第06讲 向量法求空间角（含探索性问题）（解析版）

第06讲向量法求空间角1．异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).一．异面直线所成的角例1．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．因为为中点，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以与所成角的余弦值为．【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．例2．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；（2）解法一：取边上中点，由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质得，由此可得结果；解法二：取圆弧中点，连结，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知，由此可得结果.【详解】（1）设圆锥母线长为，，，即，圆锥的高，.（2）解法一：取边上中点，连结，，，是的中位线，；垂直于底面，垂直于底面，；，为中点，，即；，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成角为.解法二：取圆弧中点，连结，则；以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，即，异面直线与所成角为.【复习指导】：(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系．②求出两直线的方向向量v1，v2.③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．二．直线与平面所成的角例3．如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由其性质定理即可得到证明；（2）根据题意，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】（1）如图，设是的中点，连接．为的中点，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，，，设平面的一个法向量为．由得令，得，设与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为例4．已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求线面角正弦即得.【详解】（1）连接AC和，由底面是菱形得，由与全等，得为的中点，又平面，平面，平面，

又平面平面平面．（2）以为x轴，以为y轴，以过O与底面垂直的直线为z轴，建立如图空间坐标系，则

过A作底面的垂线，垂足为H，由为正三棱锥知H为的重心，设，由，得，

又取平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则∴直线与平面所成角的正弦值为．【复习指导】：(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝eq\f(π,2)－β或θ＝β－eq\f(π,2)，故有sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|l·n|,|l||n|).三．平面与平面的夹角例5．如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F为PD的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)；【详解】（1）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面的法向量为，则，令，解得，故，又，又平面,所以平面.（2）由(1)得设平面的法向量为，则，令，解得，故，设平面的法向量为，则，令，解得，故，所以，又二面角为钝角，故二面角的大小为.例6．如图，平面四边形为矩形，平面，平面，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证平面和，由线面垂直的判定定理证明平面，再得到面面垂直即可.（2）建立适当空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）如图，取的中点，并连接，根据条件，易知四边形为正方形，且，所以，所以，因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，因为四边形为矩形，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标，设，则，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，解得，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，解得，所以，所以，又因为平面与平面夹角为钝角，所以平面与平面夹角的余弦值为.【复习指导】：(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量．②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解．四．立体几何中的探索性问题例7．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，说明理由．【详解】(1)因为直线MF⊂平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示)，因为AO∥BF，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，所以OM＝MF，AO＝BF，所以点O在EA的延长线上，且AO＝2，连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点，连接MN，因为MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，又因为MN⊂平面EMC，OD⊄平面EMC，所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE，取AE的中点H为坐标原点，以AH，DH所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以E(－1,0,0)，D(0,0，eq\r(3))，C(0,4，eq\r(3))，F(－1,4,0)，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1,4，eq\r(3))，设M(1，t,0)(0≤t≤4)，则eq\o(EM,\s\up6(→))＝(2，t,0)，设平面EMC的法向量m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EM,\s\up6(→))＝0，,m·\o(EC,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋ty＝0，,x＋4y＋\r(3)z＝0，))取y＝－2，则x＝t，z＝eq\f(8－t,\r(3))，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－2，\f(8－t,\r(3))))，因为DE与平面EMC所成的角为60°，所以eq\f(8,2\r(t2＋4＋\f(8－t2,3)))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(2\r(3),\r(t2－4t＋19))＝eq\f(\r(3),2)，所以t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°，取ED的中点Q，因为EF⊥平面ADE，AQ⊂平面ADE，所以AQ⊥EF，又因为AQ⊥DE，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面CEF，所以AQ⊥平面CEF，则eq\o(QA,\s\up6(→))为平面CEF的法向量，因为Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(\r(3),2)))，A(1,0,0)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0，－\f(\r(3),2)))，m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－2，\f(8－t,\r(3))))，设二面角M－EC－F的大小为θ，所以|cosθ|＝eq\f(|\o(QA,\s\up6(→))·m|,|\o(QA,\s\up6(→))|·|m|)＝eq\f(|2t－4|,\r(3)\r(t2＋4＋\f(8－t2,3)))＝eq\f(|t－2|,\r(t2－4t＋19))，因为当t＝2时，cosθ＝0，平面EMC⊥平面CDEF，所以当t＝1时，θ为钝角，所以cosθ＝－eq\f(1,4).当t＝3时，θ为锐角，所以cosθ＝eq\f(1,4).例8．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2.(1)求证：A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求eq\f(BP,BD)的值；若不存在，说明理由．【详解】(1)证明因为A1D⊥BE，DE⊥BE，A1D∩DE＝D，A1D，DE⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，因为A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥BE，又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BCDE，所以A1E⊥平面BCDE.(2)解以E为原点，分别以EB，ED，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，eq\r(3)，0)，A1(0,0,1)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,x＝\r(3)y，))令y＝1，得n＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))，因为BE⊥平面A1DE，所以平面A1DE的法向量eq\o(EB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，cos〈n，eq\o(EB,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(EB,\s\up6(→)),|n|·|\o(EB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，因为所求二面角为锐角，所以二面角E－A1D－B的余弦值为eq\f(\r(21),7).(3)解假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，设P(x，y，z)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则(x－1，y，z)＝λ(－1，eq\r(3)，0)，所以P(1－λ，eq\r(3)λ，0)，所以eq\o(EA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(EP,\s\up6(→))＝(1－λ，eq\r(3)λ，0)，设平面A1EP的法向量m＝(x1，y1，z1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EA1,\s\up6(→))＝z1＝0，,m·\o(EP,\s\up6(→))＝1－λx1＋\r(3)λy1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z1＝0，,1－λx1＝－\r(3)λy1，))令x1＝eq\r(3)λ，得m＝(eq\r(3)λ，λ－1,0)，因为平面A1EP⊥平面A1BD，所以m·n＝3λ＋λ－1＝0，解得λ＝eq\f(1,4)∈[0,1]，所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且eq\f(BP,BD)＝eq\f(1,4).【复习指导】：对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．1．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值求解即可.【详解】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，，，.故选：C2．在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，.所以,.设直线与夹角为，则.故选：C.3．如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以．故选：D．4．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是线段上的动点，则当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，写出向量的坐标，利用二次函数的基本性质求出当取最小值时的值，求出点的坐标，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，所以，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，其中，，所以，，当且仅当时，即当点为线段的中点时，取最小值，此时点，则，，，因此，当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.5．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】在直三棱柱中，，所以，即，又平面，平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角.【详解】如图所示，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成的角为，所以，故选：B.7．在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将三棱锥放在一个长方体中，建立空间直角坐标系，求出向量，代入夹角公式即可求解.【详解】依题意，把三棱锥放在长方体中，如图所示：因为，以为空间直角坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则有：，，，，所以，，所以.故选：D.8．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可【详解】设，则，因为，所以，所以，所以，化简得，所以，所以，即的余弦值为.故选：C.9．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，，为线段的中点，为线段的中点，则（

）A．直线与直线所成角的余弦值为 B．是平面的法向量C． D．【答案】C【分析】选项A利用空间向量夹角公式计算即可，B选项利用法向量性质判断即可，选项C画出利用三角形的中位线判断即可，选项D，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为，，所以，故A错误；因为平面PAB，且，所以不是平面PAB的法向量，故B错误；连接，如图所示：因为为线段的中点，为线段的中点，又为平行四边形的对角线，所以为线段的中点所以是的中位线，所以，即，故C正确；因为，，所，故不成立，故D错误.故选：C.10．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（

）A．120° B．45° C．150° D．60°【答案】B【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BCE的法向量为，则，即，令，则，故取，又平面的一个法向量为，所以，又平面与平面所成的二面角的大小为锐角，所以平面与平面所成的二面角的大小是45°．故选：B．11．在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理，则，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题.【详解】，由余弦定理，，则，，，平面平面，，，以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则有，令，有，，即，，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面与直线所成角的余弦值.【详解】因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，，所以，，因此，面与直线所成角的余弦值为.故选：D.13．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，作图构建正方体，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面，的一个法向量，结合空间向量的夹角公式求直线与平面所成角的正弦值【详解】由题知，多面体是从正方体中截去三棱锥后所得的几何体.如图，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则，，所以，，设平面的法向量为，，则，故取，则，，是平面的一个法向量，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.14．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．故选：D15．在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量求解CG与平面ABC所成角的正弦值.【详解】因为G为重心，故，从而，．即．，则．注意到平面ABC的法向量即，因此CG与平面ABC所成角的正弦值即为．故选：D．16．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：，∵，则，即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹角为.故选：C.17．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则二面角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，分别以直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，∴，，设为平面的一个法向量，由，取，则，取平面的一个法向量，设二面角为，则，∴．故选:C18．已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求平面、平面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数.【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，所以，则，，若是面一个法向量，则，可得，若是面一个法向量，则，可得，由面面，所以有，解得，故选：C.19．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，∵，则，令，则，∴，同理可得：平面的法向量，故，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的正弦值.故选：B.20．已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】采用建系法，设中点为，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】因为平面平面，设中点为，，则平面，，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则，，，显然是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则满足，即，令，可得，故，则，即二面角的余弦值为.故选：D21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，，，，所以，，，.设平面APC的法向量为，∴不妨设，则，设平面PBC的法向量为，∴不妨设，则，，设为，则.故答案为：22．已知E､F､G､H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，，设该正方体的棱长为，显然，于是有，所以，，所以，因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，故答案为：23．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．【答案】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.故答案为：.24．在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.【答案】【分析】根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理及题意，可证，，，如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面ABC的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案.【详解】取BD中点O，连接AO、CO，因为，所以、为等边三角形，因为O为BD中点，所以，因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以，，以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，设菱形ABCD的边长为2，则所以，设平面ABC的法向量，则，即，令，则，即，设AD与平面ABC所成角为，则，所以AD与平面ABC所成角的正弦值为.故答案为：25．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【分析】利用空间向量即可得解.【详解】由题意，,,所以，，，所以故答案为：.26．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.【详解】在平面内作，垂足为，因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.故答案为：.27．如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.【答案】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解．【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：则设，则，设直线与所成角为所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：．28．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.【答案】【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，即可列式计算.【详解】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以,,所以，所以，解得或（舍去）.故答案为：.29．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.【答案】【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.故答案为：.30．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.①直线平面，②三棱锥的体积为定值，③异面直线与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】①②④【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理进行判断，对于②，利用线面平行的判定定理，得到∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断，对于③，利用异面直线所成角的计算方法判断，对于④，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，对于④，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，当时，直线与平面所成角的正弦值最大，最大值为，所以④正确，故答案为：①②④31．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，证得，，得到四边形是平行四边形，得出，进而证得平面；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得则，，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)证明：如图（1），连接，交于点，取的中点，连接，，因为底面是正方形，所以是的中点，所以，，又由，，所以，，故四边形是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．(2)解：以点为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系，设，则，则，，设异面直线与所成角的大小为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．32．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．（1）设圆锥的母线长为，求圆锥的体积；（2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的余弦值．【答案】(1);(2).【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【详解】（1）∵圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，圆锥的母线长为，∴圆锥的体积．（2）∵，，是底面半径，且，为线段的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则．∴异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.33．如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，，．，分别为，的中点，平面，点在线段上．(1)求证：面面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由线线垂直（，）证明线面垂直（平面），再证明面面垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解即可.【详解】（1）在中，∵，分别为，的中点，∴，，∵，∴，即，∵平面，平面，平面，∴，，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴.∴在直角中，，∵，，在中，由余弦定理，又∵，，∴，∴，即.又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）∵为等腰直角三角形，为中点，∴，又∵平面ABC，∴以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则由已知，，，∴，，，，，∴，∴，∴.又∵，∴设平面的一个法向量，则，令，则，，∴，由∵，设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.34．如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明详见解析(2)条件选择见解析，直线与平面所成角的正弦值为【分析】（1）若选①，则通过证明平面来证得.若选②，则先证明，然后通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）若选择条件①:，连接，在直三棱柱中，平面，平面，所以.在三角形中，，为的中点，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，由于，，平面，所以平面，由于平面，所以.若选择条件②：，连接，由于是中点，所以，根据直三棱柱的性质可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由于，所以，所以，则，则，由于，平面，所以平面，由于平面，所以.（2）先得到:若选①，则在中，由，得，又，所以，.若选②，则.在三角形中，，所以，所以，根据直三棱柱的性质可知，，以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则.35．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面的法向量垂直及线面平行的条件得证；（2）由空间向量法求线面角；（3）由空间向量法求二面角．【详解】（1）如图，以A为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则解得，令，得.因为，所以.又平面，所以平面.（2）设，则.因为，所以.即，解得，所以.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设平面的一个法向量为，则解得令，得.因为，所以.所以平面与平面夹角为.36．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.(1)求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明；（2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：，点是的中点，，又是的中点，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，则，设，则，，，，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，取，解得，设直线与平面所成的角为，，故直线与平面所成角的正弦值为.37．如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.(1)求证：；(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，由题意和向量的数量积的定义求出点E的坐标，结合线面角的定义即可求解.【详解】（1）连接，底面为菱形，.又平面平面.又面，平面.又平面.（2）设的中点为，连接，如图：为等边三角形，，又，则.又平面，则.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，令，则.又平面的一个法向量为，则.又平面与平面的夹角的余弦值为，，，，.直线与平面所成角的正弦值为.38．如图，四棱锥的底面是梯形．，，，．(1)证明：；(2)求平面APB和平面APC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析．(2)．【分析】（1）取中点，证明是等边三角形，得出，连接交于，得是中点，再由，得平面，从而得证线线垂直；（2）证明，然后建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求两平面所成的角．【详解】（1）取中点，连接，，由题意可知，，，所以是平行四边形，又，所以四边形是菱形，所以是等边三角形，，连接交于，连接，，由，得，所以，即且是中点，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知，，又，，，所以，即两两垂直，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，设平面的一个法向量是，则，取，则，显然平面的一个法向量是，所以，所以平面APB和平面APC所成角的正弦值为．39．如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）证明出平面，在上取一点，使得，连接、，证明出平面平面，可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）推导出平面，然后以点以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在直角三角形中，因为，，所以，即在四棱锥中，，，又因为，、平面，所以，平面，所以，平面，如图，在上取一点，使得，连接、.因为，所以，所以，又因为，所以四边形是矩形，所以.因为平面，平面，所以，平面，在中，，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，、平面，所以，平面平面，所以平面，因为平面，故.（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，则、、、，所以，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，，，则，取，则，所以，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.40．如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.【分析】（1）取中点，可证明平面，得平面平面，在平面内的射影就是直线，是与平面所成的角，即，由正弦定理求得，有两个解，在时可证平面，在时，取中点证明平面，然后由棱锥体积公式计算体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以，由已知，，所以，，，由平面，平面得平面平面，因此在平面内的射影就是直线，所以是与平面所成的角，即，，因此，在中，由正弦定理得，，为内角，所以或，，，若，则，即，，平面，所以平面，；若，则，，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，而平面，所以平面，，所以；（2）若，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，，所以二面角的余弦值是；若，以为轴，为轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，，所以二面角的余弦值是．41．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.（2）平面的一个法向量，是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）建立如图空间直角坐标系，可得点的坐标，故，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.（2）设是平面的法向量，,，即，不妨取，得到平面的一个法向量，，平面与平面所成二面角为锐角，故平面与平面所成的二面角余弦值是.42．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥平面PBD；(2)求二面角P－AM－D的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据边长之间的关系得到，然后利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定即可得证；（2）结合题意，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进而求解.【详解】（1）因为为的中点，，又四棱锥的底面是矩形，，，，又，，底面，底面，，又，且，平面，平面．（2）平面，又，平面，，，又四棱锥的底面是矩形，，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，平面，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，可得，二面角P－AM－D的余弦值为：，故二面角P－AM－D的正弦值为.43．如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，且，，平面ABCD，，．(1)求证：．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由平面PAC；（2）过点作交AD于点E，则，．以为坐标原点，OC，OE，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图，利用平面的法向量可求出结果.【详解】（1）证明：因为底面ABCD为等腰梯形，且，，所以．又因为，所以．因为，，所以由余弦定理，得，所以，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以．因为，平面PAC，所以平面PAC．因为平面PAC，所以．（2）过点作交AD于点E，则，．以为坐标原点，OC，OE，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图．因为，所以，，，所以，，，．所以，，，，所以，．设平面PAB的一个法向量为，则，令，则，，所以．设平面ACB的一个法向量为，则，令，则，，所以．所以．由题图知，二面角为钝二面角，所以其余弦值为．44．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.(1)证明：平面；(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）过点作于点，由面面垂直、线面垂直的性质定理可得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）由体积求出，以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）过点作于点，因为平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，则，又因为平面，所以平面；（2）由（1）知平面平面，得，又，所以，以为原点，分别以为轴、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又因为，所以，，，设是平面的一个法向量，则，即，所以可取，设是平面的一个法向量，则即，所以可取，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.45．在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.(1)证明：平面.(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证结论正确；（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【详解】（1）证明：因为是的中位线，所以.因为平面平面，所以平面.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点，，，，，.设平面的一个法向量为，则，取，得，，则.设平面的法向量为，因为，所以，得，取，得，则，所以，所以平面与平面所成锐角的余弦值为.46．如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)与平面所成的角的正弦值为【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.47．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证