浅谈线性代数中矩阵的运算及其规律

华北水利水电学院浅谈线性代数中矩阵的运算及其规律课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：时间：2012年11月5日正文：1引言摘要：矩阵的运算在线性代数中拥有无可替代的作用，是一项必须打牢的工作。本文就简要的多我们所学的线性代数中的基本的矩阵运算进行简要的阐述与再学习。关键词：行列式运算，转置运算，逆矩阵运算，伴随矩阵运算一．行列式的运算n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1．利用行列式定义直接计算例计算行列式解：Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于，故2．利用行列式的性质计算例：一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由知，即故行列式Dn可表示为，由行列式的性质，当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例1计算行列式．解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．计算n阶行列式．解：这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．例3；计算n阶行列式解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得注意：行列式与矩阵的区别：（1）

行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2）

行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3）

一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4）

两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5）

当时，有意义，而无意义.计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。二、矩阵的转置1.定义：把一个m×n矩阵的行和列互换得到的n×m矩阵，称为转置矩阵。2.运算规律；；；三.逆矩阵的运算定义：设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得，那么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。记作：用伴随矩阵法求逆矩阵利用伴随矩阵法求逆矩阵，首先需要判断n阶方阵A是否是可逆矩阵。我们知道，n阶方阵A是可逆矩阵的充分且必要条件是：.然后直接利用公式：，其中称为n阶方阵A的伴随矩阵，它可以通过计算n阶方阵A的个代数余子式而得到。求矩阵A的逆矩阵。其中解：因为：所以A是可逆矩阵，通过计算A行列式的所有元素的代数余子式如下：=-5,=10,=72,=-2,=-2,=-1,=2,=1于是：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆，既方便、快捷，又有规律可循。因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元矩阵是三阶或三阶以上的行列式，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上的代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上的行列式，工作量大且中途出现符号及计算的差错，但是公式的意义主要在于理论证明。2.初等变换法我们知道，n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是它能表示一系列初等矩阵的乘积，从而可以推出可逆矩阵可以通过一系列的初等变换后化成单位矩阵，即有一系列初等矩阵使(1)则(2)将A,I这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个阶矩阵（A,I），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可合并写成：这样就可以求出A的可逆矩阵。简单的说，如果n阶方阵A可逆，作一个的矩阵（A,I），然后对此矩阵施以行初等变换，使A化为单位矩阵I，同时I化成，即例2、求矩阵的逆矩阵。解：作36矩阵对它施行行初等变换（不能施行列初等变换！）第1行分别乘以-2和3加到第2行、第3行上，得对后以矩阵的第2行乘以-2加到第3行上，得第3行分别乘以1和()加到第2行、第1行上，得第3行乘以得前三列已变成,所以后三列即为所以初等变换法的优点就更为明显，只需要反复进行行初等变换法即可，另外，如果不知矩阵是否可逆，同样可按上述方法去做，因为我们知道，n阶方阵是可逆矩阵的充分必要条件是它可通过初等变换化为单位矩阵。因此，只要矩阵经过行初等变换后左边的那一块中有一行（列）的元素全为0，则A就不能用初等变换化为单位矩阵，那么A就不可逆。3、用分块矩阵法求逆矩阵在进行高阶矩阵运算时，利用前面的两种方法就显得比较繁琐，计算量比较大，容易出现差错。这时我们按某种规则将高阶矩阵分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，另一方面每个小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。设T为可逆矩阵，A、B也为可逆矩阵。则对于一般的矩阵，则它的求逆矩阵的公式为：对于一些特殊的矩阵，它的求逆矩阵的公式就简单一些：对于上三角矩阵：对于下三角矩阵：对于对角矩阵：例3、求矩阵的逆矩阵。解：令因为,,故：=此方法适用于大型且能化成对角子矩阵或三角块矩阵，是特殊方阵求逆的一种方法，将高阶矩阵分成低阶矩阵。利用这种方法要求在求逆矩阵之前，首先要将已给定的矩阵进行合理的分块方能使用。不合理的分块也可能导致更大的计算量。4、用解方程组法求逆矩阵在求一个矩阵的逆矩阵的时候，可以先设出逆矩阵，待求的元素用未知数代替。然后根据逆矩阵的定义,再利用方程组的知识，两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，通过解方程组，解出未知数，代入开始设的逆矩阵，便可求解逆矩阵。例4、求矩阵的逆矩阵。解：设可逆矩阵A的可逆矩阵为X，X=，由逆矩阵的定义可得：其中（i=1，2，3）即：两端对应元素相等,得到：解方程组得：于是，所求的逆矩阵为：总结：逆矩阵在线性代数中占据着重要地位，是我们大家学习必不可少的一个知识点。然而求解逆矩阵的方法更为重要，简单快捷的方法可以帮助我们更快更好的解决问题。上面介绍了求解逆矩阵的几种常用方法，这几种方法各有所长，在解决问题的过程中，选择恰当的方法可以帮助我们花费更少的时间，省去不少的麻烦。四、伴随矩阵运算1.

伴随矩阵的运算法则：五.分块矩阵的运算:1.将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵.2.分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块