小学数学-《数与形》教学设计学情分析教材分析课后反思

《数与形》教学设计【教学内容】《义务教育教科书·数学》（人教版）六年制六年级上册第八单元《数学广角----数与形》，107页例1，108页做一做。【教学目标】在解决数学问题的过程中，总结并应用规律，体会归纳推理等数学思想。体会数与形的联系，积累数形结合解决问题的经验，培养数形结合的应用意识。体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学的魅力。【教学重点】体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学魅力。【教学难点】数形结合，解释应用。【教学过程】一、实物引入，体验数形先天联系。1.首先请大家欣赏一幅图片（花坛）。你看到了什么？2.从数学的角度观察描述实物，体验数---形---物之间的天然联系。师：一个圆形花坛，这简单的几个字既有数又有形。有数吗？几个？有形吗？什么形？这些数与形打哪来的呀？花坛，花坛是我们生活中实实在在的物体，我想，任何一个物体必须具备一定的形状，对吗？必定具有一定的数量，是不是？所以，有数就有形，数和形是一一对应的，他们的这种关系是天然的，这种天然的关系在我们解决问题的过程中，会给我们带来哪些启示呢？下面让我们在问题解决的过程中慢慢体验，行吗？【设计意图：数学来源于生活，数与形是同一客观事物在数学上的两种不同表象，通过简单事物以小见大，使学生感受数与形的联系是先天的，不可分割的。】二、操作探究，体验数形结合思想价值。（一）经历问题解决过程，寻找规律，以形助数。1.提出问题，分析问题。下面先看一个数的问题，很有挑战性。（播放课件）用思考的声音读题。（从1开始的n个连续奇数相加的和是？）。通过读题，你知道哪些数学信息？师：N的个数是不固定的，它们的和也是不固定的，但是，它们的和n一定有关系，有什么关系？怎么知道它们有什么关系？2.假设举例，探究规律。复杂的问题从简单的开始是一个很好的解决问题的策略，我们先把n假定在10个以内。师：很好的策略，复杂的问题简单化是研究数学的一个好方法，这种方法叫做：化繁为简（贴板书）。下面我们就举10以内个数的例子研究，当n等于1时，算式是1，和是1；当n等于2时，算式是1+3，和是4。回头看第一个算式，可以这样说：从1开始的1个连续奇数相加的和是1；你能像老师这样说说第二个算式吗？生：从1开始的2个连续奇数相加的和是4。师：你理解的很准确，请坐。当n等于3时，算式是1+3+5，和是9。谁再像刚才那样用一句话说说这个算式。生：从1开始的3个连续奇数相加的和是9。师：你表达的真清晰，请坐。当n等于4时，算式是1+3+5+7，和是16。老师想听听你用一句话来描述这个算式。生：从1开始的4个连续奇数相加的和是16。师：声音中透着自信，真好，请坐。观察这四个算式，你能发现什么规律？并从下面6个算式中选择一个算式验证你的规律，开始吧！3.观察对比，归纳总结。师：你发现了什么规律？你能举例说明一下吗？你们计算的其他算式是不是也有这规律？为了便于观察，我们把算式先藏起来，仔细观察，有这个规律吗？按照刚才这位同学的说法，从1开始的1个连续奇数相加的和是1，12可以这样写吗？从1开始的2个连续奇数相加的和是22，从1开始的3个连续奇数相加的和是32，16呢？25呢？后面都是这样的规律，依次类推，从1开始的20个连续奇数相加的和是——20的平方,100个连续奇数呢？——100的平方，1000个呢？--1000的平方。N个呢？——n的平方。所以，从1开始的n个连续奇数相加的和是n²4.以形助数，解释规律。化数为形，合作探究。这个问题从数的角度不好解释了，怎么办呢？师：从1开始的几个连续奇数相加的和竟然可以用它的平方来表示，这个规律好玩吗？好用吗？奇怪吗？你能解释其中的道理吗？说实话同学们，这个规律从数的角度还真不好解释，那该怎么办？华罗庚说过，不懂就画图，为了让同学们看的更清楚，咱们不画图，咱们拼图试一试。哪个最简单？——1,1行1列，1×1还是1,1+3你能用这样的图形表示出来吗？小组合作，动手拼一拼吧！小组汇报交流。师：1在哪？3在哪？老师把你们的想法拼到黑板上，一遍拼你们一遍想，2×2在哪儿呢？生：1行有2个，有这样的2行，所以用算式2×2表示。师：和你们的想法一样吗？聪明的孩子，1+3+5你们会拼吗？赶快动手试一试。（找2名同学到黑板拼）他们和你们拼的一样吗？谁能像刚才那样完整的说道理。生：我们组拼的是正方形，1是1个红色的正方形，3是3个黄色的正方形，5是5个绿色的正方形，所以这个大正方形的个数可以用算式1+3+5表示，这个大正方形一行有3个，有这样的3行，所以还可以用算式3×3表示。同学们，我说的清楚吗？师：既完整又清晰，真不简单，请坐。1+3+5+7这个算式你能拼出来吗？（能）能，但是小正方形不够了，物品有限、思维无限，你能想象出再增加的7个小正方形怎么摆吗？是这样吗？咱们来看看，（播放课件）一边点一边问：几？师：和你想的一样吗？谁来解释，为什么1+3+5+7的和又可以用42来算？生：因为拼出的这个大正方形一行有4个，有这样的4行。以此类推，再现通式。师：如果继续这样拼下去，再加一个奇数，下一个奇数是几？（9）现在有几个奇数了？这个大正方形中每一行的小正方形有几个？有这样的几行？所以他们的和还可以用（52）来算。继续这样拼下去提炼总结：以形助数。师：这个规律明白了吗？我们是怎么弄明白的？生：拿图形摆的。师：形好不好？好在哪里？师：数是很抽象的，一些复杂的数量关系往往需要借助图形来帮助理解，化数为形后，可以使这些复杂的数量关系变得更加清楚明白，直观易懂。我们把这样的过程叫做化数为形，以形助数。（贴板书）助是什么？（帮助理解数量关系）【设计意图：着眼于学生利用数形结合解决问题经验的积累，使学生切实经历分析问题，提出假设，举例验证，形成结论，解释证明的问题解决全过程。以小见大，发现规律，化数为形，解释规律，全面体现数与形的应用价值】（二）化形为数，以数解形。（做一做2题变式。）1.出示问题，观察规律。师：数的规律可以借助形的变化来思考，形的变化是不是也隐藏着数的规律呢？师：找一道题来看看，请听题：一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？听明白了吗？不明白怎么办？画图，一画出图来就简单了，请看，一张桌子四面坐人，可以坐8个人，两张桌子拼在一起，中间还能坐人吗？这样一共可以坐12个人，三张桌子拼在一起，可以坐16个人，问100张桌子拼在一起可以坐多少人？动手试一试吧，拿出作业纸，把答案写在作业纸上。2.解决问题，汇报交流。师：10张桌子拼在一起能坐多少人？你是怎么做的？为什么这样做？生汇报算法。3.数形对比，提炼总结（以数解形）。师：这是一个图形的问题，你们为什么不去画图解决问题？生：画图太麻烦了。师：是的，画图太麻烦了，这时候需要借助谁的力量？——数的力量（贴板书：数）师：形虽然形象直观，但在计算数量的时候往往也需要借助数的力量，用数的规律来计算往往能更快速、更简便、更准确。我们把这个过程称之为化形为数，以数解形。（三）梳理回顾，概括总结。师：回顾这两个例子，在第一个例子中，数的问题可以借助图形来思考，在第二个例子中，形的问题可以借助数来计算数与形各有优点，他们一一对应，既可以互相转化，又可以互为补充，所以在解决问题时就需要把数和形怎么着？（生：结合）这个词用的好，要把数和形结合起来，灵活运用，这在数学上是一种重要的思想，叫做数形结合。【设计意图：以数解形是类似于学生比较熟悉的找规律，是学生比较熟悉的应用形式，所以此素材宜做为一个综合性的应用练习，学生既能以数解形，又能在交流过程中参与解释，以形助数。学生交流时，在画图与计算的不同问题解决方式间进行对比，体现以数解形的优势及必要性，从而促进学生数形结合解决问题的应用意识形成。呈现图例，顺势总结，直观易懂。】三、课堂练习，搭建思想至方法转换桥梁。1.名言欣赏，强化思想。师：提到数形结合，我国著名数学家华罗庚先生，对数形结合思想有着自己独到的见解，我们一起来欣赏。齐读：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。2.技能训练，促进应用。那怎样才能做到数与形的结合呢？我觉得还是要落脚在思和想上（板书：思、想），也就是见数思形，见形想数。一起来试试，看看你能不能做到。第4题一个有趣的算式出现了，有趣的算式背后还有一个有趣的图形，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么直角边一定是5。这就是我们初中要学习的勾股定理。3.小结学习意义，承上启下。师：大家看，数形结合的思想不但在小学阶段悄悄陪伴着我们，它对我们初中乃至以后的学习都是十分重要的，这也正是我们学习这节课的价值所在。【设计意图：数形结合思想既是一种数学思想，更是一种方法，离开了技能的支撑，空谈思想，对于促进学生由思想到方法的转化应用是没有意义的，本环节意在通过一系列学生以前熟知的题例，沟通学生的日常学习与数形结合思想的联系，并通过勾股定理的事例将数形结合思想的应用引深至学生的终生发展，提升数形结合思想的应用价值。】四、拓展总结，提升数形认识境界。1.课外拓展，认识形数。师：下面给大家介绍一些有意思的数，例1当中的这些数，化成图形以后都能拼成——正方形，我们把这样的数叫做“正方形数”，按照这样的叫法，这些数可以叫做——三角形数，这些呢？——梯形数，这些呢？——三角形数，像这样的数还有很多，我们再来感受这些数，你觉得这些数它还只是数吗？有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？——不能。我们就把这样有形状的数叫做形数。2.首尾呼应，根植思想。师：你知道形数是谁发现的吗？这个人叫——毕达哥拉斯。他有一个著名的理论，他认为，万事万物的背后都隐藏着数的规律，他还举了一个例子，说1可以用1个点来表示，2用2个点来表示，它就可以连成一条线，3个点可以连成——它就是一个面，不同平面的4个点连在一起，就是一个立体图形。大家想，世界上的万事万物，是不是都是以或点或线或面或体的形式存在着的？所以，毕达哥拉斯学派认为：万物皆数，有没有道理？3.课堂总结，提升认识。师：这节课马上就要结束了，同学们，学完这节课后，你有什么体会？你对数与形的认识有没有发生一些改变？师：如果把你们以前的认识归结为：看形是形，看数是数的话，那只是数学学习的第一境界，那么第二境界应该是什么样子的？+——看形不是形，看数不是数。师：看形不是形，是什么呀？-——是数，看数不是数是什么？——是形。也就是说，数形要结合。课就上到这，下课。【设计意图：学生对数学的兴趣和好奇心是促进学生和谐可持续发展的不竭动力，也是课堂上教师不应忽视的情感目标。形数较好地体现了数与形的结合，而毕达哥拉斯万物皆数的思想不但与前面引入的事例相互印证，而且为学生利用数形结合思想解决生活中的实际问题提供了有力的佐证。】《数与形》学情分析小学六年级的学生已经具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。教材在小学中年级的数学教学中已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合的思想。学生进入中高年级，他们的逻辑思维能力已有一定程度的发展，但是整个小学阶段学生的思维总是更多的带有形象思维的成分，为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，因此本节教材在编排上体现了先“数”后“形”的编排顺序，把形象真正放在支撑地位，从而为培养学生的逻辑思维能力而服务。在教学中我为学生提供丰富的学具，如小正方形，将问题直接呈现在学生面前，引导学生对题目的内容进行理解，在明确了题目的要求之后，我把时间还给学生，引导学生自主思考问题。培养学生当面对较复杂问题时自觉利用手中的直观学具摆一摆的意识和能力。通过具体形象的学具的支撑帮助学生发现规律。利用小组合作学习交流的形式，鼓励学生在面对问题和疑惑时，仅依靠自己的力量无法进行解决，可以自主寻求小组同学的帮助。把自己的想法和困惑在小组内交流，共享思维，互相启发，直至发现规律进而解决问题。《数与形》效果分析上完《数与形》这一课，在对课堂进行反思的基础上，我觉得本课的教学效果主要体现在以下几个方面。一、学生掌握情况好，达标率高从评测练习的反馈情况看，学生对知识的掌握比较牢固。全班32人，全部及格，28人优秀，及格率为100%、优秀率为87.5%。二、把课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力由生活中一个简单的事物——花坛导课，再由花坛引出数和形，激发学生的好奇心，学生会在头脑中形成疑问，花坛中到底蕴含着什么数学知识呢？进而继续探究，同时也使学生感受到数学知识就在我们的身边。初步认识了数与形，学生就能意识到本节课可能与数和形有关。初看从1开始的连续奇数相加内容很简单，仔细研究之后才发现其中的道理也不简单，不是单纯的让学生知道连续几个奇数相加的和等于奇数个数的平方就可以了，最重要的是让学生理解其中的道理，因此就需要我们去挖掘它潜在的知识，去经历知识的形成过程，进而将它转化为自己的知识。在学习中要注意培养学生善于总结、善于分享的良好习惯，在不断的反思和总结中有所进步。在知识的海洋中，我们不但要知其然，更要知其所以然。通过简单回顾本节课探究知识的过程，给学生更清晰的展现了知识的形成过程，也了解了学习数学的方法—“观察、猜测、举例验证、归纳”及有序思考的数学思想方法。三、由放到收，让学生在探索中学习数学要让学生觉得好玩，感觉到快乐，从而才能激发学生学习的兴趣与积极性。因此我们要放飞学生的快乐心灵，为学生创设一个轻松、和谐、自由的课堂氛围。本节课的教学紧紧围绕这些理念，激励学生通过手中的小正方形小组讨论，摆一摆，激发了学生的学习兴趣，然后让学生把拼出的图形说一说各个奇数在哪里，为什么可以用奇数个数的平方来表示，由放到收，让学生在探索中学习。而且在知识点的获取上，让学生自主观察发现，分析比较，进行猜想—验证----得出结论，体现了教师的主导作用和学生的主体地位。值得商榷的地方：1、教师要给予学生充分的自主权。教师不要过多的干预学生，而是让学生去讨论去展示交流。对于一些大家存在疑惑的问题，给出正确的答案并不是解决问题的办法，而是要把交流之球一次又一次的传递到学生手中，再交流再思考再解疑，真正的解决疑惑。学生的思维很活跃，在相互的讨论与交流中总会碰撞出思维的火花，用集体的智慧去发现为什么从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方。在课堂中，正确的答案并不是最重要的，最重要的是让学生独立思考，小组讨论，集体交流，让学生亲身去体会去经历知识的形成过程，真正的把知识内化成为自己的东西。放飞学生的心灵，让学生在学习中感受到快乐，从而创建一种和谐、轻松的课堂氛围。2、健全的评价机制要贯穿课堂。评价始终贯穿于整个教学过程之中，能有效的激发学生的积极性，更有效的调控课堂。作为教师要能够从每个学生的身上发现他们的闪光点，做出及时、合理、有效的评价。评价不只是夸奖，还有建议和提醒，是针对于学生的回答最有效的反馈。以前的课堂只有教师的评价，而在现在的课堂中我们也开始注重学生之间的互相评价，要鼓励学生之间互相评价，培养学生的倾听习惯及学会赏识、赞扬别人的能力。在执教本节课时，我的课堂评价机制还不够健全，还不能用具体、有针对性的语言来激励学生。如果能够及时有效的发现学生的闪光点，给予学生积极的回应，更能激起学生的学习兴趣，使他们能更好的参与到学习中去。《数与形》教材分析教学内容：人教版小学数学六年级上册第单八元P107数与形。教学目标：知识与技能：在学习的过程中引导学生探索，在数与形之间建立联系，寻找规律，发现规律，运用规律提高计算能力。过程与方法：运用数形结合的数学思想方法，让学生经历猜想与验证的过程，培养学生积极探究，大胆猜想验证，灵活运用知识的能力。情感态度与价值观：通过以形想数的直观生动性，体会数形结合思想，感受数学的趣味性，培养学生热爱科学勇于探索的精神。教学重点：体会数形结合思想的价值，激发学生的学习兴趣，感受数学魅力。教学难点：数形结合，解释应用。编写意图：例1，是通过数形结合，让学生探索从“1”开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系。教材引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，并把正方形图与下面的算式对照，寻找他们之间的关系。使学生通过观察，发现算式左边的加数正好与正方形图中以颜色区分的“橫折”形图形中的小正方形数相对应。把这些加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形数，即每边小正方形数的平方。有几个奇数相加，每边的小正方形数就是几。（3）在学生发现这一规律以后，让学生学会应用这一规律继续填下去，即从1开始，几个连续奇数相加，和即是几的平方。《数与形》测评练习1．观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（

）个点。2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（

）个点，第51个方框里有（

）个点。3．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（

）根小棒；摆10个正六边形需要（

）根小棒；摆个正六边形需要（

）根小棒。4．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：5．数形结合是一种重要的数学思想，认真观察图形，然后完成下列问题。

；

；

；

；

。二、选择1．观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（

）。A.82个

B.154个

C.83个

D.121个2．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要（

）根钢管。

A.340

B.225

C.226

D.2273．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第

个三角形的

顶点处。（

）A.669；上

B.669；左下

C.670；右下

D.670；上三、解答1．找规律填空，要求写出思考的过程。2．分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排，颜色下面是自然数，按下列方式依次排列：那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？在第几行？3．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。（1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么，白瓷砖用了多少块？（3）如果所拼的图形中，用了块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？

《数与形》教学反思通过对本节课的深入研究，使我对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，抓住了这次录像课的机会。一、数形结合是一种数学思考方法数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形。二、在数学教学中渗透数形结合的思想现行教材和《课标》，注重了知识、能力、数学活动经验、数学教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要应阐述知识之间的内在联系、规律的发现过程、数学思想方法的渗透、理性知识的应用等有理有据地发现规律，并应用发现的规律解决实际问题。在数学教学中，我注重教材，钻研教材要有深度，教材中有内涵的内容我都尽量充分发掘出来，没有的就要进行创设，要在教学中时时渗透数形结合的思想，更重要的是我在教学设计、教学方法、教学手段中要有渗透数形结合思想的意识。教师充分利用生活中的具体事物，让学生通过“形”找出解决问题的“数”。在平时的教学工作中，引导学生主动而有效利用课本中的主题图或其他图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。在课堂教学中，要给学生更大的空间．多发现学生的闪光点，让学生养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形教学对数学知识形成的意义，注意加强数形结合思想的渗透，关注学生数形结合思维能力的提高，从而培养图形与空间观念的认知能力。三、注重对学生数形结合学习方式的应用指导在课堂教学中，数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利解题；以形载数，以数量形；数形互释，图文并茂。把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标。在知识的形成过程中，突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述，重视有效的动手操作和情境的创设，让学生动手、动跟、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维。我尽量充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等是用形来表示数量关系，用形来表示数，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，明确显示出已知与未知的内在联系，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路。四、让学生养成数形结合的良好习惯我在见形想数，见数思形的环节，出示数与形让学生来想形和数，用“形”来理解数，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”。经过这样的训练，让学生有很好的数形结合的好习惯，提高学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一。数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。通过这次录像课，我对本节课的认真研究和同事们的讨论，我对数形结合思想有了新的认识和重视，在平时的教学中，重视在教学设计、教学方法、教学手段等多方面加以培养和训练，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的数学分析思维能力和解决数学问题的能力，不断提高学生的逻辑思维能力和形象思维能力。《数与形》课标分析课标要求《义务教育数学课程标准（2011年版