高等数学 课件 王文静 第6章 微分方程

微分方程的概念1、案例引入——求曲线的方程

引例：一曲线通过点（1，2）,且在该曲线上任一点的切线斜率为横坐标的2倍，求该曲线的方程。

解设所求曲线为由导数的几何意义知:即两端积分,得又曲线通过点（1，2）故所求曲线的方程为微分方程的概念2引例小结：1.是一个求未知函数的运算。2.导数形式，积分求解。3.给出了特殊点，确定积分常数。微分方程的概念3微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数的导数(微分)的方程.如常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程微分方程的概念4微分方程的基本概念

1.微分方程：含有未知函数的导数(微分)的方程.如2.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程微分方程的概念53.微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.如一阶微分方程二阶微分方程微分方程的概念三阶微分方程64.微分方程的解：若函数满足一个微分方程,则称它是微分方程的解.如则函数是微分方程

的解微分方程的概念5.微分方程的通解：若微分方程的解中含有相互独立的常数,且常数的个数等于微分方程的阶数如通解为通解为786.初始条件：问题中用于确定通解中的任意常数的条件.微分方程的概念

如引例中“一曲线通过点（1，2）”就是初始条件。7.特解：利用初始条件确定出通解中的任意常数后得到的解.如上例中,通解为一个特解:可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程形如

或的微分方程1、特点

等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个是x的函数,另一个是y的函数.

可分离变量的微分方程2、步骤1.分离变量，将该方程化为一边只含有x

而另一边只含有y的函数2.两边积分：3.计算上述不定积分,得通解其中即

可分离变量的微分方程例1求微分方程

的通解解:将原方程分离变量得两端积分得即从而令故通解为

可分离变量的微分方程例2求微分方程

满足

的特解.

解:将原方程分离变量得两端积分即

可分离变量的微分方程例3求微分方程

的通解解:方程可化为：分离变量得两端积分得即

可分离变量的微分方程的方程称为一阶线性微分方程形如其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.

称为一阶线性齐次微分方程，若Q(x)=0，则方程为0，则称方程为一阶线性非齐次微分方程.若Q(x)

一阶线性微分方程1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程是可分离变量方程.两边积分，得所以，方程的通解公式分离变量，得

一阶线性微分方程例

1

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解为则

一阶线性微分方程2.一阶线性非齐次方程的解法

一阶线性微分方程公式法常数变易法常数变易法先求对应齐次方程

的通解设所给线性非齐次方程的解为把

和

代入原方程得:

一阶线性微分方程故微分方程的通解为:

一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程形如其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.

称为一阶线性齐次微分方程，若Q(x)=0，则方程为0，则称方程为一阶线性非齐次微分方程.若Q(x)

二阶线性微分方程形如称为二阶线性微分方程，简称二阶线性微分方程.称为自由项.其中：

二阶线性微分方程称为二阶线性非齐次1、当时，微分方程,简称二阶线性非齐次方程.称为二阶线性齐次2、当时，微分方程,简称二阶线性齐次方程.

二阶线性微分方程3、线性齐次微分方程的解符合叠加原理,不一定是微分方程的通解.但是叠加起来的解4、已知两函数若是常数则称与线性无关.若是常数则称与线性相关.

二阶线性微分方程定理1

如果函数与是线性齐次方程的两个解，则函数仍为该方程的解，其中是任意常数.

二阶线性微分方程的两个线性无关的特解，则定理2

如果函数与是二阶线性齐次方程是该方程的通解，其中是任意常数.

二阶线性微分方程定义1若二阶线性微分方程为其中均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.

二阶线性微分方程定义2形如的方程称为二阶线性常系数齐次微分方程.定义3其根称为微分方程的特征根.方程称为微分方程的特征方程.

二阶线性微分方程求解步骤第一步:写出微分方程的特征方程:第二步:求出特征根

二阶线性微分方程第三步:根据下表写出通解的两个根方程