高三文科椭圆题型全解

-.z.高三文科数学椭圆练习1．“m>n>0〞是“方程m*2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆〞的____________条件．2．椭圆eq\f(*2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，长轴在y轴上．假设焦距为4，则m等于___________.3．假设椭圆eq\f(*2,m)＋eq\f(y2,n)＝1〔m＞n＞0〕上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则eq\f(m,n)＝________.4．过椭圆eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦点F1作*轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，假设∠PF2F1＝30°，则椭圆的离心率为________________.5．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值围是________________.6．椭圆C：eq\f(*2,2)＋y2＝1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B.假设eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝_____________.7．过椭圆eq\f(*2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的一点P〔2，－1〕的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程___________.8．椭圆eq\f(*2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．假设|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________．9．椭圆G的中心在坐标原点，长轴在*轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________．10．A、B为椭圆C：eq\f(*2,m＋1)＋eq\f(y2,m)＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是eq\f(2π,3)，则实数m的值是__________．11．A、B两点分别是椭圆C：eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，假设eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，则椭圆C的离心率e＝________.12．直线l：*－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为___________.13．椭圆eq\f(*2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，假设|ON|＝1，则MF1的长等于______________.14．过椭圆eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦点F1作*轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，假设∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率__________.15．知椭圆eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥*轴，直线AB交y轴于点P.假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是_________.16．椭圆5*2－ky2＝5的一个焦点是〔0，2〕，则k＝________.17．F1、F2是椭圆eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，假设△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.18．F1、F2为椭圆eq\f(*2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．假设|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.19．〔－2，0〕，B〔2，0〕，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为eq\f(4,5)，且直线l与圆*2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程．20．设A〔*1，y1〕，B〔*2，y2〕是椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(*2,b2)＝1〔a＞b＞0〕上的两点，m＝〔eq\f(*1,b)，eq\f(y1,a)〕，n＝〔eq\f(*2,b)，eq\f(y2,a)〕，且满足m·n＝0，椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，短轴长为2，O为坐标原点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕假设存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F〔0，c〕〔c为半焦距〕，求直线AB的斜率k的值．21．在平面直角坐标系中，圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．〔Ⅰ〕求圆的方程；〔Ⅱ〕试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．高三文科数学椭圆练习答案与解析1．解析：把椭圆方程化为eq\f(*2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.假设m>n>0，则eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，假设椭圆的焦点在y轴上，则eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0即有m>n>0.故为充要条件。2．解析：因为椭圆eq\f(*2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0,10－m>0,m－2>10－m))⇔6<m<10，又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4⇔m＝8.3．解析：由题意得该椭圆的离心率e＝eq\f(1,3)＝eq\f(\r(m－n),\r(m))，因此1－eq\f(n,m)＝eq\f(1,9)，eq\f(n,m)＝eq\f(8,9)，eq\f(m,n)＝eq\f(9,8)。4．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝eq\f(1,2)|PF2|，∴eq\f(3,2)|PF2|＝2a⇒|PF2|＝eq\f(4,3)a，|PF1|＝eq\f(2,3)a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋(2c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).5．解析：设椭圆的长轴长为2a，则矩形的最大面积为2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即eq\f(3,2)≤eq\f(a,b)≤2，又∵b＝eq\r(a2－c2)，∴eq\r(\f(a2－c2,a2))∈[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]，即eq\r(1－e2)∈[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]，解得：e∈[eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(3),2)]．6．解析：如图，BM垂直于右准线于M，右准线与*轴交于N，易求得椭圆的离心率为e＝eq\f(\r(2),2)，由椭圆的第二定义得BM＝eq\f(BF,e)，在Rt△AMB中，eq\f(BM,AB)＝eq\f(BF,e·AB)＝eq\f(1,2e)＝eq\f(\r(2),2)，它为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FN＝eq\f(b2,c)＝1，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(2).7．解析：设过点P的弦与椭圆交于A1(*1，y1)，A2(*2，y2)两点，则，且*1＋*2＝4，y1＋y2＝－2，∴eq\f(2,3)(*1－*2)－eq\f(2,5)(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝eq\f(y1－y2,*1－*2)＝eq\f(5,3).∴弦所在直线方程为y＋1＝eq\f(5,3)(*－2)，即5*－3y－13＝0.8．解析：依题知a＝3，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(7).由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2eq\r(7).在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°答案：2120°9．解析：由题意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3.故椭圆方程为eq\f(*2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.10．解析：由椭圆知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(m＋1),\r(m))⇒m＝eq\f(1,2).11．解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(c，－b)∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12．解析：选D.在l：*－2y＋2＝0上，令y＝0得F1(－2,0)，令*＝0得B(0,1)，即c＝2，b＝1.∴a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).13．解析：由椭圆方程知a＝4，∴|MF1|＋|MF2|＝8，∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.14．解析：由题意知点P的坐标为(－c，eq\f(b2,a))或(－c，－eq\f(b2,a))，∵∠F1PF2＝60°，∴eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3)，即2ac＝eq\r(3)b2＝eq\r(3)(a2－c2)．∴eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，∴e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．15．解析：如图，由于BF⊥*轴，故*B＝－c，yB＝eq\f(b2,a)，设P(0，t)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(－a，t)＝2(－c，eq\f(b2,a)－t)．∴a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).16．解析：方程可化为*2＋eq\f(y2,－\f(5,k))＝1.∵焦点(0,2)在y轴上，∴a2＝－eq\f(5,k)，b2＝1，又∵c2＝a2－b2＝4，∴a2＝5，解得k＝－1.17．解析：由题意，因为△PF1F2是等边三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12.答案：1218．解析：由椭圆的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|＋|AF2|＝10，,|BF1|＋|BF2|＝10，))两式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＋12＝20，∴|AB|＝8.19．解：易知直线l与*轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(*＋2)．①又设椭圆方程为eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1(a2>4)．②因为直线l与圆*2＋y2＝1相切，故eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k2＝eq\f(1,3).将①代入②整理得，(a2k2＋a2－4)*2＋4a2k2*＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝eq\f(1,3)，即(a2－3)*2＋a2*－eq\f(3,4)a4＋4a2＝0，设M(*1，y1)，N(*2，y2)，则*1＋*2＝－eq\f(a2,a2－3)，由题意有eq\f(a2,a2－3)＝2×eq\f(4,5)(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为eq\f(*2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.20．解：(1)2b＝2，b＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)⇒a＝2，c＝eq\r(3).故椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋*2＝1.(2)设AB的方程为y＝k*＋eq\r(3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k*＋\r(3),\f(y2,4)＋*2＝1))⇒(k2＋4)*2＋2eq\r(3)k*－1＝0.*1＋*2＝eq\f(－2\r(3)k,k2＋4)，*1*2＝eq\f(－1,k2＋4)，由0＝m·n＝eq\f(*1*2,b2)＋eq\f(y1y2,a2)＝*1*2＋eq\f(1,4)(k*1＋eq\r(3))(k*2＋eq\r(3))＝(1＋eq\f(k2,4))*1*2＋eq\f(\r(3)k,4)(*1＋*2)＋eq\f(3,4)＝eq\f(k2＋4,4)·(－eq\f(1,k2＋4))＋eq\f(\r(3)k,4)·eq\f(－2\r(3)k,k2＋4)＋eq\f(3,4)，解得k＝±eq\r(2).21．答案：(1)设圆心坐标为(m，n)〔m<0，n>0〕,则该圆的方程为(*-m)2+(y-n)2=8该圆与直线y=