第7章 参数估计

参数估计《概率论与数理统计》同济大学数学系07目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.1点估计一、矩估计二、极大似然估计设总体为总体分布中的未知参数,是取自总体的一个样本,用样本来构造的估计,称为的一个点估计,记作

两个常用方法:矩估计法和极大似然估计法.所求出的估计量则分别称为矩估计量和极大似然估计量.用样本的阶原点矩替代总体的阶原点矩,这样得到称为的矩估计量.一、矩估计总体的阶原点矩样本的阶原点矩AB的未知参数的估计量同济大学数学系一、矩估计例101OPTION02OPTION同济大学数学系一、矩估计解同济大学数学系为取自该总体的一个样本.

的矩估计量;的矩估计量.解⑴因为,故的矩估计量可定义为例2设总体,其中未知,一、矩估计试求:12解⑵因所以:同济大学数学系（2）已知，未知，求的矩估计量；

一、矩估计（1）求的矩估计量；

（3）和都未知，求的矩估计量.例3同济大学数学系又因为已知，(2)(3)因为未知，故一、矩估计解故同济大学数学系定理

设总体的均值,方差，为取自该总体的一个样本,则是

的矩估计量,是的矩估计量,是的矩估计量.关于矩估计量有下列结论:一、矩估计同济大学数学系一、矩估计例4解同济大学数学系一、矩估计01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学系设为取自该总体的一个样本，求的矩估计量.因,而所以可由此解出故的矩估计量为一、矩估计补例解同济大学数学系设总体

其中未知,求的矩估计量.

其余一、矩估计补例由已知条件可求得所以

故,解同济大学数学系例5

设一箱子中装有黑和白两种颜色的球，其中一种颜色的球有99个，另一种颜色的球只有1个.但是不知道那个颜色的球是只有1个.我们随机地从这个箱子里有放回地取2个球，结果取得的都是白球，问这个箱子中那个颜色的球只有1个？二、极大似然估计同济大学数学系二、极大似然估计同济大学数学系二、极大似然估计例6同济大学数学系分析：二、极大似然估计同济大学数学系极大似然估计的定义：二、极大似然估计同济大学数学系为可微函数时,则将似然函数取对数：

当的似然函数二、极大似然估计同济大学数学系建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.当似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计同济大学数学系二、极大似然估计例7同济大学数学系二、极大似然估计同济大学数学系设总体

,是取自该总体的一个样本,参数未知（2）的极大似然估计量.解（1）

①写出似然函数试求（1）的极大似然估计量；二、极大似然估计例8②对似然函数取对数:同济大学数学系二、极大似然估计解方程组得③建立似然方程组:同济大学数学系④由此即得未知参数的极大似然估计量为二、极大似然估计同济大学数学系以替代即得的极大似然估计量为（2）

已经求得又二、极大似然估计同济大学数学系二、极大似然估计同济大学数学系例9

设总体是来自该总体的样本,其中未知.求的极大似然估计量.解样本的似然函数为其余二、极大似然估计同济大学数学系显然无法求解出参数.于是从原始定义出发讨论,发现

,对数似然方程二、极大似然估计当时,对数似然函数为同济大学数学系二、极大似然估计同济大学数学系④写出未知参数的极大似然估计量:二、极大似然估计设是未知参数的极大似然估计量,则的定义为（也是替代的思想）.极大似然估计量性质同济大学数学系已知总体的概率函数为其中未知,设是取自总体的样本,其观测值

极大似然估计值.,求参数

的二、极大似然估计同济大学数学系解样本观测值的似然函数为得,由此即解得取对数得,求导并建立似然方程,二、极大似然估计同济大学数学系

设总体的分布为

,其中为未知参数,为样本观测值,则求

的极大似然估计值的过程如下:（1）写出似然函数（2）称满足关系式二、极大似然估计的解

为的极大似然估计值,而为的极大似然估计量.如果是的可微函数,则将似然函数取对数:二、极大似然估计建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计极大似然估计求解对数似然求导法直接法似然函数二、极大似然估计目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.2点估计的优良性评判标准一、无偏性二、有效性三、相合性如果未知参数的估计量

满足

如果则称为的一个无偏估计量.则称为的渐近无偏估计量.一、无偏性定义1同济大学数学系的极大似然估计量;的矩估计量;解

(1)由矩估计定义可知

(2)又由上一节例9得.一、无偏性设是来自总体的一个样本,总体

其中未知,试求1无偏估计?若不是,将其修正为无偏估计.问是不是未知参数的

23例1同济大学数学系⑶

;由次序统计量的分布知当时,的概率密度函数为故

一、无偏性同济大学数学系定义,

因此,矩估计是无偏估计而极大似然估计不是无偏估计.一、无偏性同济大学数学系例2分别讨论是的无偏性.

设总体为来自该总体的一个样本,

一、无偏性同济大学数学系故是的无偏估计.

一、无偏性故不是的无偏估计.

解同济大学数学系则有若总体的均值,方差,样本为,⑴⑵因此,样本均值是总体均值的无偏估计,样本方差是总体方差的无偏估计,而样本的二阶中心矩是总体方差的渐近无偏估计。一、无偏性定理1同济大学数学系补例设总体为从该总体中取出的简单样本,记分别为样本均值和样本方差,若由统计量性质知由题意,即为的无偏估计,试计算的值.由此解得.一、无偏性解同济大学数学系二、有效性意的，都有,设是未知参数的两个无偏估计，若对任

使得上述不等式严格成立，

则称比有效.

且至少有一个

定义2设是来自总体的一个样本,总

体,其中未知,由前面的讨论已经知道的矩估计量是无偏估计;修正后的的极大似然估计量是无偏估计.(2)(1)例1续同济大学数学系又

二、有效性进一步可得同济大学数学系设总体为来自该总体的一个样本,其中是未知参数,试求解下列问题:试比较这两个估计的有效性.试证的极大似然估计和样本方差都是的无偏估计;补例二、有效性01OPTION02OPTION同济大学数学系解⑴由题设知故因此二、有效性可见这两个估计都是无偏的;同济大学数学系解⑵又因为二、有效性显然比有效.

因此同济大学数学系的一个估计量.设是如果对,有三、相合性定义3同济大学数学系定理2三、相合性如果是的一个无偏估计,且,那么是的相合估计量.同济大学数学系例3三、相合性证明同济大学数学系补例由,且,知是未知参数

的相合估计.设总体,其中

未知,的矩估计量,试证明是一个相合估计.三、相合性证明同济大学数学系目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间

设

是来自总体

的样本,其中参数

未知,对给定的

,若存在统计量

使得那么称随机区间

为的双侧置信区间;称

为置信水平;

置信区间抽样以后就得到置信区间的观测值:

简称双侧置信下限或者上限.

称为的双侧置信区间的上限,

称为的双侧置信区间的下限;

置信区间6置信水平

的几何解释

置信区间6置信水平

的几何解释

置信区间6置信水平95%的几何解释

置信区间6置信水平50%的几何解释

置信区间置信区间定义2定义3同济大学数学系

求参数置信区间的一般步骤:构造一个包含

和的随机变量

要求先求出未知参数的一个点估计

,建议

使用极大似然估计或无偏估计;置信区间

除了未知参数以外,不再含有任何未知的信息,且

的分布已知或者分位数可以通过查表或者计算得到;12同济大学数学系选取常数,使得将不等式等价变形为,则，

就是未知参数

的双侧

其中,都是统计量.

置信区间

置信区间.34同济大学数学系置信区间同济大学数学系设

是取自正态总体的一个样

双侧置信区间:

本,给定置信水平为

,置信区间已知方差

，求期望的同济大学数学系则满足取

,

,

置信区间同济大学数学系目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.4单正态总体下未知参数的置信区间一、均值的置信区间二、方差的置信区间设

是取自正态总体的一个样

本,给定置信水平为

,

且样本均值为,

样本方差一、均值的置信区间12已知方差,期望的双侧置信区间；

方差未知,期望的双侧置信区间.

同济大学数学系⑴已知方差,期望的双侧置信区间则需要满足取

其次，构造随机变量一、均值的置信区间首先，的无偏估计，同济大学数学系相应的置信区间观测值为:不等式等价变形后即得的双侧置信区间:一、均值的置信区间同济大学数学系一、均值的置信区间同济大学数学系例1某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为未知，方差长期以来稳定在0.4.现随机抽取五天的利润率得到数据为：-0.2,0.1,0.8,-0.6,0.9,求的双侧置信水平为0.95的双侧置信区间.解由题意知

,计算并查表得故期望的双侧0.95置信区间为

一、均值的置信区间同济大学数学系则满足取

,

,

⑵方差未知,期望的双侧置信区间构造随机变量,则符合选取的要求;一、均值的置信区间同济大学数学系相应的置信区间观测值为不等式等价变形后即得的双侧置信区间:一、均值的置信区间同济大学数学系一、均值的置信区间同济大学数学系二、方差的置信区间12期望已知,方差的双侧置信区间；

期望

未知,方差的双侧置信区间.

同济大学数学系(1)期望已知,方差的双侧置信区间二、方差的置信区间同济大学数学系二、方差的置信区间同济大学数学系取

,

,

二、方差的置信区间(2)期望未知,方差的双侧置信区间同济大学数学系不等式等价变形后即得的双侧置信区间:二、方差的置信区间而标准差的置信区间为同济大学数学系例2续测量10个灯泡,得为了解灯泡使用时数的均值和标准差

小时,如果灯泡的使用时数服从正态分布,求

的置信水平的双侧置信区间.二、方差的置信区间

小时,

查表得故方差的0.95双侧置信区间为解由题设条件知

同济大学数学系位:厘米,并由此算得从一批螺钉中随机取9枚,测得其长度,单

,

,设钉子长度

,其中参数未知,二、方差的置信区间补例试分别求的置信水平的双侧置信区间.同济大学数学系查表得,故期望的双侧0.9置信区间为

二、方差的置信区间解由题设条件计算可得

,

同济大学数学系查表得,故方差的双侧0.9

置信区间为二、方差的置信区间同济大学数学系双侧置信水平的置信区间已知

二、方差的置信区间

未知

同济大学数学系双侧置信水平的置信区间已知

二、方差的置信区间未知

同济大学数学系单侧下限单侧上限单侧置信水平的置信区间二、方差的置信区间已知

已知

同济大学数学系目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.5两个正态总体下未知参数的置信区间一、均值差的置信区间二、方差比的置信区间设是取自总体的一个简单随机样本,是取自总体的一个简单随机样本,两个总体相互独立。定义：已知方差,均值差的双侧置信区间，

未知方差,均值差的双侧置信区间.一、均值差的置信区间12同济大学数学系的无偏估计为一、均值差的置信区间则满足取

,