2020-2021学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期末考试试题（平行班）数学

20202021学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期末考试试题（平行班）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.，则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.在复平面内对应的点在第二象限C.D.的共轭复数为3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（）中，，，，则此三角形解的情况是（）5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A. B. C. D.，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（），，则，，则，，则，，则7.如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.8.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）10.下列说法正确的是（），是互斥事件，则，C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是11.下列结论正确的是（）中，若，则中，若，则是锐角三角形，则三角形为等腰三角形中，，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的有（）A.B.的直线交，于，，若，，则D.与共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.中，，，，则其外接圆的面积为______.14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为，，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，则的值是______.16.如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）①平面平面②直线与平面所成角是③平面平面④二面角余弦值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量，，，.（1）若四边形是平行四边形，求，的值（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值.18.（12分）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足.（1）求复数；（2）设复数（）满足：为纯虚数，，求的值.19.（12分）在中，角、、对应的边分别是、、，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，，求的值.20.（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过收费，超过但不超过收费，超过收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：）的函数解析式（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.21.（12分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：.22.（12分）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1）通过计算说明百度地图测距是否准确？（）（2）如图（2），小组在处测得完美大厦主楼楼顶在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.江苏省天一中学20202021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于A，，，故A选项错误；对于B，，故B选项错误；对于C，，所以，故C选项正确；对于D，，所以两个向量，不平行，故D选项错误，故选C.2.【答案】D解：∵，A.的虚部为4，故A错误；B.对应的点为，在第一象限，故B错误；C.，故C错误；D.的共轭复数为，故D正确；故选D.3.【答案】C解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B错误；在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C正确；在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D错误.故选：C.4.【答案】B解：由正弦定理得：，则，因为，且，所以可以为锐角也可以为钝角，因此三角形解的情况是两解.故选B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：，，，，，，，，，，共10个，设事件“取出的两个数字之和为6”，则事件包含的基本事件有：，，共2个，因此该图形为“和谐图形”的概率为，故选B.6.【答案】C，，则；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A不正确；，，则或，故B不正确；，，则；此命题正确，因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故C正确；，，则或，异面，故D不正确.故选C.7.【答案】A解：如图，连接，∵，，∴四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，连接.设正方体的棱长为2，则，.∴.即异面直线与所成角的余弦值是.故选A.8.【答案】A解：设球的半径为，所以球的体积为.设圆锥的高为，因为圆锥与球的体积相等，∴，∴.圆锥的母线为：，球的表面积为：.圆锥的侧面积为：，圆锥侧面积与球面面积之比为.故选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】AC解：平均数为，故A正确；标准差为，故B错误；观察数据可得众数为2和3，故C正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则，∴第85百分位数为5，故D错误.故选AC.10.【答案】BCD解：对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A错；对于B，若，是互斥事件，则，，故B正确；对于C，高级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确.故选CD.11.【答案】AD中，由，故A正确.，则，又因为，所以为锐角，但不一定为锐角三角形，故B错误.C.∵，∴或，∴或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；中，∵，∴，即，同理：，∴，故D正确，故选AD.12.【答案】ACD解：对于A，由垂径定理可知，外心在上的射影为线段的中点，所以，故A正确；对于B，若，由，则，即，同理，，即点为的垂心.又为的垂心，则有，故B不正确；对于C，因为、、三点共线，故存在实数，使得，又为的重心，故，所以，则，故C正确；对于D，因为，所以与垂直，又为的垂心，则与垂直，所以与共线，故D正确，故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】解：在中，，，故，由余弦定理可得，，则利用正弦定理可得：的外接圆的直径为，可得：的外接圆的半径为，故的外接圆的面积为，故答案为：.，则其外接圆的面积为______.14.【答案】3；解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为，，，故最长的侧棱为3，由条件易得：阳马的外接球印是以、、为棱长的长方体的外接球.设其半径为，则，解得，所以外接球表面积，故答案为3；.15.【答案】解：由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为.即，整理得.故答案为.16.【答案】②③④解：在四边形中，由已知可得，假设平面平面，又平面平面，且平面平面，可得平面，有，与矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形中，由已知可得，又平面平面，且平面平面，则平面，为直线与平面所成角是，故②正确；由判断②时可知，平面，则，又，，则平面，而平面，则平面平面，故③正确；由判断③时可知，平面，则为二面角的平面角，设，则，由，得，得，故④正确.故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为，，，，所以，，由，得，.………………5分（2）因为，，为直角，所以，.又，所以.联立，解得或.………………10分18.解：（1）∵，∴，又复数在复平面内对应的点位于第二象限，∴；…………4分（2）∵（），∴，∵为纯虚数，∴，且，由，得，联立可得，或，，∴.…………12分19.解：（1）由，得，即，解得或（舍去）.因为，所以.………………6分（2）由，得到，又，解得，由余弦定理得，故.又由正弦定理得.…………12分20.解：（1）当时，；当时，；当时，.所以与之间的函数解析式为…………4分（2）由（1）可知，当时，，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知解得，.…………8分（3）设75%分位数为，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在内，所以，解得，即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分21.证明：（1）在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以.在中，，分别为，的中点，故，所