2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(二)(含解析)

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（二）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.己知集合4={刈。-1)。-5)<0},8={用0<乂三4},则集合力。8=()

A.{x|0<%<4}B.{%|0<%<5}C.{%|1<%<4}D.{%|4<%<5]

2.已知复数Zi=m+i(m€R),z2=l-2if若♦为实数,则%|=()

A.在B.3C.：D.V5

222

3.设/。)=恒(三+。)是奇函数，则使/(>)>0的*的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(0,+8)

2

4.已知册=而5，则数列{即}的前100项和工00=()

200

A100CD

A•赤ioi・盖・翳

5.已知Fi、尸2分别是双曲线G：会，=1（。>0/>0）的左右焦点，且尸2是抛物线。2：y2=

2Px（p>0）的焦点，双曲线Q与抛物线C2的一个公共点是P，若线段PE的中垂线恰好经过焦点

a,则双曲线C］的离心率是（）

A.2+V3B.1+V2C.2+V2D.1+V3

6.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶

）、杨（辉）、朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一.朱世杰是一

位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习仇章算术/,

旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承了前人数学

成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种

日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总

结和普及当时各种数学知识为宗旨的僖学启蒙沙，其中有关于

“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，

松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的“，

力分别为3,1,则输出的n=（）

A.2B.3C.4D.5

7.平行四边形A8C。中，点£为A。中点，连接BE、AC且交于点F.若

AF=xAB+yAE(x>yeR),则x：y=()

A.1：3

B.2：3

C.1：2

D.3：4

8.在各项均为正数的等比数列｛0｝中，£13=近一1,£15=鱼+1,则送+2£12£16+&3(17=()

A.4B.6C.8D.8-4V2

I1■

9.直线丫=》与函数/。)=/‘；”"’的图象恰有三个公共点，则实数〃?的取值范围是

二斓升哪篮.书或笳三髅

().

A.[—1,2)B.[—1,2]C.[2,+8)D.(-00,-1]

10.设/(乃是定义在R上的奇函数，且/(2)=0,当％>0时，有一‘⑶:/⑶<0恒成立,则不等

X

式只/(x)>0的解集是

A.(-2,0)U(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)U(2,4-00)D.(-8,-2)U(0,2)

11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

视图

A.1您加班B・1急出.解任

12.如图，在正方形ABC。中，E是AB中点，尸是AO上一点，且4F

EG1CF于G,则下列式子中不成立的是()

A.EF-EC=EG-FC

B.EC2=CG-GF

C.AE2+AF2=FG-FC

D.EG2GF-GC

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知f(x)的定义域是域且f(x+2)=f(x+l)—f(x),f(l)=Ig3-lg2,f(2)=匈3+国5,

则f(2009)=.

14.若角a的终边经过P(-3,b),且tana=-|,则sina=.

15.已知点A是椭圆冒+，=l(a>b>0)上一点，尸为椭圆的一个焦点，且4F1X轴，|力用=焦

距，则椭圆的离心率是.

16.对于函数/(x)=g|x|3-a/+(2-a)|x|+b,若/(x)有六个不同的单调区间，则”的取值范围

为______

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.如图在△力C中，。是48的中点，BC=3,B=g,△BCD的面积为

3>/3

2

(1)求48,AC的长;

(II)求sinA的值;

(HI)判断AABC是否为锐角三角形，并说明理由.

18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交

点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是三角形：

(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值:

(3)如图，△。28是抛物线、=—/+"%(//>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点。为对

称中心的矩形ABC。？若存在，求出过。、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

19.如图，在四棱锥E-4BC0中，A/IBD是正三角形，△BCD是等腰三

角形，/.BCD=120°,EC1BD,连结AC交8。于点O.

(I)求证：平面4EC1平面ABC£>；

(口)判断在线段AE上是否存在点M,使得DM〃平面BEC,并说明

理由.

20.某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示.

(1)请根据图中所给数据，求出。的值；

(2)从成绩在［50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在［60,70)内的概率.

21.己知/(无)=bex-出nx在(1,f(1))处的切线方程为y=(e-l)x+l.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)求y=/(x)的导函数y=f'(x)的零点个数；

(3)求证：/(%)>2.

22.在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x—y+4=0,曲线C的参数方程为卜=口为

ly=sma

参数，且ae[0,2")).

(1)求曲线C的普通方程；

(2)求曲线C上的一点尸到直线/的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.

23.用数学归纳法证明不等式：打^+京+.“+专>26*且〃>1)・

【答案与解析】

1.答案：c

解析：解：由A中的不等式解得：1VXV5,即/={%|1VXV5},

•・,B={x|0<%<4},

，AnB={x\l<%<4}.

故选：C.

求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：A

解析：解：复数Zi=m+i(zn6R),z2=1-2i9

同产1_l-2i__m-2l+2m.

人」Z2-m+i-m2+l-m2+lm2+l''

・一黑=0,解儆n=，

区|=J(-|)2+l=y-

故选:A.

根据复数的代数形式的运算法则，结合题意求出，〃的值，再计算|z1|的值.

本题考查了复数的定义与代数形式的运算问题，是基础题.

3.答案：B

解析：解：根据奇函数的性质可得，/(0)=lg(2+a)=0

•1•a=-1，/(x)=lg(£-1)=1g岩

由/'(久)>0可得，1g岩>0

即此>1

1-X

解不等式可得0<x<l

故选：B.

根据奇函数的性质/(0)=0可得，可求“，进而可求函数/Xx)，由f(x)>0可得，解不等式可得

本题主要考查了对数不等式与分式不等式的基本的解法，但解题的关键是要根据奇函数的性质

/(0)=0,先要求出函数中的参数小的值，此方法比直接利用奇函数的定义简单.

4.答案：B

解析：解：an=|=2(rW)，

{a九}的前100项和,Si。。=&+a2+。3+…+%00，

1111111

=2[(1

=2(1-+)，

200

=m-

故答案选：B.

将％=品？转换成，勾=2弓一右)，采用裂项法求得Si。。-

本题考查采用裂项法求数列的前八项和，属于基础题.

5.答案：A

解析：解：设点PQo，y。)，F2(G0),过户作抛物线准线的垂线，垂足为4连接PF2,由双曲线定义

可得|P刍I=|PFi|-2a

由抛物线的定义可得|尸4|=&+c=2c-2a,Ax0=c-2a

在直角AFiAP中,|Fi*2=8QC—4a2,

・'・yo=8ac—4a2,

・•・8ac-4a2=4c(c-2a)

・•・c2—4ac+a2=0

Ae2—4e+1=0

ve>1

・•・e=2+V3

故选：A.

尸作抛物线准线的垂线，垂足为A,连接PF2,在直角△RAP中.利用勾股定理，结合双曲线、抛物

线的定义，即可求出双曲线的离心率.

本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式.

6.答案：C

解析：

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基

础题.

由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

解：模拟程序的运行，可得

Q=3,b=1,n=1,

八

a=-9,b,=2,

2

不满足条件Q<b,执行循环体，n=2,Q=?，b=4,

不满足条件Q<b,执行循环体，n=3,Q=b=8,

不满足条件a<b，执行循环体，n=4,。=爷，6=16,

lo

满足条件a<b,退出循环，输出”的值为4.

故选：C.

7.答案：C

解析：

本题考查三角形相似，向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理.想着用南，荏表

示出"，AF=AE+~EF=AE+AEB,这样需求出入根据条件及图形，可以看出△AEFsACBF,

所以喘=差=3所以黑=§所以入=3前=近+久南一荏）=；荏+|荏这样便能求出x，y，

brCDZCDS33o3

从而求出尤y.

解：根据条件矢口:〉AEF~>CBF・,

・•・一EF=一1,—EF=一1；

BF2EB3

--»--»--»--»1--»-->1--»--»1--»o--*

・•・AF=AEEF=AE+-EB=4E+-Q48-AE}=-AB+-4E；

33'733

12

••X=-,y=-；

373

•••x：y=1：2.

故选C

8.答案：C

解析：试题分析：由等比数列的性质可得说+2a2a6+a3a7=说+2a3a§+W=S3+as)?，把已

知条件代入即可求解

a3=V2—l,a5=V2+1

由等比数列的性质可得送4-2a2a6+a3a7

=aj+2a3a5+aj

=&+as/

=(V2-1+V2+l)2

=8

故选C

9.答案：A

解析：直线y=x与函数/'(x)=*1a的图象恰有三个公共点，即方程/+4%+2=

,尹'斗树需带或刘W跻5!

2

x(x<m)与x—2(x>m)共有三个根.•；x+4x+2=x的解为/——2,x2——1>-1<m<2

时满足条件，故选A.

10.答案:D

解析：试题分析：解：因为当x>0时，有)泛)<0恒成立,即［赵磁］'<0恒成立，所以

x常

匚曳史在(0,+8)内单调递减.因为f(2)=0,所以在(0,2)内恒有/(x)>0；在(2,+8)内恒有/(X)<0.

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(一8,-2)内恒有/(久)>0；在(-2,0)内恒有/(%)<0.又

不等式//(%)>0的解集，即不等式/(x)>0的解集.所以答案为(-8,-2)U(0,2).故选D.

考点：函数单调性与导数

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征

11.答案：D

解析：试题分析：试题分析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如下图:

则该几何体的表面积为.&=黜:二点&K绦拈蜴方双怒+徐杈潴斗.=飘，小乐辰，故选D.

公

考点：三视图及空间几何体的表面积的求解.

12.答案:B

解析：解：由题意，正方形ABC。中，E是AB中点，F是A。上一点，且=

4

・•・△AEF^^,BCE,

:.Z-AEF=乙BCE,

・•・乙FEC=90°

•・・EG1CF,

：.EFEC=EG-FC,AE2+AF2=EF2=FGFC,EG2=GF-GC

即4,C,D正确,

故选：B.

由题意，正方形ABC。中，E是A8中点，尸是AO上一点，且4尸=；40,可得△AEFs^BCE,进

而可得Z1FEC=90。，从而可得A,C,。正确，即可得出结论.

本题考查相似三角形的判定，考查射影定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

13.答案：Tgl5

解析：解：•••f(x+2)=/(x+l)-f(x),/(I)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,

⑶=/(2)-/⑴=均5+⑷2=1,

•••/(4)=/(3)-/(2)=均2Tg3,

"5)=f(4)-f(3)=Tgl5.

/(6)=/(5)-/(4)=-l,

f(7)=f(6)-/(5)=lg3-lg2=f(l),

f(8)=f(7)—"6)=lg3+lg5=f(2),

•1-f(.n+6)=/(n),

•••/(2009)=f(5+334X6)0/(5)=-lgl5.

故答案为：-lgl5.

由/(x+2)=f(x+D-〃x),f⑴=03Tg2,f(2)=lg3+lg5,可得f(3)=f(2)-/⑴=

磔+lg2=l,/(4)=/⑶一/(2)=2Tg3,f⑸=/(4)-/(3)=Tgl5.f(6)=f⑸-/(4)=

-1-f。)=/(6)--⑸=lg3-lg2=/(I),

f(n+6)=/(n),即可得出.

本题考查了利用抽象函数的周期性求函数值，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

14.答案：旭

34

解析：解：由题意可得tcma=5=一|,b=5,

・•・r=\0P\=A/9+25=V34,

.55V34

・•・sina=-7==-------，

V3434

故答案为：史里.

34

由条件利用任意角的三角函数的定义，求出〃的值，可得sina的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

15.答案：V2—1

解析：解：设F为椭圆的右焦点，且4尸_Lx轴，所以F(c,O),则与+普=1,解得y=±Q,

因为，|力用=焦距，所以?=2c,即〃=2ac,a2-c2=2ac,

所以e2+2e-l=0,解得e=奁-1或6=-鱼-1(舍去)

故答案为：V2—1.

通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出4的纵坐标，利用|4F|=焦距，结合椭圆中mb,c的

关系，求出椭圆的离心率.

本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，属基础题.

16.答案：(1,2)

解析：解：•・,/(一无)=^|-%|3-Q(-%)2+(2—Q)|-+b=1|x|3-ax2+(2-a)\x\=f(x),

・・・/(%)为偶函数，又/(%)有六个不同的单调区间，

・,・当》>0时，/(%)=|%3-ax24-(2-a)x+b有三个不同的单调区间，

・•.f[x)=x2-2ax4-2—Q与x正半轴有两交点，即％?—2ax+2—a=0有两异正根，

△=4a2-4(2-a)>0

•e-2a>0，解得1VaV2.

-2—a>0

故答案为：1<a<2.

由题意可知，/(x)为偶函数，当x>0时，“X)有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有

两交点即可求得a的取值范围.

本题考查带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性，明确当x>0时，有三个不同的单

调区间，是解决问题的关键，突出转化思想与函数与方程思想的考查运用，属于难题.

17.答案:解：(I)v=△BCD的面积为落

吟BD•BCsinB=当,

BD=2,,:。是AB的中点，•••AB=2BD=4,

由余弦定理，有AC?=AB2+BC2-2AB-BCcosB=16+9-2x4x3x1=13

AC=V13;

(口)由正弦定理，有亢714=吧处=5竺;

、，AT->£

(ID)AB>AC>BC,C>A>B,

4/2+BC2TB2

由余弦定理,有cost=

2ACBC

•••c为锐角，.••三角形ABC为锐角三角形.

解析：(I)根据△BCD的面积为苧，可由面积公式求出8C,然后由。为A8的中点可得力B=2BD,

在三角形ABC中根据余弦定理可得AC；

(II)直接在三角形ABC中利用正弦定理可得siM；

(HI)根据大角对大边可得C>A>B,然后由余弦定理求出cosC,根据cosC可判断三角形是否为锐

角三角形.

本题考查了正余弦定理，面积公式和三角形形状的判断，考查了计算能力，属中档题.

18.答案：等腰

解析：解：(1)等腰根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A

必在0、B的垂直平分线上，所以04=AB,即：“抛物

线三角形”必为等腰三角形.

故填：等腰.

(2)•.•抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是

等腰直角三角形，

;该抛物线的顶点满足?=?偌>0).

:•b=2.

(3)存在.

如图，作^0CD与A。48关于原点。中心对称,

则四边形ABC。为平行四边形.

当04=0B时，平行四边形A8C。为矩形.

XvAO=AB,

0AB为等边三角形.

作AE10B,垂足为E.

AE=V30E.

•••?=V3-y(d7>0),b'=2y/3>

X(V3,3).B(2V3,0).

C(-V3,-3).D(-273,0),

设过点。，C,。三点的抛物线y=+nx,

则町二上普解得:m=1

n=

・•・所求抛物线的表达式为y=/+273%.

1)抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是

等腰三角形.

(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0,那么其顶点在第一象限，而这个

“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来

列方程解出〃的值.

(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点。为对称中心的矩形A8C，那么必须满

足。4=0B,结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b'表示出A£、0E

的长，通过AOAB这个等边三角形来列等量关系求出b'的值，进而确定A、2的坐标，即可确定C、

。的坐标，利用待定系数即可求出过0、C、。的抛物线的解析式.

这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形

的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况

19.答案：证明：(1)设8。的中点为0'，则AO'_LBD,CO'IBD..-.A,《

O',C三点共线，'\\

EC1BD,ACnEC=C,

BDL平面AEC,川

vBDu平面ABC。，

二平面4EC，平面ABCD；

(H)M为线段AE的中点时，DM〃平面EBC,理由如下：

取A2中点N,连接MN,DN,

・•・M是AE的中点，

AMN//BE,又MNC平面BEC,BEu平面BEC,

•••MN〃平面BEC,

•••△48。是等边三角形，

NBCN=30°,又CB=CD,/.BCD=120°,

乙CBD=30°,

•••ND//BC,

又DN仁平面BEC,BCu平面BEC,

DN〃平面BEC,又MNCDN=N,故平面DMN〃平面BEC,又DMu平面DMN,

：.DM〃平面BEC.

解析：(I)证明：BD1AC,利用EC1BD,ACCtEC=C,可得8。1,平面AEC,即可证明平面AEC1

平面ABCD-,

(11)取48中点',连接MV,DN,MN,易证MN〃平面BEC,DN〃平面BEC,由面面平行的判定

定理即可证得平面DMN〃平面BEC,又DMu平面DMN,于是DM〃平面BEC.

本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考

查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，

所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率为?=去.

6010

(2)设A,B,C,£)表示参加心理社的男同学，a,〃表示参加心理社的女同学，

则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：

AB,AC,AD,Aa,Ah,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Ch,Da,Db,ah,

其中至少有1名女同学的结果有9种：

AchAb,Ba,Bb,Cci,Cb,Da,Db,ab,

根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P=(屋.

解析：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，由此能求出在该班随机选取1名同

学，该同学参加心理社的概率.

(2)设A,B,C,力表示参加心理社的男同学，a,b表示参加心理社的女同学，利用列举法能求出从

6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

21.答案:解：(1)v/(%)=bex-alnx,

・・・f(x)=bex-%

・•・/'⑴=be-a=e—

,:/(l)—be—e,

1・b=1,a=

x

:./(%)=e-lnx9

(2)/(%)=ex—Inx,

•••r(x)=e，-

易知尸O)在(0,+8)在(0,+8)上递增,

vf(l)=e-1>0,/(；)=*一2<0,存在：<殉<1，使得/'(与)=0，即〃。一5=0,

・•.y=f(x)的导函数的零点个数为1个.

(3)由(2)可知，y=f(x)在(0,而)上递减,在(&,+8)上递增,

•••中)的=f(x。)=e^-lnx0=^+x0>2(x。H1),

f(x)>2.

解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，属于中

档题.

(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1,6=1：