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2013中考备考数学之“数与式”综合涵盖:【有理数、单项式多项式、因式与因式分解、分式及分式方程、根式】知识点总结与典例分析PAGE有理数及其运算3.1415926是不是有理数?和呢?引出有理数的概念即有理数的范围,回忆分数的有关概念,明确小数的本质是分数,分为真分数和假分数,以及假分数化带分数的方法。有理数包括整数和分数,正整数和0统称为自然数。—x减x的结果是正还是负?如果两个数互为倒数,那么它们的乘积可能为多少?引出相反数的概念:只有符号不同的两个数叫互为相反数,两个相反数相加一定为0,而且这两个数可能同时为0,因为0的相反数是0。顺便提出倒数的重要运用,即乘积一定为1,而且若互为倒数,肯定都不为0,而且肯定同号。已知有理数a,b满足a<0<b,且│a│>│b│.判定A=(a+b+ab)2004值的符号为()。引入非负数的概念:非负数就是0和正数的合称。注意0既不是正数,又不是负数,而是一个中性数。绝对值和偶次幂以及后来学的算术平方根都是非负数。非负数相加为0或者互为相反数都表示这两个非负数同时为0。已知:a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值等于1,那么=已知a的绝对值是它本身,是它的相反数,那么运用刚复习的知识,并引出下一个问题:绝对值。最重要的是不要仅仅把代数定义中的a看成是一个数,应该把绝对值符号内的式子看成一个整体。当时,()。(填大于或小于符号)已知,把按从小到大的顺序排列起来。有理数的大小比较:一般理论(数轴法、差值法和商值法)和解题时的特殊值法。知识点:当时,就是商值法的运用,自己推导时的结果,巧用商值法。若a和b在数轴上的位置如图所示,请化简:到数轴上的点-3的距离为3的点有个。加强绝对值的理解,把绝对值符号内的式子看成一个整体。运用刚才讲过的判别方法,判别绝对值符号内是正还是负,根据绝对值的定义把绝对值符号打开,复习添、去括号法则,并做适当练习。复习有理数的加法交换律、结合律、有理数的减法法则、加减混合运算。把32个(—5)、33个(—5)、33个(—6)、32个(—6)按从小到大的顺序排列起来。加强有理数的比较的认识,明确32个(—5)等于,引出有理数的乘法,重点是判别结果的符号,小学的乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律同样适用于有理数。计算有理数除法法则及结果符号判别,统一成乘法,强调0不能做除数,及9题除号直接倒号,乘倒数即可。不要被代数式中出现多个除号吓倒,在一个只有乘除法的代数式中,统一成乘法后,每个数只不过是其中的一个因数,运用交换律和结合律,式中的随便哪一个数都可以放到任意位置。a×a与2a谁更大?求多个相同加数的和的运算方法叫。求多个相同因数的积的运算叫,它的结果叫。5个a相乘得多少?回忆乘法的概念,引出有理数的乘方的概念,指出a×a不等于2a,(—2)2与—22是完全不同的意思。提出偶次幂的概念。指出非零数的零次幂才为1。0的零次幂无意义。用科学记数法表示254650000000=用乘方的形式,表示较大或者较小的数。a×10n(,n为正整数或负整数),10的n次幂,在1的后面有n个0,10的指数比原来的整数位少1。有理数的混合运算,先算,再算乘除,最后算;同级运算,按照从至的顺序进行;如果有括号,就先算括号里的,再算括号里的,然后算括号里的。3247000保留两个有效数字的近似数是答案为32万。有效数字的概念:从左边起第一个不为0的数字起,到末位数字为止,所有的数字总和叫这个数的有效数字。整式的加减π是常数还是字母?是不是单项式?ab的系数是几?的次数是几?是不是单项式?πr2的系数和次数各是几?首先明确代数式的概念:用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号,把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式;用给定数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫做代数式的值;由数字与字母的乘积组成的代数式叫单项式,即没有加减符号连接的代数式;注意圆周率π是常数而不是字母;单项式的系数为1或—1时,通常省略不写;单项式的系数为带分数时,通常写成假分数;单独的一个数或字母也是单项式;单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。叫什么式?是整式吗?请指出的项数与次数;的系数及次数各是多少?是几次几项式?多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式;(明确减法的本质也是加法,单项式的差也是多项式,只不过系数为负数而已)在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,有几个单项式,就叫有几项;不含字母的项叫常数项(回忆单独的一个数或字母也是单项式);多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数;请注意多项式的次数不是所有项的次数之和,每一项都包括它前面的符号;单项式与多项式统称为整式。(整式属于代数式的一种)与是否相等?依据是什么?x的0次幂和1次幂各是多少?(假设x不等于0)把多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列叫这个多项式按某字母的降幂排列;反之叫升幂排列;除了美观还会为今后的计算带来方便;注意重新排列时一定要把每一项连同它的符号一起移动;含两个或以上字母的多项式常按其中某一字母的升幂或降幂排列。和x2是同类项吗?x和是同类项吗?6和谁会是同类项呢?6有同类项吗?如果单项式-3x4a-by2与x3ya+b是同类项,那么这两个单项式的积是()。同类项的定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相等的单项式叫同类项;所有的常数项都是同类项;当x=-2,y=-3,z=1时,求代数式3x2y-[2x2y-(2xy-x2z)-4x2z]-xyz的值。合并同类项的法则:把同类项的系数相加,结果作为系数,字母和字母的指数保持不变。,其中求整式与的差。复习去、添括号法则及整式加减的一般步骤:如果有括号,那么先去括号;如果有同类项,再合并同类项。整式的乘法是否正确?=同底数幂的的乘法法则:底数不变,指数相加。(m、n为正整数)幂的乘方:底数不变,指数相乘。(m、n为正整数)积的乘方等于各因数的乘方的积。(n为正整数)练习:已知,求。比较813与274的大小。求N=212×58是几位正整数。已知,求的值。若,试比较a、b、c的大小。你能确定的位数吗?单项式与单项式相乘:系数相乘作为系数,相同字母的幂分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式。=化简单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加。注意多项式各项应该包括符号。多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的结果相加;结合小学的多位数的乘法的列竖式计算来理解。19992=99.82=两数和乘以它们的差,等于这两数的平方差;两数和的平方。练习:一个二项式与三项式相乘,在合并同类项之前,积的项数是。尽可能多地写出两个整式,使它们的积为12x2y2(x-y)。已知M=987654321×123456789,N=987654322×123456788,比较M、N的大小。(用字母代替数和差值比较法)计算若n满足,则的值是()。因式分解()4a叫做这三项的()回忆小学的因数的概念,提出因式的概念。一个单项式一般会含有常数因数和字母因数。在几个单项式或多项式中,各项所共有的因数或因式叫公因式,会提公因式是一项基本功。因式分解的概念:将多项式化为整式的乘积的形式,注意分式不是多项式,数与字母的积叫单项式,几个单项式的和叫多项式,因式分解是对整式而言。结果不能是部分乘积形式,必须是全部是整式的乘积形式,也就是说不能有和的形式。还有就是不能与方程的同解变形混为一谈,因式分解的过程是恒等变形。最后的结果要不能继续分解才算结束。因式分解是整式乘法的逆运算。一般在有理数范围内分解。因式分解的方法口诀:首先提取公因式,然后考虑用公式,十字相乘排第三,分组分得要合适.若是二次三项式,可用求根公式试,几法若都行不通,拆项添项试一试。完全平方公式口诀:首平方,尾平方,首尾二倍在中央。常用公式:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2-b2=(a+b)(a-b)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)已知,且a,b,c,d均为非负整数,求()分组分解法的运用。回忆质数和合数的概念。提示:可以把后三项分为一组,构成完全平方式。提示:首尾为一组,中间为一组。二次三项式的因式分解:首先用一元二次方程根的判别式判断能否分解,然后用求根公式来分解。若判别式小于零,则在初中范围内无法分解;若判别式等于零,则能够分解成一个完全平方式;若判别式大于零,用求根公式来分解。十字相乘法:对二次三项式可将二次项系数和常数项分别拆成两个数的乘积,再交叉相乘得到一次项系数的方法。例如,要进行因式分解,把二次项系数9拆成两个数3和3的乘积,把常数项8拆成两个数2和4的乘积,有a1×a2=9,c1×c2=8,a1×c2+a2×a1×c2+a2×c1=18,a2=3c2=4既因式分解的几种其它方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上,再补充介绍二次项系数不为1的十字相乘法、添项、拆项法、换元法等有关内容和方法。1、十字相乘法axc二次项常数项bxdadx+bcx=(ad+bc)x一次项例2、把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。x-2y5x4y解:原式=(x-2y)(5x+4y)双十字相乘法:实际上就是分组分解法中的二次六项式的分组方法:所有的二次项为一组,一次项为一组,常数项为一组,即:“三·二·一”式。例3

分解因式⑴x2+3xy+2y2-2x-y-3x+2y-3解:原式=(x2+3xy+2y2)-2x-y-3=(x+2y)(x+y)-2x-y-3x+y1=(x+2y)(x+y)+(x+2y)-3(x+y)-3=(x+2y-3)(x+y+1)⑵6x2+6y2+13xy+x-6y-12解:(略)2、添项、拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式,解题时要注意观察分析题目的特点.例4、分解因式(1)x4+3x2y2+4y4(2)x4+4解:(1)原式=(x4+4x2y2+4y4)-x2y2=(x2+2y2)2-(xy)2=(x2+2y2+xy)(x2+2y2-xy)(2)原式=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)(x2+2-2x)3.换元法例5、分解因式

(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.解

原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120令

x2+5x=m,代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)练习:把下列多项式分解因式:1、3x2+17x+102、6x2-7x-53、5x2+6xy-8y24、x2-xy-2y2+2x-7y-35、x3-3x+26、x4+x2-2ax+1-a27、x2+7xy-18y2-5x+43y-248、

x2-2xy-3y2+3x-5y+29、(x2+x+1)(x2+x+2)-1210、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)分式填空:()=;;同底数的幂相除,底数不变,只对指数作减法运算,即(a≠0,m、n都是正整数,并且m>n),必须注意:法则中的底数和指数具有普遍性,既可以是数,也可以是式(单项式或多项式),指数都是正整数;对于含有三个或三个以上的同底数幂相除,法则仍然成立。练习及典型错误:指出除法分配律应为:,而形如是错误的,违反了基本运算规律,可以举例说明。上题答案应为1。回忆分数的加减乘除运算规律,单项式除以单项式和多项式除以单项式都可以借用分数的同分母的运算规律来理解。明确单项式中各项之间是相乘的关系。巩固:已知,求的值。已知,求的值。已知,求的值。是分式吗?当x______________时,分式的值为零。约分:=______________=______________分式的最简公分母是______________如果把分式中的x,y的值都扩大到原来的2倍,则分式的值会__________.分式的概念:分母中含有字母的代数式,注意:分式是两个整式相除的商,分数线具有括号的作用;分母中不含字母的代数式不叫分式;只有分母不为零,分式才有意义,一般情况下所给的分式,都包含了分母不为零这个条件;分式整式统称有理式,分式有理式是并列关系。在我们的实际生活中,这种现象时常发生,人们在测量和计算时,往往得不到整数结果,就要用到一种新数分数表示。我们可以把一个物体、一个计量单位、一个整体平均分成若干分,用分数表示。那么我们可以把一个物体、一个计量单位和一个整体用自然数1表示,通常把它叫做单位“1”。把(一个物体、一个计量单位和一个整体)平均分成若干份,表示这样的单位“1”的1份或几份的数,叫做分数。一个分数的分母是几,分数单位就是几分之一;分子是几,这个分数就有几个这样的分数单位。分母表示物体被分成的份数,分子表示占几份。两个自然数相除,在不能整除的时候,就可以用分数来表示它们的商。在分数和除法的联系里,分子相当于被除数,分母相当于除数。不同的是分数是一种数,除法是一种运算。分数的基本性质:要使分数的大小不变,分子、分母要乘或除以相同的数(零除外)。应用分数的基本性质,可以把一个分数化成分母不同而大小不变的分数。最大公约数互质数最小公倍数回忆分数的乘法法则:分子相乘作为积的分子,分母相乘作为积的分母。分数的除法法则:除以一个分数,等于乘以这个分数的倒数。约分是指把分数nd/md的分母与分子同除以一个大于1的公因数d而得到分割份数变少的等值分数n/m的方法。还可以理解为把一个分数化成同它相等,但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。例如:。分子和分母互质的分数,叫做最简分数。通过约分,可以把一些分子和分母都不相同的分数化简成同分母或同分子的分数,从而比较出他们的大小。通分是指把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数的一种方法,通分时,一般要用分母的最小公倍数做公分母;并且要注意分子和分母同时乘相同的数。例如:把与通分的结果就将分母不同的两个分数与分别化成了分母都为21而且分数值分别都和原来的分数相等的分数。这就叫通分。已知一个分式,若在分式的分子和分母上同时加上一个正数m,分式的值会发生变化吗?变大还是变小?请证明。(1)分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。即或(A、B、M均表示整式且B、M都不等于零)。例如:(2)约分的过程实质上是用分子、分母的公因式分别去除分子和分母,如果分式的分子和分母没有公因式,那么这个分式就叫做最简分式,因此约分的过程也是一种化简的过程。举一个例子:(3)分式的通分:把几个异分母的分式分别转化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程,步骤为(a).确定最简公分母(b).各个分式的分子分母同时乘以一个适当的整式(即最简公分母除以各分母所得的商)例如要对、、这三个分式进行通分,首先找到最简公分母,然后把这三个分式的分子分母同时乘以一个适当的整式,得到。分式的混合运算:乘除法统一成乘法,先约分再相乘;加减法统一成加法,一般先约分化简后再通分。练习:若则若分式的值等于零,那么a的取值范围是()。解方程,得x=();当x()时,分式的值为正数。某人以平均每小时2千米的速度上山,以平均每小时6千米的速度沿原路下山,则来回路上的平均速度是每小时()千米。分式方程的解题思路是将其转化为整式方程,但此过程中可能会产生增根,因此必须要验根。特别注意:解任何分式方程首先要考虑分母不为零的条件。练习:当m为何值时,关于x的方程的解是正数?提示:解是正数即指x>0,同时必须考虑分母不为零。的值();用小数表示为();引入零指数幂与负整指数幂的概念:非零数的零次幂等于1,非零数的—n(n为正整数)次幂等于这个数的n次幂的倒数。现在幂的运算可以归纳为三条:(1)指数加法律;(2)指数乘法律;

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