,教材以独立的方式呈现了解决这一问题的四种方法,分别是:列表法、假设法、方程法、图示法。深入分析这四种方法的内在特点及思考根源,可以发现它们并不是一个个孤立的教学点,而是存在着内在的有机联系———列表法是前提,方程法是列表法的延伸,假设法则是对列表法的拓展,而图示法则是列表法向假设法过渡的桥梁。笔者把这四种方法有机地整合在一起:(一)简化复杂性1.请回答此问题2.文表述的简化描述把用古文表述的鸡兔同笼问题转化成用现代文表述的、数据相应变小的简单问题:笼子里有若干鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有多少只?(二)提高想法1.推测根据第一个条件“从上面数,有8个头”,猜一猜,有几种可能?根据学生的回答,有序整理如下表1:2.审查3.总结4.从学生的实际出发,克氏论学生的问题,主要解决列方程的方法所解决的问题是否可以解决这道题?谁来说说2(8-x)+4x表示什么意思?你们能根据刚才的思考,用列方程的方法解决这道题吗?(根据学生回答,课件呈现用方程解决问题的过程)(三)构建鸡兔只数和最短的假设法1.引导:仔细观察表2,你发现了什么?(鸡兔互换1只,脚数相差2)2.补问:如果先猜鸡兔只数分别是8、0,怎么调整到3、5呢?(引导学生用画图法表示)3.追问:怎样才能一步就想到5只鸡换作5只兔呢?(引导学生用假设法解决)4.运用:假设笼子里都是兔,该怎么计算?(引导学生用规范的算式表示)5.比较:两种假设法都是用相差的总脚数除以每只相差的脚数。二、运用“9就比多次少几”这一方式,学生能自著名的儿童心理学家皮亚杰认为,儿童智力的发展是知识重建的过程。知识不是被动的从环境中吸收的,而是儿童通过他的心理结构与他的环境之间的相互作用构建的,即把新的知识纳入到已有的认知结构当中,或是发展已有的认知结构以容纳新的知识。因此,如何遵循儿童的认识规律,把课本中静止的、凝固的知识成果再创造转化为一个动态的过程,是儿童构建认知,培养创新的有效途径。如数学教材在编排“2~8的乘法口诀”时,都是通过每次加相同的数来编制口诀,但在编排“9的乘法口诀”时,笔者对教材进行了动态处理:先利用课件演示一行小鱼很快地游过,让学生猜测有几条,学生的答案多种多样。当学生急切需要知道究竟有多少条鱼时,笔者适时出示一行10个圈,演示每条小鱼同时钻入1个圈,共有9个圈被小鱼钻过,只留下1个圈没有鱼。师:看清楚了吗,有几条鱼啊?生:9条,因为还有一个圈没有鱼,比10少1是9。接着,笔者又出示两行小鱼钻两行圈,只留下2个圈,问学生这回有几条小鱼在表演。生1:有18条鱼,2排是20个圈,比20少2是18。生2:还有一种方法,9+9=18。师:猜猜看,下面将有几条鱼钻圈?生1:27条,因为下面肯定还有9条,18+9=27。生2:我也认为是27条,因为比30少3是27。生3:我觉得还可能是4行,这样就会有40-4=36条。生4:还可能是5行,共有50-5=45条。笔者利用课件一一验证学生的猜想后,再让学生填写书本上的表格并交流想法。在此基础上,笔者引导学生概括出9的乘法口诀及记忆方法。上述教学,笔者没有照搬主题图,而是变静态主题图为动态的小鱼表演活动,并根据低年级学生好奇的心理,让学生先猜测有几条小鱼表演,从而促使他们主动参与学习。在验证学生猜想的环节,笔者又巧妙利用知觉的差异律,独具匠心地将小鱼置于个数是整十数的圈内,学生在经历猜想、验证的过程中非常清晰地体会到“几个9就比几十少几”这一规律。可见,让静态的数学教材适时变动,可能会取得意想不到的成果。三、运用形的组合,培养学生的创造能力教材是教师教和学生学的主要教学资源。因此,教师必须清楚教材的编排特点和编排结构,准确理解和把握教材。为此,教师要潜心钻研教材,读懂教材,理解教材编写的意图,充分挖掘教材中隐藏的丰富资源,最大限度地使用好教材。如人教版小学数学第九册教材93页例4的情境图如下(图1):教材中的虚线提示已经给了学生解决问题的思路,即把整个图形看成是由一个三角形和一个正方形的组合,使学生产生了思维定势,限制了探究空间。对于学生而言,这样的学习过程没有了驻足细品的时间和回顾反思的机会。这样的例题教学,使学生缺乏应有的自主探究和必须的个性体验,因而也缺乏真正意义上的“再创造”。为此,笔者在教学这一内容时先将图中辅助虚线隐去,即将图1改编为图2(如下):接着提问:你们能用不同的方法求出它的面积吗?然后留给学生足够的探究时间和空间,并通过动手操作、独立思考、自主探究、互动交流等数学活动,让学生“创造”出以下几种不同的解法。解法一(如图1):将图2分成一个三角形和一个正方形,所求面积即这两个图形面积的和。解法二(如图3):将图2分成三个三角形,所求面积即这三个三角形面积的和。解法三(如图4):将图2分成两个完全一样的梯形,所求面积即这两个梯形面积的和。解法四(如图5):将图2补成一个完整的长方形,所求面积是长方形的面积与两个小三角形面积之差。解法五(如图6):先将图2分成两个完全一样的梯形,再割补成一较大的梯形,面积即可求得。解法六(如图7):同理,将图2割补成一个平行四边形,面积即可求得。解法七(如图8):同理,将图2割补成一个长方形,面积即可求得。上述教学并非偶然,而是得益于笔者对教材的深入挖掘。四、0+19:是标,还是2020-1?课堂教学过程是师生、生生有效互动、动态生成的过程,自然会产生许多学习信息与教学资源。这就需要教师在课堂中善于捕捉、筛选信息,把握动态生成的机会,巧妙利用生成出来的有价值的资源,进行生成性教学。例如,笔者在上“简便计算”一课时,就曾对教材做过生成处理:出示问题:学校门前有一个花坛,每排摆放19盆花,摆了这样的21排,一共有多少盆花?笔者要求学生说出计算方法和理由。于是学生有以下算法:⑴用竖式计算。理由是:这种计算方法最常用。⑵19×21=19×20+19=399,理由是:21个19想成20个19加1个19,可以简算。⑶19×21=20×21-21=399,理由是:19个21想成20个21减去1个21,可以口算。正当笔者要进行总结时,一个学生的发言打破了即将圆满结束的教学。他说:“19×21可以想成20×20-1,理由是:根据19×21=399的结果想到,20×20-1也是399。”最后,他不好意思地笑着补充了一句:“瞎猜的歪理。”教室里一片哗然,“没有道理”、“瞎猜”、“凑数”、“歪理”……学生的呼声引来听课教师的议论。这种方法远远超出笔者预设的范畴,笔者急中生智,十分镇静地说:“真的是歪理吗?在歪理的后面有没有真理呢?咱们一起找一找。”于是,教学流程中多出了一个“找”真理的环节。一会儿工夫,学生又惊呼起来“不是歪理,有道理”、“这样计算是正确的。”一位学生用如下点图说明观点。每排有19盆花,有这样的21排。把最后一排去掉,21排变成20排,也就是拿出19个,将剩下的20排每排再补上1个,每排由19变成20,其中最后一排少1个,因此是20×20-1。接着又一个学生举例:“18×21=19×20-2”。转眼之间学生举的例子布满黑板,“我发现这里有规律……”。由于笔者抓住了学生生成的“歪理”,将它视为教学资源,引导学生进行探索,将看似“歪理”之说当成教学资源进行研究,“请”出了真理。教学过程以学生为本,通过教师、学生、教学资源之间的“互动”与“对话”等活动,实现共享、共赢、共生,促进学生知、情、意、行等和谐发展。五、知识的掌握—本质意识数学课程标准“教学建议”中提出:教师应当准确把握教学内容的数学本质和学生的实际情况,确定合理的教学目标,设计一个好的教学方案。数学教师要重视对教学内容本质的挖掘,重视对数学本质的渗透。例如,笔者在处理“用数对确定位置”一课时,做法如下:师:用第几行第几列虽然可以确定位置,但书写运用都比较麻烦。怎样用更简洁的表示方式确定物体所在的位置?如果有,请举例说明。(学生思考、交流后汇报)生1:例如,第三行第五列可以用“3行5列”表示。生2:例如,第四列第五行可以用“(45)”表示。生3:例如,第四列第五行可以用“4、5”表示。生4:例如,第三行第五列可以用“3,5”表示。师:同学们不约而同地用了两个数字表示,为什么?如果只用一个数字是否可以?生1:用两个数字可以准确地表示出某物体在哪一行与哪一列的交叉处,如果只用一个数字确定不了。生2:只用一个数字仅表示它在某一行或某一列,不能确定。师:确定物体在平面上的位置要用到两个数字,一个数字并不能准确地确定。师:例如,“3,5”表示的究竟是第三行第五列还是第五行第三列呢?生1:可能表示第三行第五列,也可能表示第三列第五行。生2:如果是这样,还是不能确定。应该规定第一个数字表示行或列,第二个数字表示列或行。师:的确,仅有两个数字还是不够的,要规定每个数字表示的意义。数学上规定第一个数字表示所在的列,第二个数字表示所在的行。上述教学的关键是如何让学生理解数对的含义。用数对确定位置是平面直角坐标系的雏形,其本质含义有两点,一是数对,即需要两个数;二是有序数对,即两个数各自表示不同的含义。在上述片段中,笔者首先是让学生基于原始认识对问题进行朴素思考,进而根据学生的思考进行有针对性地引导,使学生的认识由感性到理性,由表面到本质,逐渐深入到认识用数对确定位置的本