2021年上海市闵行区中考数学二模试卷（含解析）

2021年上海市闵行区中考数学二模试卷

一、选择题（每小题4分）.

1.下列运算中，运算结果正确的是（）

A.(x2)3=x5B.x2ex3=x5C.x2+x3=x5D.x,04-x2=x5

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（)

A.B-屈^CVx-yD-VX2+2X+1

3.在平面直角坐标系xOy中，一次函数〉=丘+8的图象如图所示,那么根据图象，下列结

论正确的是（）

C.攵VO,b<0D.k<0,b>0

4.如果一组数据为-1,0,1,0,0,那么下列说法不正确的是（)

A.这组数据的方差是0B.这组数据的众数是0

C.这组数据的中位数是0D.这组数据的平均数是0

5.下列命题中，真命题是（）

A.有两个内角是90°的四边形是矩形

B.一组邻边互相垂直的菱形是正方形

C.对角线相互垂直的梯形是等腰梯形

D.两组内角相等的四边形是平行四边形

6.如图，在△A8C中，ZC=90°，AC=BCf48=8,点P在边48上，。尸的半径为3,

OC的半径为2,如果0P和OC相交，那么线段AP长的取值范围是（)

B

A.0<AP<8B.\<AP<5C.1<AP<7D.4VAPV8

二、填空题(每小题4分)・

7.等的倒数是.

8.在实数范围内分解因式：2x-6=.

9.已知函数f(x)=—,那么f(3)=___.

X-1

10.方程”2xT=x的解是.

11.二元一次方程组(3x+2v=15的解是___________________.

Ix-2y=5

12.如果关于龙的一元二次方程无2+2x-c=0有两个相等的实数根，那么c=.

13.已知点A(xi,yi)和8(12,J2)均在反比例函数y=K(k>0)的图象上，且X2>xi

X

>0,那么yi(填V,>或=)

14.布袋中有五个大小一样的球，分别写有2.；；,F，^27,-y,普这五个实数，从

布袋中任意摸出一个球，那么摸出写有无理数的球的概率为.

15.为了解全区104000个小学生家庭是否有校内课后服务需求，随机调查了4000个小学生

家庭，结果发现有2800个小学生家庭有校内课后服务需求，那么估计该区约有

个小学生家庭有校内课后服务需求.

16.《九章算术》中记载了一种测距的方法.如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树

位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点,

组成边长为10米的正方形A8CZ),且A,D,E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E,

视线BE与边OC相交于点F,如果测得FC=4米，那么塔与树的距离AE为米.

17.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,ZA=60°，点。为A8中点，将△AC。沿直线

CD翻折后，点A落在点E处，设皮=Z,DB=b）那么向量布用向量Z,E表示

为.

18.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，

且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的

“最优覆盖菱形”.

问题：如图，在AABC中，AB=AC,BC=4,且△ABC的面积为"?，如果△ABC存在“最

优覆盖菱形”为菱形BCMN,那么m的取值范围是.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

<--1JL

2

9计算：（17§产+（华）-9+|l-V3|-

20.解不等式组：3.并把解集在数轴上表示出来.

9x+l>7x-3

■^3401234^

21.如图，四边形4BC£)是平行四边形，联结AC,AB=5,8c=7,cosB=—.

5

(1)求/ACB的度数；

(2)求sin/ACQ的值.

22.在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工

作.最初采用人工操作完成消毒任务.为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟

消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务.求人工操作每分钟

消毒面积为多少平方米.

23.如图，在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD,过点A作AEL8C,垂足为点E,过点E

作EFLCQ,垂足为点尸，联结OE,且OE平分/AOC.

(1)求证：AABE悬AECF；

(2)联结BQ,2。与AE交于点G,当时，求证《3=8?8仁

24.在平面直角坐标系xO)，中，抛物线)=-》2+〃江+〃经过点A(5,0),顶点为点B,对

称轴为直线x=3,且对称轴与x轴交于点C.直线y=fcv+b,经过点4,与线段BC交于

点E.

(1)求抛物线y--x2+mx+n的表达式；

(2)联结B。、EO.当△BOE的面积为3时，求直线y=fcr+Z>的表达式；

(3)在(2)的条件下，设点。为y轴上的一点，联结B。、AD,当8O=EO时，求N

D4。的余切值.

25.如图，在矩形ABC。中，AB=4,8c=8,点P在边BC上(点产与端点8、C不重合)，

以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线80的另一个交点为点E,直线CE与射线4。

交于点G.点M为线段BE的中点，联结设BM=y.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(2)联结AP,当A尸〃CE时，求x的值；

(3)如果射线EC与圆P的另一个公共点为点凡当aCP尸为直角三角形时，求△CPF

的面积.

参考答案

一、选择题（每小题4分）.

1.下列运算中，运算结果正确的是（）

A.（/尸=炉B.X2.X3=;V5c.x2+x3D.

解：•••（N）3=f#彳5,故A运算结果错误；

N•如=必，故B运算结果正确；

N与炉不是同类项，不能合并，故C运算结果错误；

/。+》2=好故。运算结果错误.

故选：B.

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.需B.^5^3C.D.VX2+2X+1

解：涓的被开方数是分数，因此它不是最简二次根式；

而静的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式；

正刀符合最简二次根式的定义，因此它是最简二次根式；

Jx2+2x+l=J（x+l）2的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根

式；

故选：C.

3.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=^+b的图象如图所示，那么根据图象，下列结

论正确的是（)

A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b<0D.k<0,b>0

解：由图象可得，

一次函数丫=履+方的图象经过第一、二、四象限，

：.k<0,h>0,

故选：D.

4.如果一组数据为-1,0,1,0,0,那么下列说法不正确的是()

A.这组数据的方差是0B.这组数据的众数是0

C.这组数据的中位数是0D.这组数据的平均数是0

解：这组数据重新排列为-1、0、0、0、I,

其众数是0,中位数为0,平均数为-1+°y+°+1=0,

5

10

方差为上X[(-1-0)2+3X(0-0)2+(1-0)2]=—,

55

故选：A.

5.下列命题中，真命题是()

A.有两个内角是90°的四边形是矩形

B.一组邻边互相垂直的菱形是正方形

C.对角线相互垂直的梯形是等腰梯形

D.两组内角相等的四边形是平行四边形

解：A、有三个内角是90°的四边形是矩形，故本选项说法是假命题；

8、一组邻边互相垂直的菱形是正方形，本选项说法是真命题；

C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题；

。、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项说法是假命题；

故选：B.

6.如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=BC,A8=8,点P在边AB上，G)P的半径为3,

OC的半径为2,如果和。C相交，那么线段AP长的取值范围是()

B

A.Q<AP<SB.\<AP<5C.\<AP<1D.4<AP<S

解：根据题意，画出两圆相切的图，作CCAB于点。，如图所示：

；.CD=DB=DA=4.

当两圆相切时，如图知道：CP=5,CH=5.

根据勾股定理可得：PD=DH=3.

...图上有:AP=1,AH=1.

如果OP和0C相交，那么线段AP长的取值范围为：1VAPV7.

故选：C.

二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

7.卷的倒数是4•

解:1的倒数是*

OTC

故答案为：-y.

4

8.在实数范围内分解因式：2x-6=2(x-3).

解：2%-6=2(x-3).

故答案为：2(x-3).

9.己知函数/(x)=乌，那么/(3)=3

X-1

解：当x=3时，f(3)=4，=3.

3-i

故答案为：3.

10.方程@M-1=x的解是x=l.

解：y/2xT=x，

两边都平方得N-2X+1=0,

即(X-1)2=0,

/.x=l.

11.二元一次方程组俨+2y=15的解是_卜=5_.

Ix-2y=5]y=0

解：fx+2y=£①，

Ix-2y=5②

①+②，得4x=20,解得x=5,

把x=5代入②，得5-2y=5,解得y=0,

故方程组的解为(x=5.

I7=0

故答案为：].

1y=0

12.如果关于x的一元二次方程N+2x-c=0有两个相等的实数根，那么C=干.

解：根据题意得△=22+4C=0,

解得c=-1.

故答案为-L

1/,

13.已知点A(xi,yj)和5(X2,»)均在反比例函数y=—(k>0)的图象上，且及>加

x

>0,那么yi>V2.(填V,>或=)

解：・・・Q0,

・・・此函数的图象在一、三象限，在每一象限内)，随x的增大而减小，

VX2>X|>0,

(xi,yi)、B(X2,”)两点均位于第一象限，

Ayi>y2.

故答案为：>.

14.布袋中有五个大小一样的球，分别写有2.；；,V3>病，:，善这五个实数，从

/「311

布袋中任意摸出一个球，那么摸出写有无理数的球的概率为3.

一51

TT

解：在所列5个实数中，无理数有可这2个，

所以从布袋中任意摸出一个球，摸出写有无理数的球的概率为■!，

5

故答案为：

15.为了解全区104000个小学生家庭是否有校内课后服务需求，随机调查了4000个小学生

家庭，结果发现有2800个小学生家庭有校内课后服务需求，那么估计该区约有72800

个小学生家庭有校内课后服务需求.

解：估计该区有校内课后服务需求的小学生家庭数量为104000X空毁■=72800（个），

4000

故答案为：72800.

16.《九章算术》中记载了一种测距的方法.如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树

位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，

组成边长为10米的正方形ABCD,且A,D,E三点在一条直线上，在标杆8处观察塔E,

视线8E与边。C相交于点F,如果测得FC=4米，那么塔与树的距离AE为25米.

解：；四边形ABCO是正方形，边长为10米，

.•.4O=CZ)=BC=10米，FZ»=C£>-CF=6米，BC//AD,

:.AFDESAFCB,

即巫

CBCF104

：.DE=\5,

：.AE=DE+AD=25米，

故答案为:25.

17.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,NA=60°，点。为A8中点，将△AC£>沿直线

CD翻折后，点A落在点E处，设皮=:，而=E那么向量前用向量Z,E表示为

：.CD=DB=DA,

VZA=60°,

：./\ADC是等边三角形，

由翻折的性质可知，ED=EC=AD=AC,

四边形ACEO是菱形，

：.AC^DE,AC//DE,

7AC=AB+BC'

•*«AC=2b+a>

DE2b+a，

故答案为：2t+a.

18.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，

且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的

“最优覆盖菱形”.

问题：如图，在△ABC中，AB=AC,8C=4,且AABC的面积为相，如果AABC存在“最

优覆盖菱形”为菱形BCMN,那么m的取值范围是4、笈.

XA

B

解：・・・△ABC的面积为孙

・・・/\ABC的BC边上的为高T，

如图：当高取最小值时，△A3C为等边三角形，

点A与M或N重合，

如图：过A作4OLBC,垂足为力

;等边三角形ABC,BC=4,

：.ZABC=60°,BC=4,/BAQ=30°.

：.BD=2,

；.AD=yl42_22=2<\/^,

=2^3'即m=4\^.

□

如图：当高取取最大值时，菱形为正方形.

...点A在MN的中点，

即irF',

:・4j^WmW8,

故答案为：4正・“<8.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

/--1X

2

9计算：as）2+（当）-9+n-V3l-

解：原式=1+3-2«+«-3+«-1

=0.

']

20.解不等式组：〈京x》x-2.并把解集在数轴上表示出来.

9x+l>7x-3

___।।।।।।।।.

401234^

解：解不等式-2,得：xW3,

解不等式9x+l>7x-3,得：x>-2,

则不等式组的解集为-2<x^3,

将不等式组的解集表示在数轴上如下:

-------6----：---------------[▲〉

-3-2-10123

21.如图，四边形A3CD是平行四边形，联结AC,AB=5,BC=7,cosB=-1-.

5

(1)求/AC8的度数；

(2)求sinNACZ)的值.

解：（1）如图，过点A作AELBC于点E,过点。作。FLAC于点凡

BE3

'：AB=5,cosB=—=—.

AB5

；.BE=3,

.•.AE=^AB2_BE2=4,

VBC=7,

:.CE=BC-BE=7-3=4,

・・・AE=C£=4,

•••△AEC是等腰直角三角形,

・・・NAC5=45°；

(2)-：AE=CE=4f

•••AC=7AE^CP=4&，

,Z四边形ABCD是平行四边形，

.•.△ABC的面积=△4£>(?的面积，

A—XBC-AE^—XAC-DF,

22

;.7)<4=4&。尸，

•打j」企

••Ur------,

2

DF7^^7^2

在Rt△。尸C中，sinZACD=-^-=9=-^-.

DC-^―10

b

22.在疫情防控常态化背景下，每周需要对面积为4800平方米的仓库进行一次全面消毒工

作.最初采用人工操作完成消毒任务.为提高效率采用机器人消毒，机器人消毒每分钟

消毒面积比人工操作多60平方米，并且提前40分钟完成消毒任务.求人工操作每分钟

消毒面积为多少平方米.

解：设人工操作每分钟消毒面积为x平方米，则机器人每分钟消毒面积为(x+60)平方

米，

依题意得：4800_480p40)

xx+60

整理得：x2+60x-7200=0,

解得：Xi=60,X2=-120,

经检验，xi=60,X2=-120是原方程的解，xi=60符合题意，X2=-120不符合题意，

舍去.

答：人工操作每分钟消毒面积为60平方米.

23.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,过点A作AELBC,垂足为点E,过点E

作EFLCO,垂足为点凡联结。E,且OE平分/AOC.

(1)求证：△ABEWAECF；

(2)联结8。，8。与AE交于点G,当AB2=8G・BO时，求证EG=BE・BC.

D

【解答】证明：在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD.

:.NB=NC.

,：AE1.BC,EFVCD.

：.NAEB=NEFC.

在ABE与aECF中，

'AB=CD

,ZB=ZC

ZAEB=ZEFC

.♦.△ABE丝△ECF(AAS)

(2)联接B。，BD与AE交于点、G,如图：

.ABBD

••二j-"*

BGAB

NABG=NDBA.

：.XABDsAGBA.

：.ZADB=ZGAB.

•:AD〃BC.

：.ZADB=ZDBC.

：.ZBAG=ZDBC.

：.RAEBSABDC.

.ABEB

"BC"DC

：.AB*DC=BC'EB.

:.EO=BE・BC.

24.在平面直角坐标系x。)，中，抛物线y=-x2+„u+〃经过点a(5,0),顶点为点B,对

称轴为直线x=3,且对称轴与x轴交于点C.直线y=fcr+8,经过点A,与线段BC交于

点E.

(1)求抛物线y=-x2+mx+n的表达式；

(2)联结B。、EO.当ABOE的面积为3时，求直线y=fcr+匕的表达式；

(3)在(2)的条件下，设点。为y轴上的一点，联结8。、AD,当8£>=EO时，求N

DAO的余切值.

解：(1)：抛物线尸-小+加叶〃经过点4⑸o),对称轴为直线x=3,

-25+5m+n=0

.•卜6,

ln=-5

・•・抛物线表达式为y=-x2+6x-5；

(2)把x=3代入y=-N+6x-5得y=4,

・・・抛物线顶点8坐标为(3,4),

由△BOE的面积为3得•|BEX3=3,

：.BE=2,

•.•点E在线段BC上，

.•.点E坐标为£(3,2),

把点E(3,2)和点A(5,0)代入得,

[5k+b=0

13k32,

直线表达式为y=-x+5；

(3)如图，①若BO〃OE,

则四边形OEBDi为平行四边形,

则点。।坐标为(0,2),

连接0A,

,AO5

♦.COt/Z)[AO="^""""—，

D[06

综上所述，此时ND40的余切值为3或号.

26

25.如图，在矩形ABCQ中，AB=4,8c=8,点P在边BC上(点P与端点8、C不重合)，

以P为圆心，P8为半径作圆，圆尸与射线8。的另一个交点为点E,直线CE与射线4。

交于点G.点M为线段BE的中点，联结设8P=x,BM=y.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(2)联结AP,当AP〃CE时，求x的值；

(3)如果射线EC与圆P的另一个公共点为点凡当△CPF为直角三角形时，求△CPF

的面积.

BD=4心+824近