奖金发放问题的数学建模

A题：奖金发放问题摘要在本文中，我们通过对所给数据，即五十名员工的职称、工龄、学历、教学情况进行统计，建立了数学模型，并且根据不同要求通过模型对奖金发放情况制定政策。模型1、层次分析模型。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体上可以按照一下三个步骤进行：①建立递阶层次结构模型；②构造出各层次中的所有判断矩阵；③层次单排序及一致性检验。模型2、模糊综合评价模型。利用模糊数学的基本原理，以定量分析为主，定性分析为辅，够早了综合评价的指标体系，建立的简便实用的数学模型，该模型中的主要指标即为题目中已给定的4项指标。模型3、对奖金分配的最终结果：若需要对所有教师都奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。若30人获得奖金，根据主导因素法则，限制因子法以及逆向考虑法。首先考虑职称，职称考虑完毕，再考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。对不同职称分配一定获得奖金人数时，舍弃职称权重，按不同职称分别对其他3项指标进行加权排序。方法与⑵相同。[关键字]：数据规范化层次分析法模糊综合评价法定权比例分配问题重述某学院接受了一企业的赞助，经过校教代会决定，拿出一部分资金奖励教师，奖励政策只考虑下列因素：教师职称，工龄，学历，教学情况。学院职工的职称，工龄，学历，教学情况见下表。现聘请你们作顾问，制定以下奖励政策：（1）给出一个对所有教师都奖励的合理政策；若只奖励30人，如何确定人选？（2）如何制订奖励政策，恰好使高级、中级、初级教师的获奖人数是给定的数。（3）能否制订一个奖励政策，按照此政策高级、中级、初级获奖人数分别为2，4，6。人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P113031P263821P212522P273522P312122P283922P412031P293523P511922P303612P611513P313421P721412P323322P821622P333232P921322P343521P102821P353422P1121033P363633P122931P373812P132823P383511P1421222P393322P1521331P403421P1621122P413122P1721033P243521P182722P433222P192831P443333P202932P453611P2121022P463422P2221122P473221P2321322P483611P2421022P493322P252833P503122说明：1、职称中的1，2，3分别表示高级、中级、初级；2、学历中的1，2，3分别表示研究生、本科、专科；3、教学中的1，2，3分别表示好，一般，差。模型分析、建立与求解我们的目标就是给这50为教师进行一个客观的排名，也就是根据现有的有关他们的数据给他们打分，然后根据分数进行排名，并且将工龄以5年为单位分成6个等级，然后把职称、学历和教学的1、2、3看成是3个等级，而不是纯粹的数据，再用隶属函数的升岭型分布将它们进行规范化处理，然后对四个指标进行标准化处理。考虑到职称、工龄、学历、教学等因素在实际应用中可能占有不同的比重，因此需求出个指标的权重。我们利用层次分析法和模糊综合评价两种方法求解权重，然后将两种方法的权数整合到一起。2.1工龄的标准化处理首先将工龄以5年为单位分成6各等级，工龄中的1，2，3，4，5，6则是根据他们的工龄由大到小进行的分类。也就是说在5年的单位内，他么的工龄性质上面是一致的，这样方便对于数值有一个宏观的把握。2.2指标的规范化处理由于职称、学历和教学的1，2，3只是3个等级的代名词，并不是纯粹的数据数值，因此我们不能直接用于计算应。因而，我们利用隶属函数的升岭型分布将它们（包括工龄的指标）进行现行规范化处理。由于职称、学历和教学三个指标是一样的，在利用上述公式时，我们选取C1=2，C2-C3=0.8，在计算工龄的时候，我们选取C1=3.5，C2-C3=0.5。2.3数据的标准化处理在此基础上，我们利用模糊综合评价对相应的四个指标进行量化，为了尽可能保持各评价指标值的变化信息，我们选取越小越优型指标的标准化处理公式。2.4指标的权重处理在得到最新数值的情况下，我们分别利用层次分析法和模糊综合评价方法对以上数据进行整合，分别求出4项指标的权重。其中设a表示职称，b表示工龄，c表示学历，d表示教学。层次分析法（递阶层次结构模型）层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体上可以按照一下三个步骤进行：①建立递阶层次结构模型；②构造出各层次中的所有判断矩阵；③层次单排序及一致性检验【1】。由于题目中已经给出奖金评定的四个因素即：职称、学历、工龄、教学，则以下求解过程中只对这四个因素建立判断矩阵。在建立该矩阵时，我们对数据进行了相关性分析，即相对重要程度。以便于确定相对重要性时参考。为了更精确的确定这项指标的权重，采用9标度层次分析法对其进行权重的设立相应的比较矩阵如下：通过公式计算比较矩阵的权重。得到a的权重为：125/363=0.3443526。同理可得b，c，d的权重，见下表：指标对应权重职称a0.3443526工龄b0.2066116学历c0.1873278教学d0.261708表1层次分析权重为了保证以上判断的客观性，必须对比较矩阵进行一致性检验,即运用公式计算一致性指标C.R。过程如下：经过计算机编程计算，（程序见附录）为了度量判断矩阵是否具有满意的一致性，这里引入判断矩阵的平均随机一致性指标系数RIC(n)值，如下表【1】：阶数n3456789RIC(n)0.5780.4870.4510.3770.3210.3080.277表2模糊综合评价RIC(n)有可见，C.R<0.1，所以以上对职称a、工龄b、学历c、教学d的权重设立的过程是客观、一致、合理的。模糊综合评价法（模糊综合评价模型）设有n个评价指标组成对全体m个方案的评价指标样本集数据，各指标值x(i，j)均为非负值。为了尽可能保持各评价指标值的变化信息，对越大越优型的标准化处理公式为：对越小越优型指标的标准化处理公式为：数据处理结果如下：人员职称（a）工龄（b）学历（c）教学（d）P10.750.9677419350.250.75P20.750.8064516130.50.5P30.750.6774193550.50.5P40.750.645161290.250.75P50.750.6129032260.50.5P60.750.4838709680.750.25P70.50.4516129030.750.5P80.50.5161290320.50.5P90.50.4193548390.50.5P100.50.2580645160.50.75P110.50.3225806450.250.25P120.50.2903225810.250.75P130.50.2580645160.50.25P140.50.3870967740.50.5P150.50.4193548390.250.75P160.50.354838710.50.5P170.50.3225806450.250.25P180.50.2258064520.50.5P190.50.2580645160.250.75P200.50.2903225810.250.5P210.50.3225806450.50.5P220.50.354838710.50.5P230.50.4193548390.50.5P240.50.3225806450.50.5P250.50.2580645160.250.25P260.250.2580645160.50.75P270.250.1612903230.50.5P280.250.2903225810.50.5P290.250.1612903230.50.25P300.250.1935483870.750.5P310.250.1290322580.50.75P320.250.0967741940.50.5P330.250.0645161290.250.5P340.250.1612903230.50.75P350.250.1290322580.50.5P360.250.1935483870.250.25P370.250.2580645160.750.5P380.250.1612903230.750.75P390.250.0967741940.50.5P400.250.1290322580.50.75P410.250.0322580650.50.5P420.250.1612903230.50.75P430.250.0645161290.50.5P440.250.0967741940.250.25P450.250.1935483870.750.75P460.250.1290322580.50.5P470.250.0645161290.50.75P480.250.1935483870.750.75P490.250.0967741940.50.5P500.250.0322580650.50.5表3模糊综合评价法数据处理根据模糊评价矩阵R=(r(i,j))n*m构造用于确定个评价指标权重的判断矩阵B=(bij)n*n。模糊综合评价的实质是一种优选过程，可得到1～9级判断尺度的判断矩阵:式中Smin，Smax分别为{s(i)|i=1～n}的最小值和最大值，相对重要性程度参数值bm=min{9,int[Smax/Smin+0.5]}，min和int分别为取小函数和取整函数。此处，bm=2，计算结果如下：为了度量判断矩阵是否具有满意的一致性，这里引入判断矩阵的平均随机一致性指标系数RIC(n)值，如下表【1】：阶数n3456789RIC(n)0.5780.4870.4510.3770.3210.3080.277表4模糊综合评价RIC(n)引入四阶矩阵的随机一致性指标C.I(ConsistencyIndex)可见，C.R<0.1，所以可认为该判断矩阵具有满意的一致性，据此计算的各评价指标的权重值是可以接受的；否则需提高参数d，直到具有满意的一致性为止。可用各评价指标的样本标准差：反映各评价指标对综合评价的影响程度，并用于构造判断矩阵B。其中i=Σr(i，p)／m为各评价指标下样本系列的均值，i=1～n。归一化得到以下数据：职称a工龄b学历c教学d权重0.271716970.2948926060.2370667110.19632371表5模糊综合评价权重通过计算机编程求解得到判断矩阵的一致性指标系数CIC(n)=0．0025。当CIC(n)<0．10时，可认为该判断矩阵具有满意的一致性，因此，用模糊综合评价法求得的各指标权重是有效的。加权平均将递阶层次结构模型和模糊综合评价模型所得结果进行加权平均，考虑到层次分析法含有我们的主观意念，而且它的一致性指标要大于模糊综合评价的一致性指标，我们给予0．4的权重，而给予模糊综合评价0．6的权重，最后得到以下相对满意的权重，即权重集A：abcd综合权重0.300771220.2595802040.2171711470.22247743表6综合权重2.5综合排序构造各位教师的信息矩阵：根据信息矩阵R、权重集A，得出评价值S，再进行百分化处理，可得出50位教师的综合得分。评价值公式：百分化处理公式：排序后所得结果如下：名次人员SQ1P4421.02256Q2P3623.53463Q3P3325.74714Q4P2928.12655Q5P4130.33906Q6P5030.33906Q7P4331.17642Q8P3232.01378Q9P3932.01378Q10P4932.01378Q11P2532.72862Q12P3532.85113Q13P4632.85113Q14P2733.68849Q15P1134.40333Q16P1734.40333Q17P4736.73836Q18P2837.03791Q19P1338.1579Q20P3138.41307Q21P4038.41307Q22P2039.12791Q23P3439.25042Q24P4239.25042Q25P3039.95512Q26P3741.62983Q27P2641.76249Q28P1842.88248Q29P1943.85249Q30P3844.6797Q31P1244.68985Q32P2145.39454Q33P2445.39454Q34P4545.51706Q35P4845.51706Q36P1646.2319Q37P2246.2319Q38P1447.06926Q39P947.90661Q40P2347.90661Q41P1548.03927Q42P1049.28177Q43P850.41868Q44P754.17325Q45P656.96795Q46P560.45002Q47P461.42004Q48P362.12474Q49P265.47416Q50P169.79359表7教师得分排序2.5.1给出一个对所有教师都奖励的合理政策；若需要对所有教师都奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：其中，k1表示比例系数，Spi表示第i个教师的综合得分。若有奖金M元，则第i个教室应分得的奖金是元。2.5.2若只奖励30人，如何确定人选？根据50名教师的综合得分，提取前30人，他们是：P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P10，P15，P23，P9，P14，P22，P16，P48，P45，P24，P21，P12，P38，P19，P18，P26，P37，P30，P42，P34，P20，P40。将这30人的信息提取出来：人员职称（a）工龄（b）学历（c）教学（d）P113031P212522P312122P412031P511922P611513P721412P821622P921322P102821P122931P1421222P1521331P1621122P182722P192831P202932P2121022P2221122P2321322P2421022P263821P303612P343521P373812P383511P403421P423521P453611P483611表8前30名教师信息并根据权重大小，制定政策。分析提取出来的30为教师的数据时，职称的权重最大。根据主导因素法则，限制因子法以及逆向考虑法。首先考虑职称，职称考虑完毕，再考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。所得政策如下：职称为1的教师全部奖励。职称为2的教师，考虑限制因子，P11、P17和P25三位教师的教学、学历同为3等级，这两个因素为其联合限制因子。获奖者的教学、学历等级不能同时为3。职称为3的教师，考虑他们为何不能得到奖金。分析：由于获奖教师的工平均数在5年，所以舍弃工龄因素。考虑教学和学历，对比发现，当教学和学历等级两项小于等于2（不能同时为2）时，他们获得奖金。四、确定奖金数额，若需要这些教师进行奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：其中教师应分得的奖金是元。SQi表示第i名教师的综合得分。以上政策可简化为：满足以下任一条件者，可获得奖金：职称为1，其他无限制；职称为2，教学、学历等级不同时为3，工龄无限制；职称为3，教学、学习等级小于等于2（不同时为2），工龄无限制；确定获奖人员后，奖金按教师综合得分成比例分配。分配值为元。2.5.3如何制订奖励政策，恰好使高级、中级、初级教师的获奖人数是给定的数。设定高、中、低级教师获得奖金人数分别为x、y、z，其中。则对50名教师的排序过程中，由于各个教师的综合得分中，职称所在权重一样，而各个等级中，教师的职称所在分值一样，所以可以舍弃职称因素而排序，排序结果如下：名次人员SQ1P169.79359Q2P265.47416Q3P362.12474Q4P461.42004Q5P560.45002Q6P656.96795表9高级职称排序名次人员SQ1P754.17325Q2P850.41868Q3P1049.28177Q4P1548.03927Q5P947.90661Q6P2347.90661Q7P1447.06926Q8P1646.2319Q9P2246.2319Q10P2145.39454Q11P2445.39454Q12P1244.68985Q13P1943.85249Q14P1842.88248Q15P2039.12791Q16P1338.1579Q17P1134.40333Q18P1734.40333Q19P2532.72862表10中级职称排序名次人员教师Q1P4545.51706Q2P4845.51706Q3P3844.6797Q4P2641.76249Q5P3741.62983Q6P3039.95512Q7P3439.25042Q8P4239.25042Q9P3138.41307Q10P4038.41307Q11P2837.03791Q12P4736.73836Q13P2733.68849Q14P3532.85113Q15P4632.85113Q16P3232.01378Q17P3932.01378Q18P4932.01378Q19P4331.17642Q20P4130.33906Q21P5030.33906Q22P2928.12655Q23P3325.74714Q24P3623.53463Q25P4421.02256表11低级职称排序在排序结果中，可取相应人数。政策制定方法如2.5.2。2.5.4能否制订一个奖励政策，按照此政策高级、中级、初级获奖人数分别为2，4，6。方法与2.5.3相同，则获得奖金名单如下：高级职称：P1,P2中级职称：P7,P8,P10,P15低级职称：P48,P45,P38,P26,P37,P30则所得政策为：在职称一定的情况下分析获奖人员名单的条件，按照权重大小，首先考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。高级职称时，先考虑工龄，发现P1,P2的工龄都在25年及以上。中级职称时，先考虑工龄，工龄大于等于8年，再考虑教学，教学等级大于等于2，最后考虑学历，由于获奖者中学历等级有1、2、3，则，学历无限制。低级职称时，先考虑工龄，工龄大于等于5年，在考虑，教学与学历，发现，获奖者的教学与学历等级都不为3，且不同时为2。特殊情况，当学历等级为2，教学等级为1时，工龄必需大于5。确定奖金数额，对数据进行整理，将要获得奖金的教师及其综合得分如下：人员SP169.79359P265.47416P754.17325P850.41868P1049.28177P1548.03927P4545.51706P4845.51706P3844.6797P2641.76249P3741.62983P3039.95512若需要这些教师进行奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：其中教师应分得的奖金是元。Spi表示第i名教师的综合得分。以上政策可简化为：满足以下任一条件者，可获得奖金：当职称为1时，工龄在25年及以上；当职称为2时，工龄在8年及以上，教学等级不为3，学历无限制；当职称为3时，工龄在5年及以上，教学、学历等级都不为3，且不同时为2；特殊情况，当职称为3，学历等级为2，教学等级为1，工龄必须大于5年。确定获奖人员后，奖金按教师综合得分成比例分配。分配值为元模型假设1.在5年的单位内，他么的工龄性质上面是一致的2.在分析奖金发放政策时，仅考虑职称、工龄、学历和教学4项指标对其影响，其余因素影响忽略，记为0。符号说明Wi权重wj权重R信息矩阵A权重集Spi第i位教师的综合得分Ki奖金发放比例系数W总奖金数Qi名次模型优缺点优点：对原有数据进行规范化，简化了相关指标项的复杂度。层次分析法与模糊综合评价两种方法相互印证，受主观因素影响小。根据指标基本特性运用了升岭型分布方法对指标进行规划处理，使得模型更加科学严谨，具有很好的通用性和推广性。缺点：忽略了每个指标间可能存在的联系没有考虑除职称、工龄、学历、教学外，其他因素对奖金发放的影响。模型的推广与改进实际生活中，影响奖金发放的因素错综复杂，在我们所建立的模型中，我们只考虑出了职称、工龄、学历和教学4项指标，而这些指标中，我们均将其规范化，即划分档次进行统计分析。只是无法精确描述实际生活的。所以，我们可以在模型中考虑更多的影响以及各指标间的内在联系，比如加班情况、科研成果、某段时期教师的突出贡献、学校重大工程建设对教师的影响等。这样一来，我们的模型就更加贴近实际，得出的预测结果就会更加准确。相关建议由模型计算得出的结果可知，获得奖励者多为高职称，高学历和教龄较长者，而其他教师的获奖几率相对较低，针对这种情况，我们分析得出几点建议：1.适当增加对青年教师的奖励名额，激励青年教师投身教育事业；2.加强对教职员工的教育培训，提高教师的集体素质与教学水平。参考文献【1】郑卫国、田其冲，层次分析法在奖金发放问题中的应用，45/qikan/periodical.articles/gddnydx/gddn2009/0907pdf/090725.pdf，2010.4.3【2】周开例、邓春辉，MATLAB基础及应用教程，北京大学出版社，2007【3】雷功炎，数学模型八讲——模型模式与文化北京大学出版社2008【4】文益君，高校教师教学质量评价模型的研究，45/qikan/periodic