九年级数学（上）角平分线

3.角平分线第1课时

给你一把直尺、一个圆规、一把剪刀，你能把一个扇形纸片（如图）分成面积相等的两部分吗？若能，怎样分？问题你还记得角平分线上的点有什么性质吗？

引导角平分线的性质：

角平分线上的点，到这个角的两边的离相等。你能证明吗？要证明这一文字叙述的命题，首先应做好哪些准备工作？证明:角平分线上的点，到这个角的两边的离相等。已知：OC是∠AOB的平分线，D是OC上一点，DE⊥OA，

DF⊥OB，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.OABCDEF证明：∵∠AOC=∠BOC，OD=OD，∠DEO=∠DFO=90°，∴△DEO≌△DFO（SAS）.∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）.角平分线上的点，到这个角的两边的离相等推理形式：∵∠AOC=∠BOC，__________，__________（已知）∴DE=DF()DE⊥OA于EDF⊥OB于F练习1.课本P32

随堂练习T1；2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．在括号内填上适当的理由．∵AB=AC，AD平分∠BAC（已知）∴AD⊥BC()BD=CD()∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF()ABCDEF引申：上题中，还有哪些线段是相等的？你能给出证明吗？等腰三角形的“三线合一”性质等腰三角形的“三线合一”性质角平分线上的点，到这个角的两边的离相等

逆命题：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

角平分线的性质：角平分线上的点，到这个角的两边的离相等。

这一性质的逆命题如何表述？是真命题还是假命题，为什么？已知：点D在∠AOB内，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，

DE=DF.求证：点D在∠AOB的平分线上.OABDEF证明：连接OD.

在Rt△DOE和Rt△DOF中，∵DE=DF，OD=OD∴Rt△DOE≌Rt△DOF（HL）∴∠DOE=∠DOF（全等三角形的对应角相等）∴点D在∠AOB的平分线上。OABDEF

如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，且AB=AD．根据以上条件，你能判断哪个点在哪个角的平分线上？请简要说明理由。在上图中，若将条件“CD⊥AD，CB⊥AB”改为“CD=CB”（如图），其他条件不变，你还能得到相同的结论吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由。反馈练习CADBCADB

已知∠AOB（如图），根据上题的结论，你能否设计一种用直尺和圆规画∠AOB平分线的方法？比一比谁设计得最简明。ABO反馈练习（1）你能解决本节课一开始提出的“等分扇形”问题吗？（2）课本P33随堂练习T2；课堂练习

引申：如图，在比例尺为1︰20000的图上，笔直的公路与笔直的铁路在P处交汇．现要建一个货物中转站，使它到公路和铁路的距离相等，且距P处500米。你认为这种设想能否实现？如果能，有几种设计方案？请在图中标出点中转站的位置。P

思考：如图，在∠AMB内求作一点P，使它到∠AMB两边的距离相等，且到∠CND两边的距离也相等。第2课时做一做：

折叠：右图是一张三角形纸片，你能否用折纸的方法找到三条角平分线？这三条角平分线交于一点吗？做一做：

作图：如图，用直尺和圆规作出△ABC的三条角平分线，并观察这三条角平分是否交于一点。

问题：根据上面的折叠、作图、演示，你能得出什么结论？你能证明吗？

定理：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。已知：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P在∠BAC的平分线上。FDENPMABC证明：过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F．∵点P在∠ABC的平分线上，∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理，PE=PF∴PD=PF∴点P在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：AB=AC+CD；（2）若CD=4cm，求AC的长．CABDE1.已知△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

①若∠BPC=130°，则∠BAC=

；

②若∠BAC=70°，则∠BPC=

；

③你认为∠BPC与∠BAC之间有什么样的数量关系？请证明你的结论。课堂练习2.某公园内有三条小路（如图），现建一个小亭子，使它到三条小路的距