向量的运算法则

./〔1实数与向量的运算法则：设、为实数,则有：1结合律：。2分配律：,。〔2向量的数量积运算法则：1。2。3。〔3平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任何一向量,有且仅有一对实数,满足。〔4与的数量积的计算公式及几何意义：,数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。〔5平面向量的运算法则。1设＝,＝,则+＝。2设＝,＝,则-＝。3设点A,B,则。4设＝,则＝。5设＝,＝,则＝。〔6两向量的夹角公式：〔＝,＝。〔7平面两点间的距离公式：＝〔A,B。〔8向量的平行与垂直：设＝,＝,且0,则有：1||＝。2〔0·＝0。〔9线段的定比分公式：设,,是线段的分点,是实数,且,则〔。〔10三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标为。〔11平移公式：。〔12关于向量平移的结论。1点按向量＝平移后得到点。2函数的图像按向量＝平移后得到图像:。3图像按向量＝平移后得到图像:,则为。4曲线:按向量＝平移后得到图像:。设a=〔x,y,b=<x',y'>。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=<x+x',y+y'>。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：<a+b>+c=a+<b+c>。[1]​2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即"共同起点,指向被向量的减法减"a=<x,y>b=<x',y'>则a-b=<x-x',y-y'>.如图：c=a-b以b的结束为起点,a的结束为终点。3、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时,λa与a同方向当λ<0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0或反方向〔λ<0上伸长为原来的∣λ∣倍当λ<1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0或××反方向〔λ<0上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：<λa>·b=λ<a·b>=<a·λb>。向量对于数的分配律〔第一分配律：<λ+μ>a=λa+μa.数对于向量的分配律〔第二分配律：λ<a+b>=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。[2]​4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积〔内积、点积是一个数量〔没有方向,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉〔依定义有：cos〈a,b〉=a·b/|a|·|b|；若a、b共线,则a·b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a〔交换律<λa>·b=λ<a·b><关于数乘法的结合律>〔a+b>·c=a·c+b·c〔分配律向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。〔该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律,即：<a·b>·c≠a·<b·c>；例如：<a·b>^2≠a^2·b^2。2．向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c<a≠0>,推不出b=c。3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积向量的几何表示〔外积、叉积是一个向量,记作a×b〔这里"×"并不是乘号,只是一种表示方法,与"·"不同,也可记做"∧"。若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则a×b=0。向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a垂直b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=-b×a〔λa×b=λ〔a×b=a×〔λba×〔b+c=a×b+a×c.注：向量没有除法,"向量AB/向量CD"是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积<a×b>·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作<a,b,c>或<abc>,即<abc>=<a,b,c>=<a×b>·c混合积具有下列性质：1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即<abc>=εV〔当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-12．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是<abc>=03．<abc>=<bca>=<cab>=-<bac>=-<cba>=-<acb>4．<a×b>·c=a·<b×c>7.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK？设AE=a﹙向量﹚,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'有aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+bLB=FH/2-b-c=