微分方程数值解（学生复习题）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——微分方程数值解（学生复习题）一．填空

1.Euler法的一般递推公式为，整体误差为，局部截断误差为：.，改进Euler的一般递推公式整体误差为，局部截断误差为：。

2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。

3.当，则单步法un?1?un?h?(tn,un,h)，n?0,1,2,?,T稳定。h4.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。5.若，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是。

7.刚性方程是：8．Runge-Kutta法的特征值为，

相容的充要条件为：

?d2u?Lu??2?qu?f,a?x?b8.二阶常微分方程边值问题：?dx?u(a)??,u(b)???的中心差分格式为：9.若内点Pi的四个相邻点均属于Gh，则称Pi为。10.迫近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。迫近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。11.线性多步法A稳定的充要条件是。

12.SOR收敛当且仅当松弛因子??，且Jacobi迭代收敛。最正确松弛因子（0,2）是。二．判断

1.当时间步长?和空间步长h无限缩小时，差分格式的解是否迫近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR迭代格式的收敛速度与SOR最正确超松弛法的收敛速度同阶。3、对称矩阵的普条件数与条件数一致。

4、一级Runge-Kutta法的绝对稳定域（-2，0）

5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。6、Euler法非A稳定。

7．对任意网比r?0，六点对称格式的解有收敛阶O(?2?h2)8.对任意网比r?1，向前差分格式的解有收敛阶O(??h2)。29、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。三．选择

1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）

A绝对稳定B无条件稳定C条件稳定D非条件稳定2.vonNeumann条件是差分格式稳定的（）

A充分条件B必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件3．实系数二次方程?2?b??c?0的根按模小于或者等于1的充要条件是（）Ab?1?c?2Bb?1+c?2Cc?1?b?2Dc?1?b?24.若线性多步法A稳定，则有（），其中?为?(?)?h?(?)?0的根。（）ii?1,2,?,kAReh?0??i?1,i?1,2,?,kB?i?1?Reh?0

CReh?0??i?1,i?1,2,?,kD?i?1?Reh?0

5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）A下半平面B上半平面C左半平面D右半平面6．线性多步法稳定的充要条件是（）A第一特征式?(?)满足根条件B第一特征式?(?)严格满足根条件C?(?)?h?(?)?0满足根条件

D?(?)?h?(?)?0严格满足根条件7.P阶K步法的局部截断误差的阶为（）

AOBOCODO（hp）（hp?1）（hk?1）（hk?1）8.线性多步法绝对稳定的充要条件是（）A第一特征式?(?)满足根条件B第一特征式?(?)严格满足根条件C?(?)?h?(?)?0满足根条件D?(?)?h?(?)?0严格满足根条件9.Euler法的整体误差为()

（h）（1）（h2）（h?1）AOBOCODO

四．计算

1.试求差分方程初值问题：

?un?2?2un?1?3un?2?

u?u?001?的解。2.已知显式方法

un?2??1un?1??0un?h??1fn?1??0fn?

（1）取?1为参数，确定?0，?0，?1，使方法至少是二阶的；（2）当?1取何值时，方法满足根条件；

3.k步线性法：un?khk?un??fn?k?fn?，证明其A稳定。

24.证明un?1?un?hfn?1对所有的h????,0?都绝对稳定。

?u???f,a?x?b??u(a)?u(b)?05.由待定系数法构造边值问题：

的中心差分格式。

6.求正三角网上的差分格式。7.用有限体积法推导五点格式。

?u?2u?a2的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n层计8.写出扩散方程?t?xr?算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），

a?h2为网比。

?1nnn?u?ru?u9.计算差分格式un（其中r?jjj?1j-1，

??a?,a?0）的增长因子，并h根据vonNeumann条件给出差分格式稳定性条件。10.已知线性多步法：

412hun?2?un?1+un?fn?2

333试求它的阶及误差常数。

11.计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。

1??3u?u?hf?fn?，试求其绝对稳定域。12.Adams二步外插法：n?2n?1n?1?22??

五．证明题

1.将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并由vonNeumann条件证明该格式是否稳定。

其他例子关于证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。2.求N阶三角阵：

?01???11??101??1-11??????101???1-11C=?C