数形结合思想的认知阐释

数形结合思想的认知阐释

数形结合是重要的数学思想和一般的数学方法。将数字关系的研究转化为图形性质的研究，或将图形性质的研究转化为数量关系的研究。在这个解决问题过程中，“数”和“形”相结合的研究策略是数形结合的思想。“数”和“形”反映了事物的属性。数形结合的应用可分为两种情况。首先，我们可以通过形状的直观性来阐明数之间的关系，即“以形帮助数”；然后，我们可以通过数量规划阐明形状的各种属性，即“以数为量”。笔者注意到,在中学数学中,“形”的广义性以及学生数学学习中直觉形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑.如数学概念的建立借助“形”的直观;数学性质的探索依赖“形”的操作;数学规则的形成需要“形”作材料;解题思路的获得常用“形”来帮助,而且由“数”到“形”的转化常需要转化的意识.因此,师生在学习和实践过程中往往偏重于由“数”到“形”的转换,忽视由“形”到“数”的精确转化.然而,“形”虽具有形象直观的优势,但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势.只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性,才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力,从而更准确地把握“形”.下面笔者结合教学实践谈谈自己在这方面的思考和做法.1型前条的错误笔者在一类求“方程解的个数”和“两曲线交点的个数”问题的作业中,发现了较多学生出现了相同的错误.错解分别画出函数y=x2和y=2x的图象如图1所示,所以原方程解的个数为2个.而在下面两个类似的问题中,较多学生出现了1对1错的情况.对于第(1)题,学生比较容易就得出了正确解答:分别画出函数和y=x2-x+1的图象如图2所示,所以原方程解的个数为3个.对于第(2)题较多学生运用了类似第(1)题的解题方法,出现了如下的错误.错解分别画出函数的图象如图3所示,所以原方程解的个数为3个.2错误因素的检测和分析较多同学出现了相同的错误,通过交流讨论,了解学生出现错误的原因主要来自于两方面.2.1两大命题的对比作业题1的错因图1忽视了对于x>2时两图象的准确描绘,对这部分图象缺乏细微观察与判断,盲目认为没有交点,事实上,此处需用“望远镜”来仔细观察.作业题2的错因两小题形式相似,图象类似,但两图象的本质区别在于图2在x∈[-1,1]上是“下凹”的,而图3在x∈[-1,1]上是“上凸”的,学生没能用“显微镜”仔细观察出直线与曲线在这个区间上图象的关系.2.2数字图像的描述数与形是数学研究的两个重要方面,运用数形结合思想方法解决数学问题时,一方面,我们可以借助“形”的生动和直观性认识“数”,即以“形”为手段,“数”为目的;另一方面,我们还需将图形问题转化为代数问题,借助于“数”的精确,规范地阐明“形”的属性,以获得精确的结论,此时“数”是手段.“方程解的个数”和“两曲线交点的个数”问题的解题依据是“函数零点存在性原理”,即“若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点”.因此,当我们难以从图形中采纳到精确的信息时,就应在观察图象的基础上进行科学精确的代数计算来确定最后的结论.对此,华罗庚先生曾有非常精辟的表述:“数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.”3教育的反思和对策3.1数形结合,提升学生数学意识弄清错误原因后,教师及时引导学生得出了如下的正确解答.作业题1分析及解答通过对图1的观察,易得当x≤2时,两图象恰有2个交点.对于x>2的情况在用“望远镜”观察的同时须进行精确的代数计算后加以判断.f(5)=25-52>0,因为当自变量x在变化过程中,指数函数y=2x的增长趋势明显大于二次函数y=x2,所以当a>4时f(a)=2a-a2>0.由“函数零点存在性定理”可判断,在x∈(2,+!)时函数f(x)还有一个零点.所以原方程解的个数为3个,如图4.作业题2(2)分析及解答从图3上易得两函数图象在x∈(-∞,-1)和x∈[0,+∞)分别有1个和2个公共点.考虑到函数y=x2-1在x∈[-1,0]上图象是上凸的,这部分的图象需用“显微镜”观察,同时采用“以数解形”的方法进行较为精确的计算.3.2跟踪训练数形结合在方法论层面,只是一种具有普遍性和可操作性的程式,只有当它成为学生解决数学问题的自觉意识时,才上升为“数学思想”.数形结合思想形成的前提是让学生经历应用的历练,而教师提供时间与空间是使“方法”提升为“思想”的保证.这就需要教师进一步的引领和学生群体的互动.为了进一步帮助学生理解数形结合思想方法的运用,笔者精心设计跟踪练习,以典型例题为载体,引领学生总结和归纳数形“结合”解题的常规步骤及思维方法.例(日本早稻田大学某年入学考试题)直线与曲线恰有1个公共点,求a值的取值范围.师生共同分析解答.步骤1“由数化形”:根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能较为真实地反映相应的数量关系,揭示出数与式的本质特征.步骤2“由形化数”:借助所画的图形,仔细观察研究,揭示图形中蕴含的较为简单的数量关系,反映几何图形内在的属性.a=0时,从图象易知直线l与曲线C没有公共点.步骤3“数形转换”:仔细观察图形,分析数与式的结构,适时将它们相互转换,并进行必要的精确计算,揭示隐含的较为复杂的数量关系.“以数解形”的验证过程如下:当Δ=(4-2a)2-4(3-2a)=0时,可解得a=1,此时x=-1,满足题意.所以a>0时,满足条件的当a<0时,非常容易犯这样的错误:出现错误的原因就是没用“显微镜”观察审视弧AB那段曲线.事实上,直线l与弧AB相切的切点在直线AC下方.由此得出两个结论:一是满足题意,二是直线l与弧AB相切时可能还有满足题意的a存在,这必须用代数运算验证后才可知.下面是“以数解形”的过程.当Δ=(12+2a)2-4(35-2a)=0时,可解得当,满足题意;当,不合题意.综上所述,满足条件的a值的取值范围是在上述典型例题的探求过程中,师生共同感受数形结合思想如何体现在解决问题全过程中,包括:(1)数形结合的思路是如何想到的;(2)方法是如何运用的;(3)在比较与反思中体会数形结合的优势和独到之处.总之,数形结合思想使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.教师在平时数学教学中要有意识地渗透数形结合的思想,注重对学生数形结合学习方式的指导.尤其要注意数形结合贵在“结合”二字,要做到数中有形,形中有数;以形思数,帮助记忆;数形对照,加深理解;数形联系,以利解题;以形载数,以数量形;数形互释,图文并茂.从而把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的有效手段.作业题1判断方程2x=x