从函数的观点看一元二次不等式小练习(3) 高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

从函数的观点看一元二次不等式小练习（3）一、单项选择题1.若不等式mx2＋(m－1)x＋m>0对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.∪2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是()A.{x|－n<x<m} B.{x|x<－n或x>m}C.{x|－m<x<n} D.{x|x<－m或x>n}3.已知关于x的方程2kx2－2x－5k－2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.∪4.在R上定义运算eq\o\ac(○,×)：xeq\o\ac(○,×)y＝x(1－y)．若不等式(x－a)eq\o\ac(○,×)(x＋a)＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、多项选择题5.设A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，则下列说法中正确的有()A.当a＞0时，若A∩B中恰含有一个整数，则a∈B.若A∩B＝，则a∈C.若A∪B＝R，则a∈D.∀a∈R，有A∪B≠R6.下列说法中，错误的是()A.不等式(2x－1)(1－x)<0的解集为B.若实数a，b，c满足ac2>bc2，则a>bC.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2D.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则实数k的取值范围是(0，4)三、填空题7.已知a2－3a<0，则实数a的取值范围是________，在此条件下，关于x的不等式x2－(a＋3)x＋3a＜0的解集为________．8.关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是________.四、解答题9.已知A＝，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若a＝eq\f(1,2)，求A∪B；(2)若AB，求实数a的取值范围．10.已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、单项选择题1.若不等式mx2＋(m－1)x＋m>0对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是()A. B. C. D.∪【解析】由题意得当m＝0时，x＜0，与题意不符，所以m≠0.当m≠0时，m>0且Δ＝(m－1)2－4m2<0，解得m>eq\f(1,3).综上，实数m的取值范围是.故选C.2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是()A.{x|－n<x<m} B.{x|x<－n或x>m}C.{x|－m<x<n} D.{x|x<－m或x>n}【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选A.3.已知关于x的方程2kx2－2x－5k－2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.∪【解析】令y＝2kx2－2x－5k－2，当k＞0时，开口向上的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＜0，即2k－2－5k－2＜0，解得k＞－eq\f(4,3)，所以k＞0；当k＝0时，y＝0只有一个实根，不符合题意；当k＜0时，开口向下的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＞0，即2k－2－5k－2＞0，解得k＜－eq\f(4,3).综上所述，实数k的取值范围是∪．故选D.4.在R上定义运算eq\o\ac(○,×)：xeq\o\ac(○,×)y＝x(1－y)．若不等式(x－a)eq\o\ac(○,×)(x＋a)＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【解析】由题意可得(x－a)(1－x－a)＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意x都成立，所以只需Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).故选C.二、多项选择题5.设A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，则下列说法中正确的有()A.当a＞0时，若A∩B中恰含有一个整数，则a∈B.若A∩B＝，则a∈C.若A∪B＝R，则a∈D.∀a∈R，有A∪B≠R【解析】A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，函数y＝x2－2ax－1图象的对称轴为x＝a，当a＞0时，x＝－3有y＝6a＋8>0，根据对称性知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以当x＝2时，y＝4－4a－1≤0，且当x＝3时，y＝9－6a－1＞0，所以eq\f(3,4)≤a<eq\f(4,3)，故A正确；y＝x2－2ax－1中，Δ＝4a2＋4＞0.因为A∩B＝，所以对称轴x＝a∈(－3，1)，当x＝－3时，y＝9＋6a－1≥0，且当x＝1时，y＝1－2a－1≥0，所以a∈，故B正确；因为函数y＝x2－2ax－1的图象开口向上，若A∪B＝R，则当x＝－3时，y＝9＋6a－1＜0，且当x＝1时，y＝1－2a－1＜0，所以a不存在，故D正确，C错误．故选ABD.6.下列说法中，错误的是()A.不等式(2x－1)(1－x)<0的解集为B.若实数a，b，c满足ac2>bc2，则a>bC.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2D.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则实数k的取值范围是(0，4)【解析】对于A，由(2x－1)(1－x)<0，解得x<eq\f(1,2)或x>1，故A错误；对于B，因为c2>0，所以可以对ac2>bc2两边同除以c2，得到a>b，故B正确；对于C，因为≥2，所以y＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＝－3时取等号，显然不正确，所以函数y＝＋取不到最小值2，故C错误；对于D，①当k＝0时，不等式为1>0，恒成立；②当k≠0时，若要使不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k>0且Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4，所以当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则实数k的取值范围是[0，4)，故D错误．故选ACD.三、填空题7.已知a2－3a<0，则实数a的取值范围是________，在此条件下，关于x的不等式x2－(a＋3)x＋3a＜0的解集为________．【解析】由a2－3a<0可得0<a<3.x2－(a＋3)x＋3a＜0的两根为3与a，且由以上知0<a<3，所以不等式的解集为(a，3)．故答案为：(0，3)(a，3)．8.关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是________.【解析】设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为其对称轴为直线x＝3，则解得5<a≤8.故答案为：(5，8]．四、解答题9.已知A＝，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若a＝eq\f(1,2)，求A∪B；(2)若AB，求实数a的取值范围．【解析】(1)由≤1，得≤0，所以1＜x≤2，所以A＝{x|1＜x≤2}．当a＝eq\f(1,2)时，x2－(a＋1)x＋a≤0化为x2－eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)≤0，解得eq\f(1,2)≤x≤1，所以B＝，所以A∪B＝.(2)由(1)得A＝{x|1＜x≤2}．又x2－(a＋1)x＋a≤0化为(x－1)(x－a)≤0，AB，所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．10.已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．【解析】(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立，即解得－4<m<0.综上可知，实数m的取值范围是(－4，0]．(2)令y＝mx2－mx－1.①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需当x＝1时，y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得m<eq\f(1,6)，所以0<m<eq\f(1,6).③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝eq\f(1,2)，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝