2021年上海中考数学母题讲次19 圆（一）（教师版）

专题19圆（一）

母题呈现

【母题来源1】（2019•上海中考真题）已知DA与DB外切，0C与DA、B都内切，且AB=5,AC=6,

BC=7,那么DC的半径长是（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】C

【解析】

通过外切、内切的性质，列出方程组求解.

设E3A的半径为X,DB的半径为Y,QC的半径为Z.

X+Y=5

<Z—X=6

z-y=7

Z=9

解得<X=3

Y=2

故选c

【母题来源2］（2020•上海中考真题）在矩形“88中，AB=6,BC=8,点。在对角线/C上，圆。的半径

为2,如果圆。与矩形/8C。的各边都没有公共点，那么线段40长的取值范围是—.

【解析】

根据勾股定理得到AC=10,如图1,设匚O与AD边相切于E,连接OE,证明□/（?£口口48即可求出与

AD相切时的AO值；如图2,设O与BC边相切于F,连接OF,证明」。。户口口。/8即可求出BC相切时

的AO值，最后即可得到结论.

解：在矩形48。中，□LD=90°,AB=6,BC=8,QAC=10,

如图1,设匚。与力。边相切于E,连接。E,

则OEUAD,OEHCD,

□LAOEDQACD,

OEAO

-----=-----

CDAC

AO2

□=—

106

10

QAO=—；

3

如图2,设匚。与5c边相切于尸，连接。F,

贝ijOFJBC,DOF//AB,

COFQUCAB,

OCOF

---=----

ACAB

OC2

□---=—

106

10

口oc=—,

3

20

CAO=—,

3

匚如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是3.

33

1020

故答案为:—<AO<—.

33

【母题来源3］（2017•上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n>4）的最短对角线与最长对角

线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为人，那么乂=

【答案】遮

【解析】

解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O,连接EC.

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线,

匚匚OBC是等边三角形

OBC=iOCB=【BOC=60°,

□OE=OC

□□OEC=DOCE,

□□BOC=ZOEC+DOCE

□OOEC=DOCE=30°

□□BCE=90°,

BEC是直角三角形

—=Cos300=^,

醒S

【母题来源4】（2018•上海中考真题）如图，已知口POQ=30°,点在射线0Q上（点A在点01B之间）,

半径长为2的DA与直线0P相切，半径长为3的1B与DA相交，那么0B的取值范围是（）

A.500BD9B.4EOBD9C.3QOBa7D.2QOBD7

【答案】A

【解析】

作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得：OA=4,再确认IB与匚A相切时，OB的长，即可得结论.

设「A与直线OP相切时切点为D,连接ADO

□ADnopn

□□0=30°二AD=2口

□0A=4L

当LB与LA相内切时，设切点为C,如图1口

□BC=3

□OB=OA+AB=4+3D2=5C

当IA与匚B相外切时，设切点为E,如图2

□0B=0A+AB=4+2+3=9

□半径长为3的门B与DA相交，那么0B的取值范围是：50B9

故选A口

P

【母题来源5】（2015•上海中考真题）如图，已知在口。中，A8是弦，半径垂足为点。，要

使四边形。AC8为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）.

A.AD=BDB.OD=CD

C.NCAD=4CBDD.ZOCA=ZOCB.

【答案】B

【解析】

试题分析：根据垂径定理，可知AO=O3,若再加上OO=CO,则四边形04cB满足对角线互相平分，

可判定为平行四边形；再结合已知条件则满足对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B

符合题意.

【母题来源6](2020•上海中考真题)如图，/8C中，。是UN8C的外接圆，80的延长交边

4C于点D

(1)求证：UBAC=2UABDi

(2)当asc。是等腰三角形时，求8co的大小;

(3)当工。=2,8=3时，求边8c的长.

2

【解析】

(1)连接OA.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

(2)分三种情形：U若BD=CB,则UC=L]BDC=UABD+LJBAC=3LABD.L若CD=CB,贝ij

CBD=CDB=3ABD.□若DB=DC,则D与A重合，这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构建

方程求解即可.

ApAn2AOAF3

(3)如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E.则一=——=一，进而得到——=——=二，设OB=OA=4a,

BCDC3OHBH4

OH=3a,根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,构建方程求出a即可解决问题.

解：(1)连接04如下图1所示:

图1

CAB=AC,

□=

QCBAO=UCAO.

□OA=OB,

\2LABD=\BAO,

□匚B4c=2MBD.

(2)如图2中，延长NO交6c于”.

口若BD=CB,则口。=口3。。=14&)+：］比1。=3口45。.

□AB=4C,

JBC=DC,

\JUDBC=2DABD.

DBC+r\C+rBDC=\SO0,

L8L4BO=180。,

□匚。=3匚450=67.5。.

口若CD=CB,贝lJ□CBQ=[85=3L/B。，口口。=4口为8。.

□匚DBC+□C+□CDB=180°,

□10匚480=180。，

DLBCD=4UABD=72°.

口若DB=DC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述：C的值为67.5。或72。.

(3)如图3中，过4点作ZE〃8C交8。的延长线于瓦

-A--O=AE=一4

OHBH3

设O8=ON=4“，OH=3a.

则在RfCUBH和心OBH中,

匚Blf=AB2-A^OB2-OH2,

25-49a2=16a2-9a2,

,25

Ca2=—,

56

572

匚BC=2BH=21±..

2

故答案为：迪

2

□y避

母题褐秘

考点一、圆的有关概念

1.圆的定义

如图所示，有两种定义方式:

口在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

做圆.固定的端点0叫做圆心，以0为圆心的圆记作L0,线段0A叫做半径；

口圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

知识要点：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

2.与圆有关的概念

口弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB,BC,AC都是弦.

□直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是U0的直径，直径是圆中最长的弦.

□弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧,如曲线BC,BAC都是-0中的弧,分别记作BC,BAC.

口半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆.

「劣弧：像6c这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧.

优弧：像84C这样大于半圆周的圆弧叫做优弧.

口同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.

□弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

「等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

「等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中—AOB,BOC是圆心角.

⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中BAC、1ACB都是圆周角.

考点二、圆的有关性质

1.圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.圆是中心对称图形，圆心是对称中心,

又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合.

2.垂径定理

L垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧.

□平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示：

D

知识要点：在图中(1)直径CD,(2)CD匚AB,(3)AM=MB,(4)AC=8C,(5)AD=BD.若上述5个条

件有2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.

注意：⑴⑶作条件时，应限制AB不能为直径.

3.弧、弦、圆心角之间的关系

L在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

□在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

4.圆周角定理及推论

□圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

L圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

知识要点：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.

考点三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

设点与圆心的距离为d,圆的半径为八，

则点在圆外。d>r；点在圆上=d=r；点在圆内od<r.

②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆.

③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

知识要点：

(1)圆的确定：

口过一点的圆有无数个，如图所示.

□过两点A、B的圆有无数个，如图所示.

口经过在同一直线上的三点不能作圆.

口不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

(2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接

圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就

是三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径.如图所

示.

2.直线与圆的位置关系

」设「为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表.

①设圆心到直线/的距离为d,圆的半径为八，

则直线与圆相离=d>r；直线与圆相切od=r；直线与圆相交od<r.

匚圆的切线.

切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.

切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

友情提示：直线/是。的切线，必须符合两个条件：L直线/经过UO上的一点A；」0A/.

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条

切线的夹角.

□三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内

心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.

知识要点:

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.

三角形外心、内心有关知识比较

①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

②三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(RNr).d为圆心距.

①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

设两圆心的距离为,两圆的半径为八、々，则两圆外离＜=＞4＞彳+日

两圆外切od=4+与

两圆相交一目＜d＜rx+r2

两圆内切。。=卜一回

两圆内含04＜卜一目

②两个圆构成轴对称图形，连心线(经过两圆圆心的直线)是对称轴.

由对称性知：两圆相切，连心线经过切点.两圆相交，连心线垂直平分公共弦.

③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.

两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线.

两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线.

④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

知识要点：

口相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍.其中相切和相交是重点.

「同心圆是内含的特殊情况.

L圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

□?一球时,要特别注意，n>r2.

考点四、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半

径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多

边形的每一个中心角都等于国

n

知识要点:

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正多边形都是轴对称图形，偶数

条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心

距）之比.

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算.

能=随，Cs幽

nnn

\2

R2"2+

I2,Pn=nan,

7

考点五、圆中的计算问题

1.弧长公式：1=皿,其中/为n。的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.

180

白八几兀其中5扇=3伏.圆心角所对的扇形的面积，另外5扇=；》.

2.扇形w面M积in公式4：5c扇=—-R—-

360

3.圆锥的侧面积和全面积:

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.

知识要点：

在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径.

考点六、求阴影面积的几种常用方法

（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形法；（5）构造方程法.

一、单选题

1.（2020・上海崇明•）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆

的圆心为图中的（）

A.MB.PC.QD.R

【答案】C

【解析】

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB,BC的垂直平分线即可得到答案.

解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图,

它们都经过Q.所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.

故选C.

2.（2019・上海江湾初级中学初三三模）UO是一个正〃边形的外接圆，若UO的半径与这个正〃边形的边长

相等，则N的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60。，即可求出边数.

匚。是一个正〃边形的外接圆，若10的半径与这个正n边形的边长相等，

则这个正〃边形的中心角是60°,

360°+60。=6

n的值为6,

故选C

【点睛】

考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.

3.（2018•上海闵行•中考模拟）点工在圆。上口已知圆。的半径是4如果点/到直线a的距离是8U那么圆

。与直线a的位置关系可能是口

A.相交B.相离C.相切或相交D.相切或相离

【答案】D

【解析】

「点/在圆。上口已知圆。的半径是4□点/到直线。的距离是8D

匚圆。与直线。的位置关系可能是相切或相离口

故选D

4.（2020・上海大学附属学校初三三模）下列说法中，正确的是（）

A.垂直于半径的直线是圆的切线；

B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；

C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；

D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线.

【答案】B

【解析】

由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，

故选：B.

5.（2020・上海大学附属学校初三三模）如图，口0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,A=15。，半径为2,

则弦CD的长为（）

A.2B.-1C.V2D.4

【答案】A

【解析】

根据圆周角定理可知匚COE=30。，CE=yOC=1,再由垂径定理可知CE=《CD,即可求出CD的长.

解：口口人=15。，

□匚COE=30。，

□匚0的直径AB垂直于弦CD,半径为2,

CE=—OC=1,

2

□CE=-CD,

2

CD=2

故选：A

6.（2020・上海大学附属学校初三三模）下列命题中，正确的是（）

A.三点确定一个圆

B.平分弦的直径必垂直于这条弦

C.已知两圆的半径分别为《和弓，圆心距为d,如果两圆外离，则。＞弓+与

D.圆心角相等，它们所对的弧也相等

【答案】C

【解析】

根据圆的概念、垂径定理、圆与圆的位置关系、圆心角定理逐项判断即可.

A、不在同一条直线上的三点确定一个圆，此项错误

B、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，此项错误

C、由圆与圆的位置关系可知，已知两圆的半径分别为弓和弓，圆心距为d,如果两圆外离，则d>4+与,

此项正确

D、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，此项错误

故选：C.

7.（2020•上海普陀•初三二模）如图，已知/、B、C、。四点都在口。上，08口AC,BC=CD,在下列四个

说法中，口AC=2CO；□ZC=2C。；UOCBD；□□力OO=3「8OC,正确的个数是（）

C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

根据题意和垂径定理，可以得到/C=5。，AB=BC，CD=BC，然后即可判断各个小题中的结论是否

正确，从而可以解答本题.

解：UOBCAC,BC=CD,

口，AB=BC，CD=BC，，

LAC=2CD，故口正确；

AC<AB+BC=BC+CD=2CD,故；错误；

OC3BD,故□正确；

AOD^3GBOC,故口正确:

故选：c.

8.（2020・上海宝山•初三一模）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得

到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

C.24一6D.2%_2G

【答案】D

【解析】

莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的

面积，分别求出即可.

过A作AD」BC于DEI

□□ABC是等边三角形,

□AB=AC=BC=2□□BAC=23ABC=匚ACB=60°匚

□ADUBC

□BD=CD=1OAD=6BD=出□

I□ABC的面积为■BOAD」x2x0=百

22

u607rx222

S扇形BAC=--------=-TC

3603

2

□莱洛三角形的面积S=3x-^C2x73=27tD2V30

故选D口

9.（2020•上海金山•初三二模）如图，UMCW=30°,2是LMON的角平分线，P。平行CW交0M于点0,以

P为圆心半径为4的圆ON相切，如果以。为圆心半径为，•的圆与。P相交，那么;■的取值范围是（）

A.4<r<12B.2<r<12C.4</<8D.r>4

【答案】A

【解析】

过点Q作QA匚AN于A,过点P作PB10N于B,得到四边形ABPQ是矩形，QA=PB=4,根据口加。呼=30。

求出OQ=2QA=8,根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8,再分内切与外切两种求出半径r,即可

得到两圆相交时的半径r的取值范围.

过点Q作QAC1AN于A,过点P作PBCION于B,

匚PQE20N,

□PQDPB,

□□QAB=1QPB=L1PBA=9O。，

L四边形ABPQ是矩形，

匚QA=PB=4,

□□MON=30。,

□OQ=2QA=8,

□OP平分LMON,PQLON,

□「QOP=IPON=DQPO,

□PQ=OQ=8,

当以。为圆心半径为〃的圆与。P相外切时，r=8-4=4,

当以。为圆心半径为，•的圆与。尸相内切时，r=8+4=12,

L以0为圆心半径为〃的圆与。尸相交，4<r<12,

故选：A.

10.（2020•上海浦东新•初三二模）矩形ABC。中，AB=5,BC=12,如果分别以A、。为圆心的两圆

外切，且点。在圆C内，点5在圆C外，那么圆A的半径厂的取值范围是（）

A.5<r<12B.18<r<25C.1<r<8D.5</•<8

【答案】C

【解析】

解：□在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,+BC1=13>

口点D在;」C内，点B在」C外，DDC的半径R的取值范围为：5<R<12,

□当「A和DC外切时,圆心距为13等于两圆半径之和，则R+r=13,

又口5<1<<12,则5V13-rV12,Dl<r<8.

故选：C.

11.（2018・上海黄浦•中考模拟）下列命题中，假命题是（□

A.如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

B.如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

C.如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；

D.如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧.

【答案】C

【解析】

利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案.

A□如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧口那么这条直线经过圆心口并且垂直于这条弦口正确□是真命题口

B口如果一条直线平分弦所对的两条弧口那么这条直线一定经过圆心口并且垂直于这条弦□正确口是真命题口

C□如果一条直线经过圆心［并且平分弦「那么该直线不一定平分这条弦所对的弧□不一定垂直于这条弦

例如□任意两条直径一定互相平分且过圆心□但不一定垂直口错误□是假命题口

D□如果一条直线经过圆心口并且垂直弦匚那么该直线平分这条弦和弦所对的弧匚正确□是真命题口

故选C

12.（2019•上海市南塘中学中考模拟）己知口4的半径A8长是5,点。在A3上，且AC=3,如果

□。与匚A有公共点，那么□。的半径长尸的取值范围是（）

A.r>2B.r<8C.2<r<8D.2<r<8

【答案】D

【解析】

先确定点。到的最大距离为8,最小距离为2,利用口。与口4相交或相切确定厂的范围.

解：LIUA的半径A8长是5,点。在A8上，且AC=3,

1点。到UA的最大距离为8,最小距离为2,

□□C与□A有公共点，

□2<r<8.

故选D.

13.（2018•上海普陀•初三一模）如图，已知N8和CZ）是匚O的两条等弦.OMZIABUON^CD,垂足分别为

点朋UVUA4UDC的延长线交于点P,联结。尸.下列四个说法中：

匚48=0£）口口0助=0%口口以=P（:口口匚5/>0=匚。尸0,正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

如图连接OBDODO

□AB=CDQ

DAB=CD＞故□正确

□OMLABDONDCDD

□AM=MBQCN=NDD

BM=DND

□OB=ODD

□RtnOMBORtnONDn

□OM=ON,故匚正确，

□OP=OP口

□RtIJOPMURtUOPNJ

□PM=PN□LOPB=LOPD,故U正确，

□AM=CND

□PA=PC,故□正确，

故选D

14.（2019•上海市西南模范中学初三二模）若一个正九边形的边长为则这个正九边形的半径是（）

aaaa

A.B.c.D.

cos20°sin20°2cos20°2sin20°

【答案】D

【解析】

先根据题意画出图形，经过圆心0作圆的内接正n边形的一边AB的垂线0C,垂足是C.接0A,则在直

角「OAC中，□AOB=一，一.0C是边心距，0A即半径.根据三角函数即可求解.

解答：如图所示，过。作OCDAB于C,则OC即为正九边形的边心距，连接OA,

360°

□此多边形是正九边形，EmAOBu-------=40°,OA=OB,

9

11

□□AOC=-DAOB=-X40°=20°,

22

1

□AB=a,DAC=­a,

2

a

AAa

EOA==2

sin/AOC2sin20°

sin20°

故选D.

15.（2019・上海青浦•初三二模）如图，在梯形中，ADQBC,05=90°,AD=2,4B=4,8C=6,点

。是边8C上一点，以。为圆心，OC为半径的UO,与边/。只有一个公共点，则0C的取值范围是（）

13131414

A.4<0C<—B.4<OC<—C.4<0C<——D.4<0C<——

一3--333

【答案】B

【解析】

作。EU5C于E,当」。与边ZO相切时，圆心。与E重合，即OC=4；当。/=0C时，口0与交于点

13

A,设。/=OC=x,则O8=6-x,在Rt"80中，由勾股定理得出方程，解方程得出0C=1；即可得出

结论.

作。ELJBC于E,如图所示：

则。E=/8=4,BE=AD=2,

匚CE=4=DE,

当LO与边ZO相切时，切点为。，圆心。与E重合，即0C=4；

当。f=OC时，□。与交于点4

设O/=OC=x,则O8=6-x,

在Rt匚/8O中，由勾股定理得：42+（6-X）2=/,

13

解得：x=—；

13

口以。为圆心，0C为半径的U。，与边2。只有一个公共点，则OC的取值范围是

故选8.

16.（2019•上海江湾初级中学初三三模）如图，口。的半径为4,点A,B在口O上，点P在口。内,

3

sin/APB=',AB±PB,如果OPLOA,那么OP的长为（）

594

A.-B.3C.D.

353

【答案】D

【解析】

如图，连接OB,作BMJ.OP交OP的延长线于M,作ANLMB交MB的延长线于N.则四边形AOMN

是矩形，推出A、0、P、B四点共圆，根据圆周角定理得到/BOP=/BAP,根据三角函数的定义设

4

BM=4k,OM=3k,根据勾股定理得到k=（（负根己经舍弃），根据相似三角形的性质即可得到结论.

解：如图，连接OB,作BM，OP交OP的延长线于M,作AN1MB交MB的延长线于N.则四边形AOMN

是矩形，

・・・NAOP=/ABP=90°,

.・.A、0、P、B四点共圆，

.・./BOP=/BAP,

3

・.・sin/APB=—,

5

4

二.tan/BAP=—,

3

4BM

tan/BOM=tan/BAP=—=-----,设BM=4k，OM=3k,

3OM

在RtDOMB中，(4k)2+(3k)2=42,

4

解得k=§(负根已经舍弃)，

BM=—,OM=—,BN=MN-BM=&,

555

•.•/MBP+/BPM=90°，NMBP+/ABN=90°，

.../BPM=/ABN，

/BMP=zfANB=90°.

.-.□BMPDDANB,

,_P_B_—_P_M_

-AB-BN'

4pM

丁丁，

5

PM=—,

15

4

OP=OM-PM=-.

3

故选D.

二、填空题

17.（2019•上海长宁•中考模拟）边长为6的正六边形的边心距为

【答案】砧

【解析】

试题分析：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

「正六边形ABCDEF,

□□AOB=□BOC=DCOD=DDOE=□EOF=DAOF,

□□AOB=360°-6=60°,OA=OB,

□□AOB是等边三角形，

□OA=OB=AB=2,

OMOAB,

□AM=BM=1,

在LOAM中，由勾股定理得：OM=,0A2-

18.（2020•上海浦东新•初三三模）己知扇形的弧长为8,如果该扇形的半径长为2,那么这个扇形的面积

为_.

【答案】8

【解析】

扇形的面积=弧长X半径+2；代入用圆心角和半径表示的面积即可求得半径.

解：扇形面积=弧长x半径+2=8'2+2=8

故答案为8

19.（2019•上海长宁•初三二模）在RrAABC中，ZABC=9Q°,AB=6,BC=8.分别以点AC为圆心

画圆，如果点8在「A上，口。与□A相交，且点A在「。外，那么「。的半径长r的取值范围是.

【答案】4<r<10

【解析】

根据题意作图，根据圆与圆位置关系即可判断.

如图：

匚口。与口A相交,

C的半径长「最小为10-6=4,

口点A在口。外，

C的半径长「最大为小于10,

B|J4<r<10,

故答案为：4<r<10

20.（2020・上海静安•初三二模）如图，已知AB是口O的直径，弦CD交AB于点E,[]CEA=30。，OFOCD,

垂足为点F,DE=5,OF=1,那么CD=.

【答案】10-273

【解析】

根据AB是□。的直径，OFDCD,和垂径定理可得CF=DF,再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和

勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长.

解：1AB是O的直径，OFCD,

根据垂径定理可知：

CF=DF,

□□CEA=30°,

OEF=30°,

□OE=2,EF=,

匚DF=DE-EF=5-5

□CD=2DF=10-2G

故答案为：10-2百.

21.（2017•上海长宁•初三二模）在口/5。中，已知8c=4cm,以边/C的中点P为圆心1cm为半径画口尸,

以边Z8的中点。为圆心xc机长为半径画口。，如果」尸与U。相切，那么x=cm.

【答案】1或3

【解析】

根据三角形的中位线的性质得到PQ=2cm,」当口产与。相外切时，□当［P与□。相内切时、

列方程即可得出结论.

D8C=4c机，点尸是4C的中点，点0是N8的中点，

匚PQ=gBC=2cm,

U当［尸与U0相外切时，PQ=\+x=2,

□x=\cm,

□当LP与相内切时,PQ=\x-1|=2,

「x=3cvn（负值舍去），

匚如果与口0相切，那么x=lcm或3cw,

故答案为：1或3.

22.（2014・上海普陀•初三二模）R/DABC中，ZC=90°□AC=5□BC=12,如果以点。为圆心，厂为

半径，且口C与斜边A3仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是□

【答案】r=坐或5<7412

【解析】

因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上.

若d」r,则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；若dUr,则直线与圆相离.

解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边是由后=13口

当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于鲁口

当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则5口区12匚

AC

故半径r的取值范围是i=—或5Cr<12D

故答案为r=”或5」/12LI

13

23.（2020・上海宝山•初三一模）如图，已知正方形的各个顶点/、B、C、。都在上，如果P是A台

PE

的中点，PD与4B交于E点、,那么一=

DE

【答案］1二1

2

【解析】

连接OP，交AB于点F,连接4c.

根据垂径定理的推论，得OPAB,AF=BF.

根据90。的圆周角所对的弦是直径，则/C为直径.

设正方形的边长是1,则圆的半径是也.

2

根据正方形的性质，得□ONF=45。.

所以。尸=1，PF=隹二1.

22

UOPUAD,

PE_PF_6-1

---=----=------.

DEAD2

故答案为：1二1.

2

24.（2017•上海崇明•初三二模）在RtDABC中，口8=90。，BC=3,COSA=1,以点A为圆心，逐为半

径作圆，再以点C为圆心，2为半径作圆，那么这两圆的位置关系是.

【答案】外离

【解析】

先解直角三角形求出4C的长，再利用无理数的估算得到2+右与的关系，然后利用圆与圆的位置关系

即可进行判断.

A34

解：如图，-8=90°,cosA=——=一，1设/8=4x,AC=5x,

AC5

18C=3x,EI3x=3,解得x=l,EUC=5,

□&<3，D2+V5<5.

口以点力为圆心，、后为半径作圆和以点C为圆心，2为半径作圆相外离.

故答案为外离.

B

25.(2018•上海普陀•初三一模)已知RtABC中，□C=9()O[JAC=3BC=J7CDAB,垂足为点D,以点

D为圆心作DD,使得点A在D外，且点B在〕D内.设DD的半径为r,那么r的取值范围是

79

【答案】•yYXY：口

44

【解析】

先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论口

解：LiRtdABC中，OACB=90DAC=3aBC=T7□

22

EAB=A/3+(V7)=4D

□CDOABD

匚CD=^^LJ

匚AD・BD=CD2口

设AD=xaBD=4-xQ

9

解得x=7口

L点A在圆外，点B在圆内,

79

1•的范围是二〈九＜二□

44

79

故答案为一<x<一

44

26.（2017•上海普陀•中考模拟）如图，矩形ABCD中，如果以AB为直径的口。沿着滚动一周，点B恰

好与点c重合，那么与g的值等于.（结果保留两位小数）

AB-----

【答案】3.14

【解析】

分析口由题意可知口5。的长就是匚O的周长，列式即可得出结论.

详解□□以为直径的匚。沿着滚动一周，点8恰好与点C重合，口5。的长就是UO的周长，

BC

TI*AB=BC,[-----=7^3.14.

AB

故答案为3.14.

点睛：本题考查了圆的周长以及线段的比L解题的关键是弄懂BC的长就是一O的周长.

27.（2018・上海静安•）等腰；ABC中，AB=AC,它的外接圆门O半径为1,如果线段OB绕点O旋转90。

后可与线段OC重合，那么匚ABC的余切值是.

【答案】V2±lC

【解析】

分两种情况，

□1）当DABC为锐角三角形，

LAB=ACJOB=OCJ

匚AD垂直平分BCD

□OB=OCODBOC=90°a

□□OBD=45°Q

□OB=1,

□BD=OD=—□

2

□2）当［ABC为钝角三角形,

□AB=ACDOB=OCa

匚AD垂直平分BCD

EOB=OCDDBOC=90°n

LCOBD=45OQ

□OB=1D

□BD=OD=—□

2

故答案为&±1匚

28.（2018•上海杨浦•中考模拟）在REABC中，ACB=90°AC=8DBC=6,点D是以点A为圆心4为半径

的圆上一点，连接BD,点M为BD中点，线段CM长度的最大值为□

【答案】7

【解析】

作AB的中点E,连接EMEICE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求

得CE和EM的长，然后在CEM中根据三边关系即可求解.

作AB的中点E,连接EM1CE口

在直角UABC中，AB=7AC2+BC2=>/6W=10

匚E是直角DABC斜边AB上的中点，

1

口CE=-AB=5匚

2

匚M是BD的中点，E是AB的中点，

1

EME=-AD=2C

2

匚在匚CEM中，5-2<CM<5+2,BP3<CM<7D

U最大值为7U

故答案为7匚

三、解答题

29.(2020・上海黄浦•)已知：如图，圆。是匚Z8C的外接圆，NO平分ZZA4c.

(1)求证：U/5C是等腰三角形;

(2)当。4=4,AB=6,求边8c的长.

【答案】(1)见解析；(2)3手

【解析】

(1)连接08、OC,先证明UO8/=」OG4=UB/O=LJC/O,再证明」O/8LI_O/C得力8=4C,问题得证；

(2)延长NO交8c于点“，先证明/HQSC,BH=CH,设OH=b,BH=CH=a,根据。/=4,AB=6,

由勾股定理列出。、b的方程组，解得。、b,便可得BC.

解：(1)连接08、0C,

口OA=OB=OC,04平分匚BNC,

□匚OBA-UOCA=CBAO=QCAO,

在00/8和UCMC中，

NOAB=NOAC

<ZOBA=AOCA,

AO^AO

QGOABUUOAC(AAS),

□4B=AC

即LS8C是等腰三角形；

(2)延长40交8C于点，,

匚44平分口区纥，AB=AC,

AHBC,BH=CH,

设OH=b,BH=CH=a,

QBH2+OH2=OB2,OA=4,AB=6,

则a2+b2=16

Bffi+AgAB-0A=4,AB=6,

则/+（"4）2=36□

匚一匚得：80+16=20,

:.b=—,

2

把匕=!代入口得:

（舍）

222

3s

a=-----

2

2

匚BC=2a=3币.

30.(2020・上海松江•初三二模)如图，已知AB、AC是「0的两条弦，且